挑战中考数学压轴题(全套)

1、精选优质文档-倾情为你奉上挑战中考系列 (数学 )第一部分函数图象中点的存在性问题§ 11 因动点产生的相似三角形问题 §12 因动点产生的等腰三角形问题 §13 因动点产生的直角三角形问题 § 14 因动点产生的平行四边形问题§ 15 因动点产生的面积问题§ 1 6 因动点产生的相切问题§ 17 因动点产生的线段和差问题第二部分图形运动中的函数关系问题§21由比例线段产生的函数关系问题第三部分图形运动中的计算说理问题§ 31代数计算及通过代数计算进行说理问题§ 32几何证明及通过几何计算进行说

2、理问题第四部分图形的平移、翻折与旋转§41图形的平移§ 42图形的翻折§ 43图形的旋转§ 44 三角形§ 45 四边形§ 46 圆§ 47 函数的图象及性质§11 因动点产生的相似三角形问题课前导学 相似三角形的判定定理有3 个，其中判定定理1 和判定定理2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步： 寻找一组等角， 分两种情况列比例方程，解方程并检验如果已知A D，探求 ABC 与 DEF 相似，只要把夹 A 和 D 的

3、两边表示出来，按照对应边成比例，分ABDE和ABDF 两种情况列方程ACDFACDE应用判定定理1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）还有一种情况， 讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等， 其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解记忆比较好如图 1，如果已知 A、 B 两点的坐标，怎样求A、 B 两点间的距离呢？我们以 AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边 AB

4、的长了水平距离BC 的长就是 A、B 两点间的水平距离，等于A、B 两点的横坐标相减；竖直距离 AC 就是 A、 B 两点间的竖直距离，等于A、 B 两点的纵坐标相减图1图1图2例 1湖南省衡阳市中考第28 题二次函数 y ax2 bxc（ a 0）的图象与x 轴交于 A(3, 0)、 B(1, 0) 两点，与 y 轴交于点 C(0, 3m)（ m 0），顶点为 D（ 1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示） ；（ 2）如图 1，当 m 2 时，点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC 的面积为 S，试求出S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及S 的最大值；专心-专

5、注-专业1挑战中考系列 (数学 )（ 3）如图 2，当 m 取何值时，以A、 D 、C 三点为顶点的三角形与OBC 相似？动感体验请打开几何画板文件名“14 衡阳 28”，拖动点P 运动，可以体验到，当点P运动到 AC 的中点的正下方时， APC 的面积最大 拖动 y 轴上表示实数m 的点运动， 抛物线的形状会改变，可以体验到，ACD 和 ADC 都可以成为直角思路点拨1用交点式求抛物线的解析式比较简便2连结 OP， APC 可以割补为：AOP 与 COP 的和，再减去AOC3讨论 ACD 与 OBC 相似，先确定 ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似 4直角三角形 ACD 存在

6、两种情况图文解析（ 1）因为抛物线与 x 轴交于 A(3, 0)、 B(1, 0) 两点，设 y a(x3)(x 1)代入点 C(0, 3m)，得 3m 3a解得 a m所以该二次函数的解析式为y m(x 3)(x1) mx22mx 3m（ 2）如图 3，连结 OP当 m 2 时， C(0, 6)，y2x2 4x 6，那么 P(x, 2x2 4x 6)由于 S AOP1322 6x 9，SCOP1( xP ) OA ( yP ) (2x 4x 6)3xOC222 3x， S AOC 9，所以 S S APC SAOP SCOP SAOC 3x2 9x 3( x3 ) 227 24所以当 x3

7、时， S 取得最大值，最大值为27 24图3图4图5图6（ 3）如图 4，过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为E过点 A 作 x 轴的垂线交DE 于 F 由 y m( x 3)( x1) m(x1) 2 4m，得 D ( 1, 4m) 在 Rt OBC 中， OBOC 1 3m如果 ADC 与 OBC 相似，那么 ADC 是直角三角形， 而且两条直角边的比为1 3m如图 4，当 ACD 90°时， OAOC 所以 33m 解得 m 1ECEDm1此时 CAOC3， OC3 所以 CAOC 所以 CDA OBCCDEDOBCDOB如图 5，当 ADC 90°时， FAFD 所以

