最新版高考数学大一轮复习-第九章第7节-抛物线教案-理-新人教B版

1、第7节抛物线，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知识梳理1. 抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l ( F?l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线 I叫做抛物线的准线 其数学表达式：Ml MR = d( d为点M到准线I的距离).2. 抛物线的标准方程与几何性质图形1匹、tft-L¥7d 3标准方程2y = 2px(p>0)2y =2px( p>0)2x = 2py(p>0)2x =2py(p>0)p的几何意义：焦点 F到准线1的距离性质顶点O0,

2、0)对称轴y= 0x = 0焦占八 '、八、Fp，0f - 2, 0F0,2F0， 2离心率e= 1准线方程px 一 2px= 2py= 2py=2范围x>0, y Rx<0, y Ry>0, x RyW 0, x R开口方向向右向左向上向下常用结论与微点提醒1. 通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p,通径是过焦点最短的弦.2pp2. 抛物线y= 2px(p>0)上一点P(xo, yo)到焦点, 0的距离| PR = Xo+ $，也称为抛物线的焦半径.诊断自测1. 思考辨析(在括号内打“V或“X)(1)平面内与一个定点 F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹一定

3、是抛物线.()oa 方程y= ax2(az0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是4，。，准线方程是x = 一；.()4(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()2P 一p2AB为抛物线y = 2px(p>0)的过焦点F 2，0的弦，假设A(xi, yi) , B(x2, y ,那么XiX2=,2yiy2= p ,弦长 |AB = xi + X2+ p.()解析(i)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线I垂直的一条直线，而非抛物线22 i一i 方程y= ax (a*0)可化为x =-y,是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是0,-a4ai准线方程是 y =一厂.

4、(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形答案 (i) X (2) X (3) X (4) V2. 以x= i为准线的抛物线的标准方程为()2A.y = 2x2_22B.y = 2xC. y = 4xD.y = 4x解析 由准线x= i知，抛物线方程为:2r py = 2px(p>0)且2= i, p= 2,抛物线的方程为y2 = 4x.答案 D3. (20i8 黄冈联考)方程y2= 4x表示抛物线,且该抛物线的焦点到直线x=m的距离为解析抛物线y2= 4x的焦点为F(i , 0)，它与直线 x= m的距离为 d= | m- i| = 4, m= 34,那么m的值为()A.5B. 3 或

5、5D.6C. 2 或 6或5,应选B.答案 BP( 2, 4),4.(教材练习改编)抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点那么该抛物线的标准方程为解析 很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2=- 2px( p> 0)，把点R 2, 4)的坐标代入得(一4)2 = 2pX ( 2),解得p= 4,此时抛物线的标准方程为y2 = 8x;当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2= 2py(p>0)，把点P( 2, 4)的坐标代入得(12)2 = 2pX ( 4)，解得p=，此时抛物线的标准方程为x2 = y.综上可知

6、，抛物线的标准方程为y2= 8x或x2= y.答案 y2 = 8x 或 x2 = y5.抛物线方程为 y2= 8x,假设过点Q 2, 0)的直线I与抛物线有公共点，那么直线 I的斜率的取值范围是解析 设直线I的方程为y = k(x + 2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2 + (4k2 8)x +2 2 2 2 2 24k = 0,当 k= 0 时，显然满足题意；当 k丰 0 时，A = (4 k 8) 4k 4k = 64(1 k) >0, 解得一K kv 0或0v kw 1,因此k的取值范围是1, 1.答案1, 1考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)F是抛物线y2= x的焦点

7、，A, B是该抛物线上的两点，|AH + I BF = 3,那么线段AB的中点D到y轴的距离为()B.1C.47(2)假设抛物线y2= 2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点， 又有点A(3 , 2)，那么| PA + | PH 取最小值时点P的坐标为.2 1解析(1)因为抛物线y = x的准线方程为x= 4.1如下列图，过点A, B, D分别作直线x= 4的垂线，垂足分别为G, E,M 因为|AF + | BF1 = 3，根据抛物线的定义，|AG = |AF , |BE =| BF|，所以| AG + I BE = 3，所以|MD = 1 B日；1 AG = 3，即线段 AB的中点D到y轴的距

8、离代入y2 = 2x,得(2)将x = 3代入抛物线方程(y2 = 2x,得 y=± 6J6>2,.A在抛物线内部，如图1设抛物线上点 P到准线I : x = ©的距离为d,由定义知|PA +1 PF| = |PA + d,当PAL I时，|PA + d最小，最小值为2,此时P点纵坐标为2, x= 2，二点P的坐标为(2 , 2).答案 (1)C(2 , 2)规律方法应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化pp 注意灵活运用抛物线上一点P(xo, yo)到焦点F的距离| PF| = | xo| +牙或| PF| = |y

