1996年哈尔滨工业大学量子力学试题

1、1996年量子力学考研试题（见习题选讲6.1）设氢原子处于1 1 1r几=2只21小。叮一 2艮1丫1。叮一 2&1冷叮的状态上，求其能量、角动量平方及角动量 z分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。解：选：H,L2丄z：'为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为：nlm r广二 Rnl丫汁 ,其中，量子数的取值范围是n 二 1,2,3,I 二 0,1.2,门 - 1 m=丨，1 - 1,1 - 2,-丨 1,-1利用归一化条件求出归一化常数为1<242 丿主量子数n的可能取值只有两个，即n = 2,3，于是we2 二11 434 2 5 51 4咪舄4

2、444e 31 e 2 7A e ! - 82 5182 5722角动量量子数I的可能取值只有一个，即1=1，故有L2 = 2 2L2 = 2 2角动量磁量子数m的可能取值有两个，即 m = -1,0，于是1= _斤 ，L 1r 1 42EJ = -h)=一2 55Lz 二 0，(11、4 3E(Lz =0)=丄 + 丄 1 - = -<2 4) 5 5(见习题选讲7.4)已知算符氏B?满足R2 = 0, AR+ + XA = 1, B?= "ALz5证明B?2二R，并在B表象中求出A的矩阵表示 解：由题中所给条件可知B2 W?ATA=处AA 一 A+A+A?= A+A= B设

3、算符B满足的本征方程为G = B则有B2 二 b2由上式可知B2 二 BB = 0,1<c利用得到再利用 又得到 只有显然，有在自身表象中，<0设算符A在B表象中的矩阵形式为b dBA = A AA 二 0c = d = 0A2 = oa2 = 0, ab = 0否则，算符? = 0 最后，根据条件?+?= B90、9b90、*e o丿<0°<01可定出在E?表象中A的矩阵表示为i :其中，为任意实常数。三.（见2001年第二题）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为«厂并*V（x）时，能级是E：，如果哈密顿算符变成 4仏+评 为 实参数），求变化后的能级

4、En。解：视为参变量，则有：W J?daP利用费曼-海尔曼定理可知又知在任何束缚态n）下，均有所以，进而得到能量本征值满足的微分方程：:E对上式作积分，得到利用:0时，F?o，定出积分常数oC 二 En最后，得到H?的本征值为En四.两个自旋为1的非全同粒子，自旋间的相互作用是 C?1 ?2，2 ? 其中，C是常数，?与?分别是粒子1和粒子2的自旋算符。设t=0 时，粒子1的自旋沿z轴的正方向，粒子2的自旋沿z轴的负方向， 求t 0时测量粒子2的自旋处于z轴负方向的几率。解：体系的哈密顿算符为S2选择耦合表象，由于s=0,1,故四个基底为11 ；4)= 100)=丨10=.2在此基底之下，哈密

5、顿算符是对角矩阵，H?=10可以直接写出它的解为E21-已知t - 0时，体系处于（0）十1000因为哈密顿算符不显含时间，故t 0时刻的波函数为t 二屮124-3ict 1 -Ct I + -粒子2处于z轴负方向的几率为W s2z =-'t+屮1exp 2_-丄 Ct hexp 色 Ctl4 丿 <4 丿花tE丿五.（类似习题选讲9.4）三维各向同性谐振子的能量算符为心1m 2x2 y2 z2试写出能量本征值与本征函数。如这谐振子又受到微扰W7m2xy 1的作用，求基态能量到二级微扰修正，并与精 确解比较。解：已知H?o的本征解为En° = fnx + ny + nz

6、 + 3 I也=+ -也n . x y z 22nx,ny,nz（X,Z）二霍仪）乙（丫） nz Z,几敗,%心二 0,1,2,因为基态无简并，故可以直接使用无简并微扰论公式E00七詣0000-(ov?v 00 -m 飞00000U利用公式MX nCL In 1+m,n2 “ m，n 1可知V 000)=侶 0(x|x（x）（®0（y）y于是有能量的二级修正为E。2 八、.0000W?y 0ni0001010n=0 i =1丸2 m24E0-E01 x|x x近似解为.2E°恥232利用坐标变换求体系的精确解。由于微扰项与z方向无关，故可以 只考虑另外两个方向的坐标变换。令y= 1 X YX x y;1Y x- y可以证明X2 Y2x2 y2 =xy =丄 X2 - Y222 2 2 :2+ = + 2 2 2 2x y X Y因此，哈密顿算符可以改写为h2?=2m "X2f Jrcc+22X2 Y22E 4宀"若令则哈密顿算符为n2-2小2-2 、ccc+ +J2m &