构造对偶式的八种途径

1、构造对偶式的八种途径在数学解题过程中，合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，对对偶关系式进行适当的和，差，积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。一. 和差对偶并通过对这对于表达式u(x) _v(x)，我们可构造表达式u(x)二v(x)作为它的对偶关系式。例1假设0 : n，且 3sin v - 4cos v - 5 ，求 tanv 的值。解析：构造对偶式：2 3si n v - 4cos v - y那么3si"收5,得3sin v -4cos ) - y点评：这种构造对偶式的方法灵巧， 富有创意，有助于培养学生的创新思sizcos v -I 8再由

2、 sin? v cosA -1，得：tan维和创二例 2 ：a, b, c, d R，且 a2 3 b2c2 d2 乞 1,求证：(a b)4 (a c)4 (a d)4 (bc)4(b d)4(c d)4 _ 6。解:设 M = (a b)4 (a c)4 (a d)4 (b c)4 (b d)4 (c d)4,构造对偶式44444N=(a-b) (a-c) (a-d) (b-c) (b-d) (c-d)那么有：M N=6(a4b4c4d42a2 b22a2c2-6(a2b2c2d2)2岂 6又N _0 ,故M _6，即原不等式成立。2a2 d2 2b2c2 2b2d2 2c2 d2)10

3、a22 ,(1)x2 -8x 2110 -a例3解方程：2.x2 8x 2 V xA8x 21 =108x 2122x2421 n(100 a2) ,(3)2解：构造对偶式：X2 8x 21- x2 8x ? 21 - a，再由原方程联立可解得:那么(1)2(2)2得:(1) - (2)得： 16x = 10a ，即 a =5代入( 3)中得： 2x4 5 6 7 8 9 10 11 42 =丄( 100 -64x2)2 25 整理得：？ x2 =4 ,解得：x- -10。25 3二.互倒对偶互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。1 1 1例 4假设 x,y

4、,z? (0,1)，求证：1x+y 1y+z 1z+x解：设 M 二 1 1+ +_x y 1 -y z 1- z x构造对偶式 :N =(1 一 x y) (1 - y z) (1 - z x) ,+ (1x + y) +1 +(1 y+z)(1_z x)1 -x y1 - y z1 -z x_2 2 2=61 1而N=3，故M_3，即一1一_3。1x+y 1y+z 1_z+x1 -y z例 5设印 82 月 3, ,an 为互不相等的正整数a? a3an1 11求证：a? -2 ?冷T -122 32n223na aa111解：设 M= a? -2 ?冷2，构造对偶式：N -23na1a2

5、an那么M N二1)(a；1 厂(a;1)-1 1 j 1a-i2a2nan2 3 n1 114 11M -15 3n点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对 难点的突破，以达化解问题这目的。的解析1例6对任意x, (- 二, 0) - (0, ?:)总有f (x) 2f (厂x=0 ,求函数y = f (x)式。，因此2 3 n又aia,a3/耳为互不相等的正整数，所以N乞11解析：因 f(x)? 2f()? x = 0x111用一替代上式中的x,构造对偶式：f (一)？ 2f (x) ?=0xxx1 2由一 X2 得： f (x) ? x _4f( )

6、0x x2 2故 f(x)二 x -2x3x三. 共轭对偶共轭对偶是反映利用共轭根式或共轭复数来构造对偶式的方法。例7z ? c，解方程：z- 3iz = 1 3i。解析：由z-3iz =1 3i构造对偶式：z3iz=1-3i由一得z - -z -2，代入得(z ? 1)(z T -3i) =0 ,2a . 2b 1故 z - -1 或 z - -1 ? 3i。例8假设Z E c，Z一 1且Z式±，证明：- 为纯虚数。z + 1z 1z1 z 1解:设，贝y M构造对偶式：N一 1z +1z +1 z +1那么M +N=厂1 +丈一=0(因为z， z=|z2=1 ) z+1z+1z

7、1又0(因为z =二 1 )z 1Z d?为纯虚数。z 1例9口： a 0,b0，且a ? b =1，求证：.2a 1,2bz 1证明：设皿=.2a . 2b 1，构造对偶式：N=z 1z + 1? M 乞 M 2 N2 = 4(a b) 4 = 8? M <2 2，即原不等式成立。四. 倒序对偶倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。解析：观察和式联想到 Ck =cn,Q< k < n,n ? N*，故首先在和式右边添上一项0 C0,那么 S =0 C0 - 1C； 2C2 - ncn构造对偶式：S 二 nC : (n -1)C ； (n- 2)