9、o| +专.【训练1】(1)动圆过点(1 , 0)，且与直线 x = 1相切，那么动圆的圆心的轨迹方程为(2022 全国n卷)F是抛物线C: y2= 8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.假设M为FN的中点，贝U | FN =.解析 设动圆的圆心坐标为(x, y)，那么圆心到点(1 , 0)的距离与到直线x = 1的距离相 等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2= 4x. 如图，不妨设点 M位于第一象限内，抛物线 C的准线交x轴于点A,N过点M作准线的垂线，垂足为点 B,交y轴于点P,. PM/ OFA二由题意知，F(2 , 0), | FQ = | AQ = 2.2

10、点M为FN的中点，PM/ OF1|MP = 2l FQ = 1.又 | BP =| AQ = 2,| MB =|MP + | BP = 3.由抛物线的定义知IMF = | MB = 3，故I FN = 2| MF = 6.2答案 (1) y = 4x (2)6考点二抛物线的标准方程及其性质【例2】双曲线2xC：-a线的距离为2，那么抛物线A.x2=誓yB.C2的方程为()16住=3 yC.x2= 8yD.2x = 16y(2022 全国I卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A, B两点，交C的准线于D, E两点| AB = 4 '2, | DE = 2；5，贝U C的焦点到准线的距离为

11、()A.2 B.4 C2x解析(1) T 22y話=1(a>0, b>0)的离心率为2,2 2 | 2u= 2，即 $=屮=4 , L 3aa aa2x22Px = 2py(p> 0)的焦点坐标为0, 2，a= b2y2 = 1(a>0, b>0)的渐近线方程为y=±a，即 y=±®.由题意得.1 + 32=2，解得2的方程为x2=16y. 不妨设抛物线 C： y2= 2px(p>0)，圆的方程为x2 + y2= r2(r >0),| AB = 4 2 | DE = 2 .'5,抛物线的准线方程为 x=-号,不妨设

12、 Ap, 22 , D p 卡,.点 A 4, 2- '2 , D 号，"5 在圆 x2 + y2= r2上, p 216p2 p + 8= 4 + 5，解得p= 4(负值舍去),故C的焦点到准线的距离为4.答案(1)D(2)B，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有 一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题， 特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此【训练2】(1)如图，过抛物线 y2= 2px( p>0)的焦点F的直线交抛物线于点代B,交

13、其准线I于点C,假设|BC = 2| BF，且| AF = 3,那么此抛2b = 1(a>0, b>0C2: x2= 2py( p>0) 的焦点到双曲线C的渐近物线的方程为.2 过抛物线y= 4x的焦点F的直线交该抛物线于 A, B两点，0为坐标原点假设| AF = 3, 那么厶AOB勺面积为(1)解析 设A, B在准线上的射影分别为Ai, Bi,由于| BQ = 2| BF = 2| BB|，那么直线的斜率为y/3,故| AQ = 2|AA| = 6,从而 | BF = 1, | AB = 4,故rAAr=曙=2即卩p= 3,从而抛物线的方程为卜3x. 如图，由题意知，抛物

14、线的焦点 F的坐标为(1 , 0)，又| AF = 3,由抛 物线定义知，点 A到准线x=- 1的距离为3,所以点A的横坐标为2，将 x= 2代入y = 4x得y = 8,由图知点 A的纵坐标为y= 2 ,2，所以A(2 ,2 .；2)，所以直线 AF的方程为y = 2 ：2(x 1),联立直线与抛物线的方程y= 2.2 x 1，y2= 4x,1x = 2，解得 2 或y= '2x = 2,y= 2 '2,由图知b2,-：2 ,所以SjL aob=12 x 1X |yA yB|3*22答案(1) y2=3x学考点三直线与抛物线的位置关系(多维探究) 命题角度1直线与抛物线的公共

15、点(交点)问题【例3 1(2022 全国I卷)在直角坐标系xOy中，直线I : y= t(t丰0)交y轴于点M交抛物线C:y2= 2px( p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接Oh并延长交C于点H.(1)求IOHION ； 除H以外，直线 MH与C是否有其它公共点？说明理由t2解如图，由得MO, t), P2p, t ,t2又N为M关于点P的对称点，故 N, t ,p故直线ON的方程为y = px,将其代入y2= 2px整理得px2 2t2x= 0,2t22t2解得 Xi = 0, X2 =，因此 H, 2t .PP所以N为OH勺中点，即|°N = 2.1 ON 直线M

