解直角三角形培优专练

1、解直角三角形培优专练一选择题（共5小题）1数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：AC，ACB；EF、DE、AD；CD，ACB，ADB其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（）A0组B一组C二组D三组2如图，ABC中，A=30°，AC=，则AB的长为（）ABC5D3一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中ab，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（）ABCD4如图，在矩形ABCD中，D

2、EAC于E，AOB：AOD=1：2，且BD=12，则DE的长度是（）A3B6C6D35如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（）A（1）小时B（+1）小时C2小时D小时二填空题（共5小题）6如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），

3、则河的宽度AB约为m（精确到0.1m）（参考数据：1.41，1.73）7如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为海里（取，结果精确到0.1海里）8在RtABC中，C=90°，BD是ABC的角平分线，将BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sinADC1的值是9如图ABC中，C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC

4、于D，连接BD，若cosBDC=，则BC的长为10在RtABC中，C=90度若sinA=，则sinB=三解答题（共5小题）11钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少（结果保留根号）12如图，将含30°角的直角三角板ABC（A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转角（0°

5、;90°），得到RtABC，AC与AB交于点D，过点D作DEAB交CB于点E，连接BE易知，在旋转过程中，BDE为直角三角形设BC=1，AD=x，BDE的面积为S（1）当=30°时，求x的值（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）以点E为圆心，BE为半径作E，当S=时，判断E与AC的位置关系，并求相应的tan值13如图是成都市某街道的一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡面点A处10米的建筑物EF是否需要拆除？（参考数据：1.

6、414，1.732 ）14已知：如图，在RtABC中，C=90°，ABC=45°，D是BC上的点，BD=10ADC=60°求AC（1.73，结果保留整数）15在ABC中，B是锐角，AD是BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，sinB是方程10x23x4=0的一个根（1）求线段CD的长；（2）求tanEDC的值参考答案与试题解析一选择题（共5小题）1（2015江西校级模拟）数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中

7、3位同学分别测得三组数据：AC，ACB；EF、DE、AD；CD，ACB，ADB其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（）A0组B一组C二组D三组【考点】解直角三角形的应用；相似三角形的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可所以借助于（1）（3），根据AB=即可解答【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，第组中，因为知道ACB和AC的长，所以可利用ACB的正切来求AB的长；第组中可利用ACB和ADB的正切求出AB；第组中设AC=x，AD=CD+x，AB=，AB=；因为已知CD，ACB，ADB，可求出x，然后得出AB故选D【点评】本题考查

8、解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出2（2013攀枝花模拟）如图，ABC中，A=30°，AC=，则AB的长为（）ABC5D【考点】解直角三角形菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】作CDAB于D，构造两个直角三角形根据锐角三角函数求得CD、AD的长，再根据锐角三角函数求得BD的长，从而求得AB的长【解答】解：作CDAB于D在直角三角形ACD中，A=30°，AC=，CD=，AD=3在直角三角形BCD中，BD=2AB=AD+BD=5故选C【点评】巧妙构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数的知识求解3（

9、2012余姚市校级自主招生）一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中ab，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（）ABCD【考点】解直角三角形菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】根据余弦定理，求出最小角的余弦值，建立相等关系，解方程即可【解答】解：余弦定理：a，a，b中最小内角为边b所对，cosx=b，b，a中最小内角为边b所对，cosy=x=y，=解方程得：=故选B【点评】本题的关键是根据余弦定理，利用两三角形中有一个等角，建立等式，解方程求值4（2012深圳校级模拟）如图，在矩形ABCD中，DEAC于E，AOB：AOD=1：2，且BD=12，则DE的长度是

10、（）A3B6C6D3【考点】解直角三角形；矩形的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】由已知条件可分析得出COD=60°，OD=6解直角三角形ODE即可得出DE的长度【解答】解：在矩形ABCD中AOB：AOD=1：2，且BD=12COD=60°，OD=6DEACDE=ODsin60°=3故选D【点评】考查了矩形的性质以及解直角三角形的简单应用5（2013武汉模拟）如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得

11、灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（）A（1）小时B（+1）小时C2小时D小时【考点】解直角三角形的应用-方向角问题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】连接MC，过M点作MDAC于D根据三角函数的定义，在RtADM中可得AD=MD，在RtBDM中可得BD=MD，根据垂径定理可得BC=2MD，依此求出BC：AB的值即可求解【解答】解：连接MC，过M点作MDAC于D在RtADM中，MAD=30°，AD=MD，在RtBDM中，MBD=45°，BD=MD，BC=2MD，BC：AB=2MD：（1）MD=2：+1故轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为

12、（+1）小时故选B【点评】考查了解直角三角形的应用方向角问题，本题关键是得到AD=MD，BC=2MD二填空题（共5小题）6（2013大连）如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为15.3m（精确到0.1m）（参考数据：1.41，1.73）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】在RtACD中求出AC，在RtBCD中求出BC，继而可得出AB【解答】解：在RtACD中，CD=21m，DAC=30°，则A

13、C=CD36.3m；在RtBCD中，DBC=45°，则BC=CD=21m，故AB=ACBC=15.3m故答案为：15.3【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，理解俯角的定义，能利用三角函数表示线段的长度7（2013泰安）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为67.5海里（取，结果精确到0.1海里）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