8、 4m2 解得 m2 EDEC1m2此时 DAFD222，而 OC3m3 2 因此 DCA 与 OBC 不相似DCECmOB2综上所述，当 m 1 时， CDA OBC考点伸展 第（ 2）题还可以这样割补：如图 6，过点 P 作 x 轴的垂线与 AC 交于点 H由直线 AC： y 2x 6，可得 H(x, 2x 6)又因为 P(x, 2x2 4x 6)，所以 HP 2x26x因为 PAH 与 PCH 有公共底边 HP ，高的和为 A、 C 两点间的水平距离 3，所以2挑战中考系列 (数学 )S SAPC SAPH S CPH 3( 2x2 6x) 3(x3) 227 224例 22014年湖南

9、省益阳市中考第21 题如图 1，在直角梯形ABCD 中， AB /CD ， AD AB， B 60°， AB 10， BC 4，点 P沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 AP x（ 1）求 AD 的长；2·1·c·n·j·y（ 2）点 P 在运动过程中，是否存在以A、 P、 D 为顶点的三角形与以 P、 C、 B 为顶点的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；图 1（ 3）设 ADP 与 PCB 的外接圆的面积分别为S1、 S2，若 S S1S2，求 S 的最小值 .动感体验请打开几何画板文件名“14 益阳

10、21”，拖动点 P 在 AB 上运动，可以体验到， 圆心 O 的运动轨迹是线段BC 的垂直平分线上的一条线段观察S 随点 P 运动的图象，可以看到， S有最小值，此时点P 看上去象是 AB 的中点，其实离得很近而已思路点拨 1第（ 2）题先确定 PCB 是直角三角形，再验证两个三角形是否相似2第（ 3）题理解 PCB 的外接圆的圆心O 很关键，圆心 O 在确定的 BC 的垂直平分线上，同时又在不确定的BP 的垂直平分线上而 BP 与 AP 是相关的，这样就可以以AP 为自变量，求S 的函数关系式图文解析（ 1）如图 2，作 CH AB 于 H，那么 AD CH 在 RtBCH 中， B60&#

11、176;， BC 4，所以 BH 2，CH 2 3 所以 AD 2 3 （ 2）因为 APD 是直角三角形，如果 APD 与 PCB 相似，那么 PCB 一定是直角三角形如图3，当 CPB 90°时， AP 10 2 8所以AP8 43，而 PC3 此时 APD 与 PCB 不相似AD2 33PB图2图3图4如图 4，当 BCP 90°时， BP 2BC8所以 AP 2所以 AP 23 所以 APD 60°此时 APD CBPAD2 33综上所述，当 x 2 时， APD CBP（ 3）如图 5，设 ADP 的外接圆的圆心为 G，那么点 G 是斜边 DP 的中点设

12、 PCB 的外接圆的圆心为 O，那么点 O 在 BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点 E，与 AB 交于点 F设 AP 2m作 OM BP 于 M，那么 BM PM 5 m在 Rt BEF 中， BE 2， B60°，所以 BF 4在 Rt OFM 中，FM BF BM4 (5 m) m 1， OFM 30°，所以 OM 3 (m1) 3所以 OB2 BM 2OM 2 (5m)2 1 ( m1)2 在 RtADP 中，DP 2AD2 AP2 12 4m2 所3以 GP2 3 m2于是 S S S (GP2 OB2221212)3 m (5m)(m1)33挑战中考

13、系列 (数学 )(7 m232m 85) 所以当 m16 时， S 取得最小值，最小值为113 377图 5图 6考点伸展 关于第（ 3）题，我们再讨论个问题问题 1，为什么设AP2m 呢？这是因为线段 AB AP PM BM AP 2BM 10这样 BM 5 m，后续可以减少一些分数运算这不影响求S 的最小值问题 2，如果圆心 O 在线段 EF 的延长线上， S 关于 m 的解析式是什么？如图 6，圆心 O 在线段 EF 的延长线上时，不同的是FM BM BF (5 m) 4 1m此时 OB2 BM 2OM 2 (5 m)2 1 (1 m) 2 这并不影响S 关于 m 的解析式3例 3201

14、5 年湖南省湘西市中考第26 题如图 1，已知直线 y x 3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 y x2 bx c 经过 A、B 两点，点 P 在线段 OA 上，从 点 O 出发，向点 A 以每秒 1 个单位的速度匀速运动；同时，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以每秒 2 个单位的速度匀速运动，连结 PQ，设运动时间为 t 秒（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）问：当 t 为何值时， APQ 为直角三角形；（ 3）过点 P 作 PE/y 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作 QF/y 轴，交抛物线于点F ，连结 EF，当 EF/PQ 时，求点 F 的坐标；