16、HW C除H以外没有其它公共点，理由如下：p2t直线MH勺方程为y t = 2x，即x = -p(y t).代入 y2 = 2px 得 y2 4ty + 4t2= 0,解得 yi = y2 = 2t,即直线MHf C只有一个公共点，所以除H以外，直线MHW C没有其它公共点命题角度2与抛物线弦长(中点)有关的问题2 1【例3 2】(2022 北京卷)抛物线 C: y2= 2px过点P(1 , 1)，过点0, 作直线丨与 抛物线C交于不同的两点 M N,过点M作x轴的垂线分别与直线 OP ON交于点A, B,其中 O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；求证：A为线段BM的中

17、点.2 1(1) 解把 R1 , 1)代入 y = 2px,得 p= ,2所以抛物线C的方程为y= x ,一 1 1焦点坐标为4 , 0 ,准线方程为x= 4.(2) 证明当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN也就是直线I)斜率存在且不为零1由题意，设直线I的方程为y = kx + (k丰0), I与抛物线C的交点为MX1, y" , NX2, y2)., 1y = kx+- ,2 2由2 消去 y 得 4k x+ (4 k 4)x + 1= 0.y = x ,22考虑 A = (4k 4) 4X4 k = 16(1 2k),由题可知有两交

18、点，所以判别式大于零，所以1XiX2= 4k2.1 kXi + X2 =2 ,k因为点P的坐标为(1 , 1)，所以直线 OP的方程为y = x，点A的坐标为(Xi, Xi).直线ON的方程为y= X2x，点B的坐标为X1,竽. ,y2X1y1X2+ y2X1 2x1X2因为 y1 + 2X1=-X2X21 1kX1 + X2 + kX2 + 2 X1 2x1X2X212k 2X1X2+ - X2+ X1X211 k2k 2X 冢+亍=0.X2所以y1 +y2X1X2=2X1.故A为线段BM的中点.规律方法 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到 根与系数的关

19、系2.有关直线与抛物线的弦长问题，可直接使用公式| AB =为+ X2+ p,假设不过焦点，那么必须用一般弦长公式3. 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求、“整体代入等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法求解【训练3】(2022 全国I卷)F为抛物线C: y2= 4x的焦点，过F作两条互相垂直的直 线11, 12，直线I 1与C交于A B两点，直线l 2与C交于D, E两点，贝U | AB + | DE的最小 值为()A.16B.14解析 抛物线Cy2= 4x的焦点为F(1，0)，由题意可知丨1，丨芥的斜率为k，贝UI2直线的1斜率为一匚，

20、故丨1： y = k(x 1)，12： y =1y2= 4x，y = k x 1，k(x 1).消去 y 得 k2x2 (- k2 + 4)x + k2= 0.设 A(xi, yi),巳 X2, y2),Xl+ X2 =2k2+ 442+ F，4 由抛物线定义可知，| AE| = xi + X2 + 2 = 4+ 2.k同理得 | DEf = 4+ 4k2,+ |DEf = 8 + 4k2+ k2 > 8+ 2 16= 16.1 2当且仅当亡=k2,即卩k =±1时取等号.故|AB + |DE的最小值为16.答案 A根底稳固题组建议用时：40分钟、选择题1.2022 济南月考假

21、设抛物线y= ax2的焦点坐标是0 ,1，那么a等于A.1b.2C.2解析因为抛物线的标准方程为2 1x= ay，1所以其焦点坐标为0,亦， 那么有4a= 1,解得a=4.答案 D2.2022 全国n卷设F为抛物线C: y2= 4x的焦点，曲线y = £ k>0与C交于点P, PF丄xz.轴，那么k =3C.2解析 由题可知抛物线的焦点坐标为1 , 0，由PF丄x轴知，|PF = 2,所以P点的坐标为k(1 , 2)，代入曲线 y= 一(k>0)得 k = 2.x答案 D3.2022 张掖诊断过抛物线y2= 4x的焦点的直线l交抛物线于PX1, y" , Qx2

22、, y2两点,如果 Xi + X2 = 6，那么 | PQ =()解析 抛物线y2= 4x的焦点为F(1 , 0)，准线方程为x, | PQ =|PH + IQF = xi+ 1+ X2+ 1 =Xi + X2+ 2 = 8.答案 B4.(2022 铁岭质检)设抛物线C y2= 3x的焦点为F,点A为C上一点，假设| FA = 3,那么直线FA的倾斜角为()71A.nB.4d. nn 或 3n44解析 如图，作 AHL l 于 H,那么| AH =|FA = 3,作 FEL AH于 E,那么 |AE33=32=2，在 Rt aef中,cos / EAF= PAI| AF12nn/ EAF= y

