正弦稳态功率和能量三相电路

1、第十二章正弦稳态功率和能量三相电路正弦稳态时的功率和能量都是随时间变化的，它包含有瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率、视在功率等。我们感兴趣的是电路中消耗的平均功率及储 能的平均值，而不是它们的瞬时值。12-1 根本概念一、瞬时功率定义：瞬时功率为能量对时间的导数，是由同一时刻的电流与电压的乘积来 确定的。数学表达式dwP(t)u(t) i(t)dt二、能量在时间间隔to与t1内，给予两端元件或单口网络的能量为t1t1w(to,tj= t p(t)dt 二 u(t)i(t)dt 二wti -w(t。)0t0三、讨论：1) 规定如果参考方向关联，p(t)就是流入元件或网络的能量变化率，称为元

2、件或网络所吸收的功率。当p(t) > 0，就表示能量确实流入元件或网络；p(t) v 0就表示能量实际上流出元件或网络。诚>02) 对电阻元件，流入能量变成热能而消耗，不能再行流出。那么p(t)不可能为 负(负阻不可能为正)。3) 对动态元件，流入能量被存储起来，而在其他时刻再行流出送回外电路， 进行能量交换。那么，p(t )有时为正，有时为负。12-2电阻元件的功率和能量一、功率1.瞬时功率U (t )= Um C°S(<»t + ® )i t 二 Ujm COS t 盒=I m COS t 匕Rp(t) =U t i t =UmlmC0S2

3、t 盒 由三角公式COS2 X二1 COs2x得211p(t)二UtitUmlmC0S2 t 盒二Umg22二Ul cos2 t 乙 UI讨论:1) 其中U、I为电压、电流的有效值，在正弦波的条件下U =Um/ .21 Jm/ .22) 第二项为常数项，不随时间变化；第一项为哪一项角频率为2®的正弦量。当 电流或电压变化一个循环，功率就变化了两个循环。3) 瞬时功率始终满足p(t)>0,即电阻始终是消耗功率的。4) u与i同相，当u>0,那么i>0;当uv0,那么iv0。2平均功率定义：瞬时功率在一个周期内的平均值。记为P,即1 Tp 二 0 p(t)dt1 T 1

4、10 Um* 1 COS2( t 如 dtmIm讨论：1)用有效值表示为P=UI = U2/R = I2R;它与直流电路计算公式完全相同。2) 平均功率也称有功功率，通常所指的功率都是平均功率。3) 功率是一个周期函数，所以，一个周期内的定积分(平均值)就是曲线所包含的面积。因而，对于整个周期函数其平均值相同。见P75页图。12-3电感、电容的平均储能一、电感元件1瞬时功率设u(t) =UmCOS t电流超前电压二/2，所以 i(t) = lmcosjt 90 ) =-lmsin t其中Im二字二QU mXc卄，p(t)二 u(t) i(t)二-UmIm cos tsin t+ 洎、：由公式

5、2 cos t sin t = sin2 t得1p(t) UmImsin2 t =UI sin2 t2平均功率21 T 1PU mIm sin 2 tdt 二 0T 0 2讨论：1)瞬时功率以2®的频率在横轴上下波动，平均值为零。2)功率波形图p78页。3电感的瞬时能量wL = 1 Li2L 21 2 2/msin 十丄口； 1-cos2 t44电感的平均储能LI2 1 - cos2 t2Wl 订 0WLdt = £Lim 十|2T 042讨论：1在0-T/4期间，u>0, i >0, p >0,电感吸收功率。在这一期间，电感 电流由0逐渐增加到最大值，电

6、感吸收能量并以磁能形式存储。当t=T/4时，电感储能达最大值。1 2 2Wcma2CUm=CU2在T/4-T/2期间，u V 0, i > 0 , p <0,电感产生功率，电流由最大值逐渐减小到零。电感把存储的磁能全部还给了外电路或电源。当t=T/2时,电感储能为零。3在 T/2-3T/4 期间，u<0, i < 0, p >0,与 1 相同。4在 3T/4 T 期间，u > 0, i < 0, p < 0,与 2 相同。5理想电感不消耗能量，只与外电路或电源交换能量。二、电容元件1瞬时功率设u(t) =Umcos t电流超前电压 二/2，所以