15、（ 4）设抛物线顶点为M，连结 BP、 BM、 MQ ，问：是否存在t 的值，使以B、Q、M 为顶点的三角形与以O、B、P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“15湘西 26”，拖动点P 在 OA 上运动，可以体验到，APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形，MBQ 与 BOP 有一次机会相似思路点拨1在 APQ 中， A 45°，夹 A 的两条边 AP、AQ 都可以用 t 表示，分两种情况讨论直角三角形 APQ 2先用含 t 的式子表示点 P、 Q 的坐标，进而表示点 E、

16、 F 的坐标，根据 PE QF 列方程就好了 3 MBQ 与 BOP 都是直角三角形， 根据直角边对应成比例分两种情况讨论 图文解析 （ 1）由 y x3，得 A(3, 0)， B(0, 3) 将 A(3, 0)、 B(0, 3) 分别代入 y x2bx c，得9 3b c 0,解得b2,c3.c3.所以抛物线的解析式为y x2 2x 3（ 2）在 APQ 中，PAQ 45°，AP 3 t，AQ 2 t分两种情况讨论直角三角形APQ：当 PQA 90°时， AP2 AQ解方程3 t 2t，得 t 1（如图2）当 QPA 90°时， AQ2 AP解方程2 t 2 (

17、3 t) ，得 t 1.5（如图3）4挑战中考系列 (数学 )图2图3图4图5（ 3）如图 4，因为 PE/QF ，当 EF/PQ 时，四边形EPQF 是平行四边形所以 EP FQ 所以 yE yP yF yQ因为 xP t，xQ 3 t，所以 yE 3 t， yQ t， yF(3 t)2 2(3 t) 3 t2 4t因为 yE yP yF yQ，解方程 3 t ( t 24t) t，得 t 1，或 t 3（舍去）所以点 F 的坐标为 (2, 3) （ 4）由 y x2 2x 3 (x 1)2 4，得 M(1, 4) 由 A(3, 0)、 B(0, 3) ，可知 A、 B两点间的水平距离、竖直

18、距离相等，AB 32由 B(0, 3)、 M(1, 4)，可知 B、 M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM2所以 MBQ BOP 90°因此 MBQ 与 BOP相似存在两种可能：当 BMOB 时，3223 解得 t9 （如图 5）BQOP2tt4当 BMOP 时，322t 整理，得 t2 3t 3 0此方程无实根BQOB2t3考点伸展 第（ 3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t,3 t)， Q(3 t, t)，按照 PE 方向，将点 Q 向上平移，得F(3 t, 3)再将 F(3 t, 3)代入 y x2 2x 3，得 t 1，或t 3 §12因动点产生

19、的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1已知线段 AB 5 厘米，以线段 AB 为腰的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 2已知线段 AB6 厘米，以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类如果 ABC 是等腰三角形，那么存在AB AC， BA BC， CA CB 三种情况解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几

20、何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用几何法呢？如果 ABC 的 A（的余弦值） 是确定的， 夹 A 的两边 AB 和 AC 可以用含x 的式子表示出来， 那么就用几何法如图 1，如果 ABAC ，直接列方程； 如图 2，如果 BA BC，那么 1 ACAB cosA ；如图 3，如果 CA CB，那么 1 ABAC cosA 22代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的， 而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来， 那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来5挑战中考系列 (数学 )图1图2图3图1例 92014年长沙市

21、中考第26 题如图 1，抛物线 y ax2 bx c（ a、b、 c 是常数， a0）的对称轴为y 轴，且经过 (0,0)和 ( a,1) 两点，点 P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的 P 总经过定点 A(0, 2)16（ 1）求 a、b、c 的值；（ 2）求证：在点P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交；（ 3）设 P与 x 轴相交于 M(x1 , 0)、N(x2, 0)两点，当 AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 长沙 26”，拖动圆心 P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与 x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况思路点拨 1不算

22、不知道，一算真奇妙，原来P 在 x 轴上截得的弦长MN 4 是定值2等腰三角形 AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MAMN和 NA NM 时，点 P 的纵坐标是相等的图文解析 （ 1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以 y ax2所以 b 0，c 0将 ( a , 1 ) 代入 yax2 ，得 1a2 解得 a1 （舍去了负值） 16164（ 2）抛物线的解析式为y1x2 ，设点 P 的坐标为 ( x, 1 x2 ) 44已知 A(0, 2)，所以 PAx2(1x22)21x44 1x2 4164而圆心 P 到 x 轴的距离为1x2 ，所以半径 PA圆心 P 到 x 轴