23、，即直线FA的倾斜角为 j，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为答案 C25.(2022 衡水调研)抛物线y= 4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(X1,y" , B(X2,y2)两点，那么y1+ y2的最小值为()x = 4,22解析当直线的斜率不存在时，其方程为x = 4，由2 得y1= 4, y2= 4, y1 + y2,y = 4x,y2= 4x,24设其方程为 y = k(x 4),由r 、 得 ky 4y 16k = 0, y + y2= ,= 16,y= k x 4，k16y1+ y2= (y1+ y2)2 2=2 + 32 > 32,综上可知,y2

24、+ y；?32.k y2+ y2的最小值为32.答案 D二、填空题6.(2022 广东省际名校联考)圆(x + 1)2 + y2= 1的圆心是抛物线 y2 = px( p<0)的焦点，贝U pp解析 由题意知圆心为(一 1, 0)，那么4=一 1,解得P= 4.答案 427. (2022 黄山模拟)抛物线C： y = 8x,焦点为F,点P(0 , 4)，点A在抛物线上，当点A到抛物线准线I的距离与点A到点P的距离之和最小时，延长AF交抛物线于点 3那么厶AOB 的面积为.解析 F(2，0)，设A在抛物线准线上的投影为A',由抛物线的定义知，| AA' | = | AF ,

25、那么点A到点P(0 , 4)的距离与 A到该抛物线准线的距离之和d= | AFf + | AF >| PF = 2、/5,当F, A, P三点共线时d取得最小值，此时直线AB的斜率为一2，方程为y= 2(x 2)，即x =舟+ 2,代入抛物线C： y2由题意将点A(2 , 2)代入x = 2py,得p= 1,故x = 2y.设B(x,3)，代入x2= 2y中，得x= .''6，故水面宽为2 ：6米.答案 2 ；6三、解答题9. 抛物线C： y2= 2px( p>0)的焦点为F,抛物线C与直线11: y= x的一个交点的横坐标为8.(1) 求抛物线C的方程；= 8x,

26、可得y2+ 4y 16= 0, 解得 y= 2 2 .'5或一2+ 2 ；5. AOB勺面积为 1x 2X |( 2 2 .;5) ( 2 + 2 ,1，5)| = 4 :5.答案4 ;'58. 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后,水面宽米.QraKj12解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物方程为x = 2py(p> 0).AB的中点为(2) 不过原点的直线丨2与11垂直，且与抛物线交于不同的两点A, B,假设线段P,且| 0P = | PB，求 FAB的面积解(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，- 8),( 8)2 = 2p

27、X 8,二 2p= 8 ,抛物线方程为 y2= 8x.1 2与X轴的 直线12与1 i垂直，故可设直线 丨2： x= y + m A(xi, yi) , B(x?, y2)，且直线 交点为M2y = 8x,2由得 y - 8y 8m= 0,x = y+ mA = 64+ 32n>0,. n>-2.yi + y2= 8, yiy2= 8n,2 2yw2xiX2 n.642由题意可知 OAL OB 即 xiX2+ yiy2= m 8n= 0, n= 8 或 n= 0(舍)，直线 12: x = y+ 8, M(8 , 0).FAB= SFMB+ SFMA=TFM lyi y2|=3yi

28、+ y22 4yiy2= 24 5.2xi0. (20i7 全国I卷)设A, B为曲线 C y=二上两点,4A与B的横坐标之和为4.(i)求直线AB的斜率;设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线 AB平行，且 AML BM求直线AB的方程.解设 A(xi, yi) , 0X2, y2),2 2xiX2那么 xi 丰 X2, yi = 4, y2 = , xi + X2 = 4.yi y xi + X2于是直线 AB的斜率k = -= -= i.xi X242丄x /口，X(2)由 y = 4，得 y，= 2X3设MX3 , y3),由题设知2 = i ,解得X3=-,于是M2 , i).设直

29、线AB的方程为y = x + m故线段AB的中点为N(- , - + m, |MN = |m+ i|.2X 2将 y= x + m代入 y=得 x 4x 4m= 0.当 A = i6(m+ i)>0 ,即 m> i 时，xi, 2 = 2±2 m+ i.从而 | AB| = 2| Xi X2| = 4 21.由题设知 |AB| = 2| MN，即 4 21= 2( m 1),解得m= 7.所以直线AB的方程为x y + 7= 0.能力提升题组(建议用时：20分钟)2xG2: 3 y? = 1的右焦点G2的一条渐近线，那么 p =111. (2022 南昌模拟)抛物线 C： y = 2x2(p>0)的焦点与双曲线的连线交C于点MM在第一象限)，假设G在点M处的切线平行于A.161 2 2解析由抛物线 C : y= 2x(p>0)得 x = 2py( p>0),p所以抛物线的焦点坐标为0, 2 .2由x3 y2= 1 得 a= 3