7、i(t) = I m cos('t 90 ) = - Imsint其中I二 CUXcp(t)二 u(t) i(t) = -UmImcos tsin t 由公式 2cos tsin t 二 sin2 t得 p(t) =-1UrJmSin2 t =UI sin2 t22平均功率p = -T OUmlmSin2 tdt =0瞬时功率以2®的频率在横轴上下波动，平均值为零。 P79页3电容的瞬时能量1 2 1 2 2WCCu CU m COS ：J. t2 212 12 12 12CU m CU m cos2 t CU CU cos2 t4 4224平均储能T：wCdt 二-CU4J

8、eu5讨论：瞬时功率与储能的物理过程1在0-T/4期间，u>0, i v0, p v0,电容提供功率。此期间电容电压由最大值逐渐减小到零，电容把存储的电能全部供应了外电路或电源。当 t=T/4 时，wc=0o2在 T/4-T/2期间，uv0, i v0, p >0,电容吸收功率。此期间电容电压逐渐到达负的最大值，电容从外电路或电源获得能量并存储在电场中。当t=T/2=cu2时，储能最WCaxm 二 cu23在 T/2-3T/4 期间,4在3T/4-T期间,电容放电放出能量。 电容正向充电吸收能量。5电容不消耗能量，只与外电路进行能量交换，平均功率为零各电感、电容的例：求如下图正弦稳

9、态电路中各电阻的平均功率的总和, 平均储能的总和。u(t) f cos2tV,L L2 =1H+11(¥«+比C C2 = 1F, R1 = R2 = 1 2 1 2 1 2 2W2L|i+2L|2 = 2(0-563 +0-2 0-18J解：作出相量模型(从略)，列出网孔电流方程:1 Ri + j 时 Li +Ijg丿i2 二u1 lij Cir2j l211j C2.1 . 1Ci2其中 1j Cij Li = j L2 = j2, R- = R2 = 1解得= 0.563. -50.7°=0? 1743°电阻的平均功率的总和为电感的平均储能的总和为

10、P 二 l；R l；R =0.36W电容的平均储能的总和为WC-cu|2 2其中1U l20.2 0.5 = 0.1VCU2= l；1 +j2-j0.5 =12 +1.52 = 0.36V12-4单口网络的平均功率、功率因数、单口网络的平均功率假设单口电流i(t)和单口电压u(t)采用关联参考方向，设端口电压、和电流为u t =U m COS t 九i t = I m COS，t R*线性二f端网络Npt = u t i t =U ml m COS，t % COS，t R由三角公式 cosxcosy=COSX y 2COSX y 得11pt =U t i t UmlmC0S2 t r R二 U

11、 ml m COS 入 - K22-Ul cos 2 t r * Ul cos 入 - v功率波形图p83页。讨论：1当u>0, i >0或uv 0, i v 0时p >0,电路吸收功率。2当u>0, i v 0或uv 0, i >0时p v0,电路供应功率。3在一周内，电路吸收功率大于供应功率，平均功率不为零。 平均功率为P 二;：Ptdt =；UmlmCOSdu -“二 Ul COS入一刁=Ul cos其中7 -q为端口电压与端口电流的相位差。假设单口网络不含独立电源，即只由 R、L、C等无源元件组成， 记为N0在正弦稳态下，无源电路可等效为阻抗 Z。U =Z

12、IZ为无源单口网络的输入阻抗，而 > 即为阻抗角 Z，平均功率 可写为1 P U ml m cos Z = Ul cos Z2讨论：1平均功率与电流、电压振幅有关，而且与阻抗角的余 弦成比例。2当阻抗角为零时，平均功率最大，P=1/2UmIm = Ul，此时属于纯电阻网络情况，P> 0,网络总是消耗功率的。3当阻抗角不为零时，电路包含有电抗分量，功率可正可 负，Pv 0表示网络向外放出能量。P>0表示网络吸收能量。P + 二4当阻抗为纯电感或纯电容时，z - -孑，平均功率P=0o5当电路包含受控源，：Z可能大于n /2,此时平均功率为负值，说明该网络向外提供能量。6当电路包