23、的距离4所以在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交（ 3）如图 2，设 MN 的中点为H ，那么 PH 垂直平分 MN 在 RtPMH 中， PM 2PA21x44，PH2(1x)21x4 ，所以 MH2 416416所以 MH 2因此 MN 4，为定值等腰AMN 存在三种情况：如图3，当 AM AN时，点 P 为原点 O 重合，此时点P 的纵坐标为 0图 2图3图4图 5如图 4，当 MA MN 时，在 Rt AOM 中， OA2， AM 4，所以 OM 23 此时 x OH 2 32 所以点 P 的纵坐标为 1x21(2 32)2( 31)242344如图 5，当 NA NM 时，

24、根据对称性，点 P 的纵坐标为也为4 23 如图 6，当 NA NM 4 时，在 Rt AON 中， OA 2，AN 4，所以ON 23 6挑战中考系列 (数学 )此时 x OH 2 3 2 所以点 P 的纵坐标为 1x21(2 3 2)2(3 1)242344如图 7，当 MN MA 4 时，根据对称性，点P 的纵坐标也为 423 图 6图 7考点伸展 如果点 P 在抛物线 y1x2 上运动， 以点 P 为圆心的 P 总经过定点 B(0, 1) ，那4么在点 P 运动的过程中， P 始终与直线 y 1 相切这是因为：设点 P 的坐标为 (x,1x2 ) 已知 B(0, 1) ，所以 PBx2

25、(1 x21)2( 1 x21)21 x21 4444而圆心 P 到直线 y 1 的距离也为 1x21，所以半径 PB圆心 P 到直线 y 1 的距4离所以在点P 运动的过程中，P 始终与直线 y 1 相切例 102014年湖南省张家界市中考第25 题如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 y ax2 bxc（ a 0）过 O、 B、 C 三点， B、 C 坐标1824分别为 (10, 0) 和 ( ,) ，以 OB 为直径的 A 经过 C 点，55直线 l 垂直 x 轴于 B 点（ 1）求直线 BC 的解析式；（ 2）求抛物线解析式及顶点坐标；（ 3）点 M 是 A 上一动点（

26、不同于 O、B），过点 M作 A 的切线，交 y 轴于点 E，交直线 l 于点 F，设线段ME 长为 m，MF 长为 n，请猜想 mn 的值，并证明你的结论；（ 4）若点 P 从 O 出发，以每秒 1 个单位的速度向点B作直线运动，点 Q 同时从 B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过 t（ 0 t 8）秒时恰好使 BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值图 1动感体验 请打开几何画板文件名“14 张家界 25”，拖动点M 在圆上运动，可以体验到， EAF 保持直角三角形的形状， AM 是斜边上的高拖动点Q 在 BC 上运动，可以体验到， BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形思路点拨

27、 1从直线 BC 的解析式可以得到OBC 的三角比，为讨论等腰三角形BPQ 作铺垫 2设交点式求抛物线的解析式比较简便3第（ 3）题连结 AE、AF 容易看到 AM是直角三角形 EAF 斜边上的高 4第（ 4）题的 PBQ 中， B 是确定的，夹 B 的两条边可以用含 t 的式子表示分三种情况讨论等腰三角形图文解析 （1）直线 BC 的解析式为 y3x15 （2）因为抛物线与 x 轴交于 O、B(10, 0)42两点，设 y ax(x 10)代入点 C (18 ,24)，得24a18( 32 ) 解得 a5 55555247挑战中考系列 (数学 )所以 y5x( x 10)5x225x5(x5

28、)2 125 抛物线的顶2424122424点为 (5,125) （ 3）如图 2，因为 EF 切 A 于 M，所以 AM EF由24AE AE，AO AM ，可得 Rt AOE Rt AME 所以 1 2同理 3 4于是可得 EAF 90°所以 5 1由 tan 5 tan 1，得 MAME 所以 ME ·MF MA 2，即 mn25MFMA图 2（ 4）在 BPQ 中， cos B 4 ，BP 10 t， BQ t分三种情况讨论等腰三角形BPQ：5如图 3，当 BP BQ 时， 10 tt解得 t 5如图 4，当 PB PQ 时， 1BQBP cosB 解方程 1t4(