8、C"0C ；即亦为：S=0 C o +1C: +2C ; + +nC nn由+得：nC : ? nCn- nC : nC :?2S = nC ; + nC1 + + nC ：+ nC： = n(C : + C: + + C :)?- 2S 二 n 2n ?- S =n2n点评：利用现成的对偶式，使问题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步例11正项等比数列an中，T岂不妙哉！a2aAan, a1a? a八'Hbn试用 s, T 表an示 Q ai a2解析：传统解法都用 a1,q表示S,T及Q,然后通过ai和q找到S,T,Q的等量关系，这种解法虽思路正确，但运算繁琐

9、，加之在用等比数列求和公式时还要讨论q =1和q = 1两种情形，如此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点。其实，观察和式子与积式特征不妨采取“本末倒置构造倒序对偶序式一试。由题意知：T =ai a 2 a" a n构造倒序对偶式：T =an耳-an"a1由x得：T2 :=(a an) 叭)(an 已)=佝 an)2, 即卩 T :=(a再来看：Q丄丄a1a2an1 11构造倒序对偶式：Q -an an -1a1即+得:2Q 111111()()(),刁 an a2an-2 an ai,? Qai an2又 qan =TnS? Q=S即2Q二壬皀?.楚壬，.？

10、生。ai ana2, an_2暮，ai由等比数列性质可知，右边的分母均为a an,故(31 an) 2 an)(an aj2Q即 2Q 2SaianTn五. 定值对偶定值对偶是指能利用和，差，积，商等运算产生定值，并借此构造出对偶式的方法。1 1。？已-) - f(x)二f( ) f(1) f(2) f f(4),1 =1解析：f (x) f (!)(-)2X1 (1)2x2发现定值：1f(x) f( ) =1。x引&1 x21 11那么 S 二f() f()f( )f(1)f(2)f(3)f (4)4321 1 1构造对偶式： S 二 f(4)f (3)f(2)f(1)f( )f()

11、 f()234由 +得：1112S 二f (匸厂 f(4) f(;) ? f(3) f(； )f(2) 2f(1)432111f(2) f(Jf(3)f(； )f(4) ? f(：)234? ?2S=7,I 卩 S = 7。2六 . 奇偶数对偶1心一1 1352n -124 v 6 72n解：设M =X XK，构造对偶式：N 二X X 2 462n3572n 1由千12 342n-12n由于23 4-5 2n2n 1因此M:N ,从而M2 12 :MN-On d3n -1 3n>故 M :,2n 1例 14 求证：(11)(1) .1证明：待证不等式的左边为：1 1 ).3 3n 143

12、n 2(1 1)(1丄)(13n 2XII)上 § "。3n 23n 13n73n 16，3n -23n -1> 3n直)3n -1(-=(Z 5 ： F)(3-143n -23n -23nXII 1 1 1而 N 二 b1a 14 (b-1)(a-1)42 2 = 8 ,b 1a 1b 1a1? M _ N -8 ,即M _8。当且仅当a二b = 2时等号成立。=3n 1? M3 3n 1故原不等式成立。七.轮换对偶轮换对偶是指针对式子的结构，通过轮换字母而构造对偶式的方法。2 b2例15求证：对任意实数a. 1,b .1 ,都有8不等式成立。b 1 a 1证明：设

13、M -2ab -12ba1构造对偶式Nb22 ab -1 a -1那么 M 沖/2"2a2(a b)(a - b)2-0，即 M _ Nb-1 a-1 (b-1)(a-1)2 2 2 2 2 2 证明：设 M = - c，构造对偶式： N二 一-c - aa b b cc aa b b c c a例16设a,b, c ? R，求证:松完成有关三角例17X三a b b c c a 22.2 .2 2 2 2MN -ab b cc a+abb cc aa b c又M N = 0 ,即M = N2 ,2,22abca b c-+ >oa b八.互余对偶b cc a2三角中的正弦与余弦

14、是两个对称元素，利用互余函数构造对偶式，借用配对思想可以轻 题的解答。，解方程： cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = 1 2解析：假设令 M = cos 2 x cos2 2x cos 2 3x ,构造对偶式：N = sin 2 x sin2 2x sin2 3x贝 U： M N =3M -N = cos2x cos4x cos6x = 2cosxcos3x 2cos 3x-1=2cos3x(cosx cos3x) -1 = 4cosxcos2xcos3x -1M - N = 4cos x cos2x cos3 x -11由 + 得：cosxcos2xcos3x (2M-2)，又 M =14cosxcos2xcos3x = 0?- cosx 一 0 或 cos2x 一 0 或 cos3x 一 0, x 0,2JJtTt?- x 一 一或x 一一或 x =o642例 18 求 sin 10 cos 40 sinlO cos40 的值。解析：令 M =sin 10 cos 40 sin 10 cos40构造对偶式：N = cos 210sin2 40 - cos10 sin40 ，贝卩M N =2 sin 10 cos40cos10 si n40 = 2 sin50M - N 二-cos20 cos80 sin 10 cos40 - co