13、含独立 源 一入平均功率可能为正，可能为负。1 P U ml m COS z = UI COS ' z2二、视在功率和功率因数1视在功率SS=1/2Um|m= UI为平均功率的最大值，它反映了设备的容量。它的单位不为瓦特，而用伏安 VA或千伏安K VA 。只在纯电阻的情况下，平均功率 P与视在功率S 相等，即P=S。2功率因数入平均功率与视在功率的比值称为功率因数，记为入，表达式为 - P / S 二 cos讨论：1平均功率小于视在功率；2端口电压与电流的相位差称作功率因数角3由于无论 z正负，cos z总为正值，只给出入的值不能表达电 路的性质阻抗为感性时，® z >

14、0；阻抗为容性时，z V0。规定：当z为正值 时，表示电压超前电流；反之电压滞后电流。三、平均功率的计算公式由 P 二UI cos z，得P = I2Z cos®且 z coszU = Z I- u2cos： z cos z二ReP，即z的电阻分量代入上式得：P=l2Rez】又因1丫一 ReZ 1 j Im Z 厂ReY】=RQ ZRe z L j Im z 1zcos z cos zzP U 2 Re Y 1 Rez 1ReY 1.u2i2P ReZ 1 ReY 1|z|例1：单口网络的电压为u = 300 、. 2 cos 314 t - 10 V ,电流为i = 502 cos

15、 314 t -45 A，电压、电流为关联参考方向，求该网络所吸收的功率。解：U =300/I =50Az 二10=-45 =55二 cos z =cos55 =0.574P 二 Ul cosz =300 50 0.574 = 8610W例 2、电路如图 5.6-5 所示。 R仁6Q , R2=16Q ,XL=8 Q , XC=12 QU =20Z 0° V。求该电路的平均功率 P、无功功率Q、视在功率S和功率 因数 。解 设R1L串联支路的阻抗为乙=R, jXL =6 j8 =10 53.1 11R2C串联支路的阻抗为Z2 二 R2 jXC =16 j12 =20/-36.9 11

16、各电流相量分别为C7N1* 2 jl* 6 A10/5壬亍A6.A+8o.II/ Zi += 2 jl = 2* 24乂 二 26. 6* A厂=2. 2426. 6C AS= UT = 20/0° X 2. 24/22 =44* 8Z26. 6q VA = 40 + j20P = 40 W Q = 20 V APs IS I = 44. 8 V Ah = 26. 6C12-5单口网络的无功功率一、引入无功功率的大小反映了电源与储能元件电感、电容能量交换的程度网络吸收的瞬时功率为：p t 二*U ml m bos 2，tcos 1 - UICOS 2，t 亠亠 cos T其中,1平均

17、功率为P t i=UI cos ：z2储能元件吸收的功率为UI cos 2:Z = UI cos ;:Z cos2 t -Ul sin Z sin 2 t于是，瞬时功率p t可写作p t = UI cos Z 1 cos2 t -UI sin ;:Z sin 2 t讨论：1 瞬时功率的第一项UI cos :Z 1 - cos2 t为非负的，它是电阻 所消耗的瞬时功率，其 平均值为UI cos Z。2 第二项UI sin sin 2 t以角频率2在横轴上下波动，平均 值 为零，振幅为UI sin :Z。这表示电源与阻抗的电抗分量间存在着能 量交换。、无功功率1定义:Q =UI sin z2电感的

