新编高考第一轮复习数学：7.4--简单的线性规划

1、7.4简单的线性规划知识梳理在平面直角坐标系中，直线Ax+By+C=O,坐标平面内的点 Pxo, yo.B 0时，Axo+Byo+C 0，那么点Pxo, yo在直线的上方； Axo+Byo+C V 0,那么点P Xo, yo在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax+By+C o或V o，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.当Bo时，Ax+By+Co表示直线 Ax+By+C=o上方的区域； Ax+By+CV o表示直 线Ax+ By+C=o下方的区域.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解x，y叫做可行解，由所有可行解

2、组成的集合叫做可行域类 似函数的定义域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题 .线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：1根据题意，设出变量 x、y;2找出线性约束条件；3确定线性目标函数 z=f x，y；4画出可行域即各约束条件所示区域的公共区域；5利用线性目标函数作平行直线系fx，y=tt为参数；6观察图形，找到直线 fx，y=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最 优解，给出答案.点击双基A. 点o，o在区域x+y o内B. 点o，o在区域x+y+12x内D. 点o，1在区域x- y+1o内解析：将o，o代入x+yo，成立.答案

3、：Ay满足那么x2+y2的最小值为2. 2oo5年海淀区期末练习题设动点坐标 x， x y+1x+y- 4 o，x 3，J?B. .ioC.H解析：数形结合可知当x=3，y=1时，x2+y2的最小值为io.答案：DJ2x y+1 o，x 2y 1 上3答案：ty4x0,0,3y12表示的平面区域内的整点横坐标和纵坐标都是整数的点共有个.解析：1, 1， 1, 2， 2 , 1，共 3 个.答案：3典例剖析【例1 求不等式I x 1 I + I y 1 I w 2表示的平面区域的面积. 剖析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.解：I x1x 1,y 1,或x+y w 4I +

4、I y 1 |w 2可化为x 1,v yw 1, 或 1,y x w 2xw 1,或彳yw 1,、x+y 0.其平面区域如图.1面积 S= X4X 4=8.2评述：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界深化拓展假设再求： 址一2 :(x 1)2 (y 2)2的值域，你会做吗？x 1答案： f - U 3 , + ；1, 5:.2 2【例2】 某人上午7时，乘摩托艇以匀速 v n mile/h 4 v 20从A港出发到距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速 w km/h 30 w 100自B港向距300 km的CC市.设 乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h、y h.1作图表示满足上

5、述条件的x、y范围；2如果所需的经费p=100+3 X 5 X+2 x 8 y元，那么V、w分别是多少时走得最经济 ？此时需花费多少元？剖析：由p=100+3 x 5 x+2 x 8 y可知影响花费的是 3x+2y的取值范围.解:1依题意得v= , w= 300 , 4 v 20, 30 w 100. y x5253 360,0w xw 4,0w yw 7.z=252x+160y,其中x、y N.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线Io： 252x+160y=0，把直线O I向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小 观察图形，可见当直线1(252乂+160+

6、4经过点=2, 5时，满足上述要求此时，z=252x+160y 取得最小值，即 x=2, y=5 时，Zmin=252X 2+160 X 5=1304.答：每天派出甲型车 2辆，乙型车5辆，车队所用本钱费最低评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系fx, y=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法先作出可 行域中的各整点闯关训练夯实根底1. x 12+ y 12=1 是 | x 1 | + | y 1 | 1 的条件解析：数形结合.答案：B2. x+2y+1 x y+4w 0表示的平面区域为-4 -3 -2-1-4-2 OD解析：可转化

7、为 0,x+2y+1 0.答案：B3. 2004年全国卷n,14设x、y满足约束条件：；,C2x y 1,设Z=2，那么z的最小值为x，最大值为z看作常数时，它表示直线 线y=zx过点B时，z最小.x= 1,3x+ 5y 25 = 0,得 A1,y=zx的斜率，因此，当直线 y=zx过点A时，z最大；当直3)+5 %25 =0x-4y+3=09-3 O 1 2 34 5 6 7 8x 4y+3=0,得 B 5,2.3x+5y 25=0,22r = 222一 ,zmin =.55225包括各边，写出该区 z=3x 2y的最大值和最答案：251, 3为顶点的厶ABC的区域A3, 1、B 1, 1、