29、10t) ，得 t80 22513 如图 5，当 QBQP 时， 1 BPBQ cos B 解方程 1 (10t)4 t ，得 t50 22513图3图4图5图6考点伸展 在第（ 3）题条件下，以EF 为直径的 G 与 x 轴相切于点A如图 6，这是因为AG 既是直角三角形EAF 斜边上的中线， 也是直角梯形EOBF 的中位线，因此圆心G 到 x 轴的距离等于圆的半径，所以G 与 x 轴相切于点A例 112014年湖南省邵阳市中考第26 题在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 (m n)x mn（ m n）与 x 轴相交于A、B 两点（点A 位于点 B 的右侧），与y 轴相交于点C（ 1）若

30、m2， n 1，求 A、 B 两点的坐标；（ 2）若 A、B 两点分别位于y 轴的两侧， C 点坐标是 (0,1)，求 ACB 的大小；（ 3）若 m 2， ABC 是等腰三角形，求n 的值 动感体验请打开几何画板文件名“14 邵阳 26”，点击屏幕左下方的按钮（ 2），拖动点 A 在 x 轴正半轴上运动，可以体验到，ABC 保持直角三角形的形状点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点 B 在 x 轴上运动，观察 ABC 的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形 ABC 有 4 种情况 思路点拨1抛物线的解析式可以化为交点式，用m， n 表示点 A、 B、C 的坐标2第（ 2）题判定

31、直角三角形ABC ，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比3第（ 3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程图文解析 （ 1）由 yx2 (mn) xmn (xm)(x n)，且 m n，点 A 位于点 B 的右侧，可知 A(m, 0)， B(n, 0)若 m2， n 1，那么 A(2, 0)， B(1, 0)8挑战中考系列 (数学 )（ 2）如图 1，由于 C(0, mn)，当点 C 的坐标是 (0, 1)， mn 1， OC 1若 A、 B 两点分别位于 y 轴的两侧， 那么 OA·OB m( n) mn 1所以 OC2 OA·OB所以

32、 OC OB OAOC所以 tan 1 tan 2所以 1 2又因为 1 与 3 互余，所以 2 与 3 互余所以 ACB 90°（ 3）在 ABC 中，已知 A(2, 0) ， B( n, 0)， C(0, 2n)讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB2 (n 2)2，BC 2 5n2 ，AC2 4 4n2当 AB AC 时，解方程 (n 2)2 4 4n2，得 n4 （如图 2）3当 CA CB 时，解方程 4 4n25n2，得 n 2（如图 3），或 n 2（ A、 B 重合，舍去）当 BA BC 时，解方程 (n 2)2 5n2，得 n5 1 （

33、如图 4），或 n5 1 （如图 5）22图1图2图3图4图5考点伸展 第（ 2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理由于 C(0, mn)，当点 C 的坐标是 (0, 1)， mn 1由 A(m, 0)， B( n, 0)， C(0,1) ，得 AB2 (m n)2 m2 2mn n2 m2 n2 2，BC 2 n2 1， AC2m2 1所以 AB2 BC2 AC2于是得到Rt ABC， ACB 90°第（ 3）题在讨论等腰三角形ABC 时，对于 CA CB 的情况，此时A、 B 两点关于 y 轴对称，可以直接写出B( 2, 0)，n 2例 122014年湖南省娄底市中考第27 题如图

34、 1，在 ABC 中， ACB 90°，AC 4cm，BC 3cm如果点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为 1cm/s连结 PQ，设运动时间为 t（ s）（ 0 t 4），解答下列问题： （ 1）设 APQ 的面积为 S，当 t 为何值时， S 取得最大值？ S 的最大值是多少？（ 2）如图 2，连结 PC ，将 PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQP C，当四边形 PQPC 为菱形时，求 t 的值；（ 3）当 t 为何值时， APQ 是等腰三角形？图1图2图3图4动感体验 请打开几何画

35、板文件名“ 14 娄底 27”，拖动点 Q 在 AC 上运动，可以体验到，当点 P 运动到 AB 的中点时， APQ 的面积最大，等腰三角形 APQ 存在三种情况还可以9挑战中考系列 (数学 )体验到，当QC 2HC 时，四边形PQPC 是菱形思路点拨1在 APQ 中， A 是确定的，夹A 的两条边可以用含t 的式子表示2四边形PQPC 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，图文解析 （ 1）在 Rt ABC 中， AC 4， BC 3，所以 AB 5， sinA 3 ， cosA 455作 QD AB 于 D，那么 QD AQ sinA3APQ113t t所以 S SAPQD (5