18、无功功率当网络为纯电感时，® z=90°ql=ui称为电感的无功功率它表示电源与电感间能量往返速率的最大值，ql与磁场储能wl的关系为即，电感所吸取的无功功率等于磁场储能平均值的2倍U = LI2 1 2QL =UI = LI 2 =2 LI 2 =2 W23、电容的无功功率当网络为纯电容时，® -90°QL二一 UI称为电容的无功功率，Qc与电场储能WC的关系为I 二 CU2 1 2Qc »UI = CU 2CU 一2 WC2即，电容的无功功率为负，其值为电场储能平均值的2倍4、无源单口网络的无功功率Q= 2 (Wl _WC)其中，wl为网络

19、中的磁场储能平均值， wc为网络中总的电场储能平均值。讨论：1当Wl = Wc时，在稳态时电源并不参与能量的交换，两种储能在网络内部自行交换；2当时，W_=Wc才有局部能量与电源交换，无功功率的大小反映了电源与储能交换的程度；3实际中在感性负载中增添电容元件，可以减少电源给予负载的无功功率。5、无功功率的计算由 Q =UI sin Z U =1 Z解得，Q =l2|z|sin 笃=l2 Im Z 】.Q 二丄 Alm Z 】=l2lm Z 12Q -；lm Y 2lm Y 12网络吸收的总无功功率Q =為 Qk其中，Qk为第k元件吸取的无功功率，无功功率的单位为乏(var)视在功率S与Q的关系

20、SP2 Q2 P =Scos Z Q =Ssin Z且 S = v Sk例1某输电线路的相量模型如图5.6-6所示。输电线的损耗电阻R1和等效感抗Xi为R =& . ,Z2为感性负载，其消耗功率 P=500kW，Z2两端的电压有效值U2=5 500V，功率因数cos© Z2=0.91。求输入电压的有效值 U和损耗电阻R1消耗的功率。解：设负载两端电压为参考相量 Z2 二入2 - “ = 24.5R - 仏 -24.5 二-24.5I =100/24.5又 cos Z 0.91Z2 = -24.5：乙是感性负载，Z2取正值 输电线的等效阻抗为乙二 Ri jXi =6 j6 =8

21、.5 45乙I8.5 45 100 -24.5= 850 20.5输电线损耗的功率为P =|2r =100 汉 100 汉6=60KW-850 100 cos45 -60KW或者 P =51 COS Z1输入电压U =U1 U2 =850 20.5 5500 0V= 795j298 5500 =6295 2.27：U 2 =5500 0 VF2 =U2I cos Z2= 100AF2500 "03IU2 cos笃2 5500X0.91例2:图5.6-7(a)所示电路为日光灯简图。图中L为铁芯电感，称为镇流器(扼流 图)。U=220V, f=50Hz,日光灯功率为 40W，额定电流为0

22、.4 A。试求：(1) 电感L和电感上的电压UL；(2) 假设要使功率因数提高到 0.8,需要在日光灯两端并联多大的电容 C。一。日光灯nJ-J解 求L和ULiziU = 220=550 n40220 X 0. 4=45Z = Z/h = 55OZ63° = 250 + j490 0R = 250 XL = 490 nL- 2nf-490X 50=1. 56 H输电线上的电流与日光 灯电流相等并联电容后，通过日光灯电流不化七IL C 设电压为参考相量U =220 0 VlL = 04 -63 Acos z =0.8；二 36.9h+输电线电流为u c£O63*b6 '

23、;40I'0.227AU cos 220 0.8ac = IL sin$iz = 0< 4 sin63° = 0. 356 (A)ab = I sin = 0. 227 sin36, 9° = 0.136 (A)Ic cic ub Q. 356 0- 136 =0* 22 A广 一 1 一 = 2 少 uFC _ a>Xc _ 2 X 50 X 1 00012 6 复功率一、复功率定义假设单口网络的电压相量和电流相量为U =u 入i t n且 I =1. 3为电流相量的共轭复数，那么b . b' US/=U0 戴- Uklk = 0 I心=UI