14、菁优网版权所有【专题】应用题；压轴题【分析】过点D作DEAB于点E，设DE=x，在RtCDE中表示出CE，在RtBDE中表示出BE，再由CB=25海里，可得出关于x的方程，解出后即可计算AB的长度【解答】解：DBA=DAB=45°，DAB是等腰直角三角形，过点D作DEAB于点E，则DE=AB，设DE=x，则AB=2x，在RtCDE中，DCE=30°，则CE=DE=x，在RtBDE中，DAE=45°，则DE=BE=x，由题意得，CB=CEBE=xx=25，解得：x=，故AB=25（+1）=67.5（海里）故答案为：67.5【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本

15、题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般8（2013崇明县一模）在RtABC中，C=90°，BD是ABC的角平分线，将BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sinADC1的值是【考点】锐角三角函数的定义；翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有【专题】常规题型；压轴题【分析】根据题意知：将BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，C1点恰好在斜边AB上，根据角之间的关系可知ADC1=ABC，根据锐角三角函数的定义即可解答【解答】解：C=90°，BD是ABC的角平分线，将BCD沿着直线BD折叠，C1点恰好在斜边AB上，

16、DC1A=90°，ADC1=ABC，AB=5，AC=4，sinADC1=故答案为：【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及翻折变换（折叠问题）解题时利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等9（2013大连模拟）如图ABC中，C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cosBDC=，则BC的长为4【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由于cosBDC=，可设DC=3x，BD=5x，由于MN是线段AB的垂直平分线，故A

17、D=DB，AD=5x，又知AC=8cm，即可据此列方程解答【解答】解：cosBDC=，可设DC=3x，BD=5x，又MN是线段AB的垂直平分线，AD=DB=5x，又AC=8cm，3x+5x=8，解得，x=1，在RtBDC中，CD=3cm，DB=5cm，BC=4故答案为4【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、解直角三角形的相关知识，综合性较强，计算要仔细10（2012宜宾县校级模拟）在RtABC中，C=90度若sinA=，则sinB=【考点】特殊角的三角函数值菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】先根据特殊角的三角函数值与直角三角形的性质求出A，B的度数，再求解即可【解答】解：在RtA

18、BC中，C=90°，sinA=，A=45°=BsinB=【点评】解答此题的关键是数记特殊角的三角函数值及直角三角形的性质三解答题（共5小题）11（2013遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题菁优网版权所有【专题】

19、压轴题【分析】首先过点B作BDAC于D，由题意可知，BAC=45°，ABC=90°+15°=105°，则可求得ACB的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案【解答】解：过点B作BDAC于D由题意可知，BAC=45°，ABC=90°+15°=105°，ACB=180°BACABC=30°，在RtABD中，BD=ABsinBAD=20×=10（海里），在RtBCD中，BC=20（海里）答：此时船C与船B的距离是20海里【点评】此题考查了方向角问题此题难度适中，注意能借助于方向角构造直

20、角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键12（2013和平区二模）如图，将含30°角的直角三角板ABC（A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转角（0°90°），得到RtABC，AC与AB交于点D，过点D作DEAB交CB于点E，连接BE易知，在旋转过程中，BDE为直角三角形设BC=1，AD=x，BDE的面积为S（1）当=30°时，求x的值（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）以点E为圆心，BE为半径作E，当S=时，判断E与AC的位置关系，并求相应的tan值【考点】锐角三角函数的定义；根据实际问题列二次函数关系式；勾股定理

21、；直线与圆的位置关系；旋转的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题；数形结合【分析】（1）根据等腰三角形的判定，A=30°，得出x=1；（2）由直角三角形的性质，AB=2，AC=，由旋转性质求得ADCBCE，根据比例关系式，求出S与x的函数关系式；（3）当S=时，求得x的值，判断E和DE的长度大小，确定E与AC的位置关系，再求tan值【解答】解：（1）A=a=30°，又ACB=90°，ABC=BCD=60°AD=BD=BC=1x=1；（2）DBE=90°，ABC=60°，A=CBE=30°AC=BC

22、=，AB=2BC=2由旋转性质可知：AC=AC，BC=BC，ACD=BCE，ADCBEC，=，BE=xBD=2x，s=×x（2x）=x2+x（0x2）（3）s=sABC+=，4x28x+3=0，当x=时，BD=2=，BE=×=DE=DEAB，EDC=A=A=30°EC=DE=BE，此时E与AC相离过D作DFAC于F，则， （12分）当时，此时E与A'C相交 同理可求出【点评】本题考查的知识点：等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的判定以及直线与圆的位置关系的确定，是一道综合性较强的题目，难度大13（2013成都模拟）如图是成都市某街道的一座人行天

23、桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡面点A处10米的建筑物EF是否需要拆除？（参考数据：1.414，1.732 ）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】由已知天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°，易求得AB的长；又由新坡面的坡度为1：，根据坡度的定义，可求得BD的长，从而求得AD的长，然后将AD+3与10进行比较，若大于则需拆除，反之不用拆除【解答】解：根据题意得：CAB=45°，BC=10米AB=BC=10米i=1：，即：=，BD=10米，AD=10107.32（米），7.32+310答：离原坡角10米的建筑物需要拆除【点评】此题主要考查学生坡度坡角问题此题难度适中，解此题的关键是掌握坡度与坡角的定义，注意解直角三角形的应用14（2012泉州校级自主招生）已知：如图，在RtABC中，C=90°，ABC=45°，D是BC上的点，BD=10ADC=60°求AC（1.73，结果保留整数）【考点】解直角三角形