导数在函数中的应用——极值与最值

1、第 17 讲 导数在函数中的应用一一极值与最值1.已知实数 a, b, c, d 成等比数列，且曲线 y= 3x x3的极大值点坐标为 ad 等于(A)(b, c),则C. 1 D. 2因为 y=3 3x2= 3(1 + x)(1 x),所以当一 1x0;当 x1 时，y 0 在0,1上恒成立，所以 f(x)在0,1上为增函数，所1以当 x= 1 时，f(x)有最大值-.x2(2, 1)1(1,0)0f (x)+0一f(x)1JL3决13函数 f(x)= x3 3x+ 1 在区间2,0上的最大值和最小值分别为(C)A . 1, 1B . 3,1C. 3, 1 D . 5,1f (x) = 3x

2、2 3= 0,解得 x= 1 或 x= 1(舍去).当 x 变化时，f (x)与 f(x)的变化情况如下表:所以最大值为 3,最小值为1.4. (2017 鞍山二模)已知函数 f(x) = a x+ xex，若存在 x0 1，使得 f(x)w0,则实数 a 的取值范围为(B)A.0,+) B.( 8,0C.1, +8) D.( 8,1GE3 由 f(x)w0，得 a 1), h (x) = 1 (1 + x)e ,令 g(x) = h (x), g (x)= (x+ 2)ex0 ,所以 h (x)在(1,+8)内递减，而 h (0) = 0,所以 h(x)在 ( 1,0)内递增，在(0, +8

3、)内递减，所以 h(x)的最大值为 h(0) = 0故 a 0 , x 鬱 1)时，f (x)0 知 ax 2ax+ 1 0 在 R 上恒成立，因此 = 4a2 4a = 4a(a 1)0，知 0aw1.所以 a 的取值范围为a|0a0 时，f(x)(B)A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D .既无极大值又无极小值巫由题设知，当 x0 时，=xf- =冬 xex, 可得子=(x 1)ex+ C(C 为常数)，又 f(1) =0,得C= 0,所以 f(x) = x(x 1)ex.又 f (x) = (x2+ x 1)ex,5 一 1 _; 5 1令 f (x)

4、= 0,解得 x =2或 x=-(舍去),V5 15 1所以当 x0 时，xqo, ),f(x)0, 1所以当 x0 时，f(x)有极小值 f( 一 2)，无极大值.9. (2017 天津红桥区模拟)已知函数 f(x)= x3+ ax2 4 在 x= 2 处取得极值，若 1,1，贝 U f(m) + f (n)的最小值为 一 1339 因为 f(x)= x3+ ax2 4 在 x= 2 处取得极值, 所以 f (2) = 0，又 f (x)= 3x2+ 2ax,由 f (2) = 12 + 4a = 0,所以 a = 3.所以 f(x) = x3+ 3x2 4, f (x)= 3x2+ 6x.

5、当 m、n 1,1，则 f(m)+ f (n)的最小值为 f(x)的最小值与 f (x)的最小值的和.由 f (x) = 0 得 x= 0 或 x= 2(舍去),所以 f(x)在1,0上单调递减，在0,1上单调递增， 所以 f(x)min= f(0) = 4.因为 f (x)= 3(x 1)2+ 3,又 f (1) = 3 , f ( 1) = 9,所以 f (x)min= 9.所以 f(m)+ f (n)的最小值为13.10. (2017 北京卷)已知函数 f(x)= excos x x.(1)求曲线 y= f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；n求函数 f(x)在区间0 , ?上的最大值和最小值.X(1)因为 f(x) = e cos x x,所以 f (x)= ex(cos x sin x) 1, f (0) = 0.又因为 f(0) = 1，所以曲线 y= f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y= 1.(2)设 h(x) = e (cos x sin x) 1,贝 U h (x)= ex(cos x sin x sin x cos x) = 2exsin x.当 x 0,时，h (x)0 ,所以 h(x)在区间0,n上单调递减，所以对任意 x0,n有 h(x)h(