24、CosQu 飞如 j sin入- JjQ可以证明，复功率是守恒的记为复功率SS =UI 二 P jQ = P j 2，WL -WC二、讨论1复功率的模即为视在功率S =UI = § = Jp2 +Q22实部P二Re Ul=UI cos® 7为网络中各电阻元件消耗功率总和；3 虚部Q=lm_Ull二Ul sin入7 = 2,Wl -WC为网络中各动态元件无功 功率的代数和，且WL为电感储能平均值的总和，WC为电容储能平均值的总和 例1:电路如图12 21所示，求两负载吸收的总复功率，并求输入电流有效 值。Q S1 sin Z1 = 3 sin( -Arc cos 0.8)=1

25、2500sin( -36.9 ) =7500var/曰 -10勺03得 3 = P 电 jQT00©02507500V A0.80.6Q2 =S2 sin Z2 =S2sin( Arc cos0.6)= 25000 si n(53.1 ) = 20000 var得 S2 =P2 jQ2 =15000 - j20000V A解：先求每一负载的复功率10 KWA 0.8(超前)15 KWA 0.6(滞后)图 12-21S 二 s £ 二 25000 j12500 二 27951 26.6 V A视在功率 S=S =UI =27951W输入电流 I = S = 27951 = 1

26、2.2A U 230012 - 7 正弦稳态最大功率传输定理一、正弦稳态时负载从电源获得最大功率的条件 a图 12-22 b7Zl设 ZRs jXs ZL =Rl jXL在给定电源及阻抗时，分两种情 况分析负载从电源获得最大功率 的条件1负载的电阻及电抗均可独立地变化2负载阻抗角固定而模可改变第一种情况负载的电阻及电抗均可独立地变化由图可知，电路中的电流为Il =UsZsZlUs(R Rl) j(Xs Xl)电流的有效值为ILJ(Rs+Rl)2+(Xs+Xl)2负载吸收的功率FL =i2rl =UsRl2 2(Rs Rl) (Xs Xl)假设Rl保持不变，只改变xl,当Xi+XL=o时，pl获

27、得最大值Pl(R Rl)2称为最大那么率为dPL 2(Ri Rl f - Rl R Rl 几U s40dRL(R Rl)2(R R) -2Rl(R Rl) =0Rl = R当负载电阻和电抗均可变时，负载吸收最大功率的条件为X-XiR 二 R*ZZi当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时，负载能获得最大功率,功率匹配或共轭匹配。其最大功率为第二种情况负载阻抗角固定而模可改变，设负载阻抗为ZL =|z|zw=|z cos® + j Z sin®负 载 电阻 的功Us(Rs+|z|cos®)+j(Xs +|z|si 阿U；|z|cos®(R +|z|cos 毋)

28、2+(Xs+|z|si n 毋)2上式中的变量为Z，求该式对Z的导数得dp Us2 (Rs +|Z|cos半)2 +(Xs +|z|sin )2cos®= ZJzd z(Rs +|Z cos申)2 +(Xs+|Z sin申JU： x2|Z |cos® (民 +|Z|cos毋)cos毋+(Xs +|Z|sin申)sin 毋Rs + Z cos审)2 +(Xs + Z sin 半)2 f(Rs+|Z cos®)2 十(Xs +Z sin®)2cos® 使甘可得即-2 Z cos® (Rs + Z cos®)cos® +

29、(Xs + Z sin®)sin ® = 0(Rs +|Z cos®)2 +(Xs + Z sin®)2 2 Z (Rs + Z coscos® -2 Z (Xs Z sin )sin =0解得十疋或| z f R + X对于第二种情况(负载阻抗角固定而模其中，Z是负载阻抗的模；Jr+x：是电源内阻的模可改变)，获得最Z "R； +X；大功率的条件是：负载阻抗的模等于电源内阻抗的模， 即当负载为纯电阻时，即Z=RL时，最大功率的条件是 Rl二Xs2而不是Rl= Rs例1电路如图12-34R=5 Q ,L=50 卩(1)当Rl=5Q时，