36、 t)55223 (t 25t) 3 (t5)2+15当 t5 时， S 取得最大值，最大值为15 10102828（ 2）设 PP与 AC 交于点 H，那么 PP QC，AH APcosA 4(5t) 5如果四边形 PQP C 为菱形，那么PQ PC所以 QC 2HC 解方程 4t 244，得 t20APQ 存在三种情况：(5 t)（ 3）等腰三角形513如图 5，当 AP AQ 时， 5 t t解得 t5 如图 6，当 PA PQ 时，21AQAP cos A 解方程 1t4(5t) ，得 t40 如图 7，当 QA QP22513时， 1 AP AQ cos A 解方程1 (5t )4

37、t 得 t25 22513图5图6图7图8考点伸展 在本题情境下，如果点 Q 是 PPC 的重心，求 t 的值如图 8，如果点 Q 是 PP C 的重心，那么 QC 2 HC 解方程 4 t 2 4 4 (5 t) ，得 t 60 33523例 132015年湖南省怀化市中考第22 题如图 1，已知 Rt ABC 中， C 90°，AC 8，BC 6，点 P 以每秒 1 个单位的速度从A 向 C 运动， 同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从A B C 方向运动， 它们到 C 点后都停止运动，设点P、Q 运动的时间为t 秒（ 1）在运动过程中，求P、 Q 两点间距离的最大值；（ 2）

38、经过 t 秒的运动，求ABC 被直线 PQ 扫过的面积S 与时间 t 的函数关系式；（ 3）P，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t，使得 PQC 为等腰三角形若存在，求出此时的 t 值，若不存在，请说明理由（52.24 ，结果保留一位小数）动感体验 请打开几何画板文件名“15 怀化 22”，拖动点 P 在 AC 上运动，可以体验到，PQ与 BD 保持平行，等腰三角形PQC 存在三种情况思路点拨 1过点 B 作 QP 的平行线交AC 于 D，那么 BD 的长就是PQ 的最大值2线段 PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论，点Q 分别在 AB、BC 上3等腰三角形PQC 分三种情况讨论，先罗列三边

39、长10挑战中考系列 (数学 )图文解析（ 1）在 Rt ABC 中， AC 8，BC 6，所以 AB 10如图 2，当点 Q 在 AB 上时，作 BD /PQ 交 AC 于点 D ，那么 ABAQ2t2 ADAPt所以 AD 5所以 CD 3如图 3，当点 Q 在 BC 上时， CQ162t2 CP8t又因为 CB62 ，所以 CQCB 因此 PQ/BD 所以 PQ 的最大值就是 BD CD3CPCD在 RtBCD中， BC 6， CD 3，所以 BD 3 5 所以 PQ 的最大值是 35 图1图2图 3图 4（ 2）如图 2，当点 Q 在 AB 上时， 0 t 5，S ABD 15由 AQP

40、 ABD ，得 S AQP( AP )2 所以 S S AQP 15( t ) 2 3 t2 AD55S ABD如图 3，当点 Q 在 BC 上时， 5t 8， SABC 24因为 SCQP 1CQ CP1(162t)(8 t) (t 8)2 ，22所以 S S ABC S CQP 24 (t 8)2 t2 16t 40（ 3）如图 3，当点 Q在 BC上时， CQ 2CP， C 90°，所以 PQC 不可能成为等腰三角形当点 Q在AB上时，我们先用 t表示 PQC的三边长：易知 CP 8 t如图 2，由 QP/BD ，得 QPAP ，即 QPt 所以 QP3 5 t BDAD355

41、5如图 4，作 QH AC于 H 在 Rt AQH中， QH AQ sin A 6 t ， AH 8 t 55在 RtCQH 中，由勾股定理，得 CQQH 2CH2(6 t )2(88 t)255分三种情况讨论等腰三角形PQC ：（ 1）当 PC PQ 时，解方程8t3 5t ，得5t 65 103.4 （如图 5所示）当 QC QP 时，( 6 t)2(88 t) 235 t 整理，得55511t 2128t320 0 所以 (11t 40)(t 8) 0解得 t40 3.6（如图 6所示），或 t 8（舍11去）当 CP CQ时， 8 t(6 t )2(88 t)2整理，得5t216t0 55解得 t16 3.2（如图 7所示），或 t 0（舍去）5综上所述，当t的值约为 3.4，3.6，或等