8、C域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数 小值.不等式组;分析：本例含三个问题：画指定区域；写所画区域的代数表达式求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.解：如图，连结点 A、B、C,那么直线AB、BC、CA所围成的区域为所求 ABC区域.直线AB的方程为x+2y 仁0, BC及CA的直线方程分别为 x y+2=0 , 2x+y 5=0.在厶 ABC 内取一点 P 1 , 1，分别代入 x+2y 1 , x y+2 , 2x+y 5 得 x+2y 10 , x y+20 , 2x+y 5 0, V x y+2 0, gx+y 5 w 0.作平行于直线3x 2y=0的

9、直线系3x 2y=t t为参数，即平移直线3 11可知：当直线y= x t过A 3, 1时，纵截距一 一tt最大，tmax=3 X 3 2 X一2221=11;3 11当直线y= X t经过点B 1, 1时，纵截距 -t最大，此时t有最小值为tmin =2223X一 1一 2X 1 = 5.因此，函数z=3x 2y在约束条件rx+2y 1 0， 0，下的最大值为11,最小值为5.gx+y 5 w 06某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每 100 g含蛋白质6个单位，含淀粉 4个单 位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要 求给学生配制盒饭，每盒

10、盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少 ？解：设每盒盒饭需要面食 x百克，米食y百克，6x+3yf3y=8K4x+77所需费用为Sxy，且x、y满足r6x+3y 8,4x+7y 10,x 0,0,S最小.由图可知，直线y= 5x+ s过A 3 , 14丨时，纵截距s最小，即4 215152故每盒盒饭为面食培养能力百克，米食15百克时既科学又费用最少15A、B两种药剂，需要甲、乙两种原料，配一剂A种药需甲料3 mg,乙料5 mg ;配一剂B种药需甲料5 mg,乙料4 mg.今有甲料20 mg ,乙料25 mg，假设A、B两种药至 少各配一剂，问共有多少

11、种配制方法 ？解：设A、B两种药分别配x、y剂x、y N，贝Ux 1,严1,3x+5yw 20,(5x+4yw 25.上述不等式组的解集是以直线x=1 , y=1 , 3x+5y=20及5x+4y=25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为1, 1、 1，2、 1，3、 2, 1、 2，2、 3，1、 3, 2、 4, 1. 所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法.8某公司方案在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况如资金、劳动力确定产品 的月供应量，以使得总利润到达最大对这两种产品有直接限制的因素是资

12、金和劳动力， 通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金百元月资金供应量百元空调机洗衣机本钱3020300劳动力工资510110单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润到达最大，最大利润是多少？解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是 P,贝U P=6x+8y,由题意广30x+20yW 300,O1020 x5x+10yW 110, x 0,y 0, X、y均为整数.3 1由图知直线 y= x+ P过 MP也取最大值 Pmax=6 x 4+8 x 9=96百元4 8故当月供应量为空调机 4台，洗衣机9台时，可获得最大利润 9600元. 探

13、究创新fx=x2+ax+2b=0的一个根在0, 1内，另一个根在1, 2内，求: 1的值域；a 12 a 12+ b 22 的值域；3a+b 3的值域.f 0 0解：由题意知v f 1 0b 0, a+ b+1 0.如下列图.A一 3, 1、B一 2, 0、C一 1, 0.又由所要求的量的几何意义知， 值域分别为1 -a+b=-128, 17；3一 5, 4.4思悟小结简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务， 如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存

14、问题，通常 解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步 一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确通常最优解在可行域的顶点即边界线的交点处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标教师下载中心教学点睛线性规划是新增添的教学内容，应予以足够重视线性规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式组表示的平面区域，是解决线性规划问题的根底，因

15、为在直线 Ax+By+C=O同一侧的所有点x, y实数Ax+By+C的符号 相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点 X。，y。假设原点不在直线上，那么取原点0， 0最简便，把它的坐标代入 Ax+By+C=0，由其值的符号即可判断二元一次不等式 Ax+By+C 0或V 0表示直线的哪一侧这是教材介绍的方法在求线性目标函数 z=ax+by的最大值或最小值时，设 ax+by=t，那么此直线往右或左 平移时，t值随之增大或减小，要会在可行域中确定最优解解线性规划应用题步骤：1设出决策变量，找出线性约束条件和线性目标函数；2利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数到达最大或最小拓展题例【例 1】 fx=px2 q 且一4W f 1w 1， 1 f 2w 5，求 f 3的范围.解： 4 4，4p q w 5，、4p q 1.求z=9p q的最值.4p-q=-1 p- q=-43,7)p-q=-1)4p- q=5(0,1)p- q=5如图，.p=0,q=i,Zmin= 1 ,P=3, Zmax=20 ,q=7