30、试求其消耗的功率所H,(2)当Rl等于多大时，能获得最大功率？最大功率等于多少？ 假设在rl两端并联一电容C,问Rl和C等于多大时，能与内阻抗共轭匹配？并求负载吸收的最大功率PLmax。解 电源内阻抗为 当Rl=5Q时，电路中的电流为负载RL消耗的功率为2 2R_=| Rl =0.89 X5=4W即3当负载与内阻抗共轭匹配时, 当Rl = RFLmax =l ReZL =15=5W xf时能获得最大功率,能获得最大功率。 由图可知，负载导纳为YL = + j©CRlFL =1h525； =7.07 门l =0.7667.07 =4.15W根据 ZL=Z*i=5-j5，得解得R =1

31、00 ,CFRl1 ( CRl)2cr21 ( crl)2=5!=5Z= = 1A负载吸收最大功率为FL maxuS4R1024 5=5W12-8三相电路2求Z0，外加鼓励法的相量模型如图有 U =2U U1 =3U U-U3UUi U-I = Il I2 = Il I3 I4113- j3 6、三相电路的根本概念7 j12IU18込壓=2.47. (-16)53r U 187j12Z0 二当 Zl -z0 -126 戲=2.47 1611 时53P_ maxU2 OC4R03.712=1.446 W1、三相制的特点1在同样尺寸条件下发电机的物理尺寸三相发电机输 出功率比单相发电机大；2输送相

32、同的功率，采用三相制可节省导电材料；3三相电动机具有结构简单、价格低廉、维护方便、运行 平稳等优点。2、三相电路的根本概念对称三相电源如图12.8-1所示是由三个频率相同、幅 值相等、初相依次相差的三个正弦电压按一定方式连接而成。三个电压依次为a相、b相和c相，分别记为ua、ub和Uc。其中a、b、c分别为相电压的始端,x、y、z分别为相电压的末端它们的瞬时值表达式为以Ua为参考正弦量：0图12.8-2对称三相电压相量图图12.8-1三相电源用相量Ua =Up O'表示为Ub =Up (_120)Uc 二Up (-240；) =Up 120这样一组大小相等，相位彼此相差的三相电源称为对

33、称三相电源。在三相电路中，负载一般也是三相的。如果三个负载相等，成为对称的三相负载。正常工作的三相电路电源总是对称的，而负载有对称的，也有不对称的 二、三相电源的连接连接方式：星型形Y型和三角形 1、丫型连接方式1三个电压 z连在一起成为 称为中点， 由中点引出的线型连接-Ge地线图12.8-3三相电源的丫形连接2由始端a、b、c引出的三根线输电线连接，称为火线端 线；3端线与中线之间的电压为相电压 ua、ub、uc；4端线与端线之间的电压为线电压uab、ubc、uca °其中，Ua b= U a- U b u bW u f u c u丘a u线电压的的相量表示且Uab 二Up. 0

34、 -Up -120 二UpUp=3 j J Up = 3Up. 30假设以U|表示线电压的有效值，那么5 = 3U P当 Up =220V 那么5 f ?3 220V =380V5) 线电压的时域表示(以ua为参考正弦量)Uab(t) 二、3UP cos( t 30)Ubc(t) = . 3U P cos( t -90；)%a(t) =、3U P cos( t 150)6) 相电流、线电流流经每一相负载的电流称为相电流； 流经火线上的电流称为线电流。2、三相电源的三角形连接图12.8-4三相电源的图12.8-4三相电源的形连接形连接 假设相电压是对称的，那么线电压也是对称的,而且线电压的有效值(振幅)是相电压的、3倍。设线电压的有效值为 Ul，即Ui 3Up在三相电压组成的闭合回路中，回路中的总电压为Ua U U =0其相量图如图12.8-4所示。如果将某一电压源接反了,与y， c与a相接，这时闭合回路中的总电压为U二Up(1e20-ej 12) =2U p/ - 6 0 二-也载为例如电压源uc,将z如图12.8-5所示设负载阻抗Z=|Z|Z © z，由于图12.8-6的电路只有两个节点，因而用节点法分0'