高三数学理科二轮复习专题七椭圆双曲线抛物线

1、第二讲椭圆、双曲线、抛物线研热点（聚焦突破）类型一 椭圆1定义式：|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)2标准方程：焦点在x轴上：1(a>b>0)；焦点在y轴上：1(a>b>0)；焦点不确定：mx2ny21(m>0，n>0)3离心率：e<1.4过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为.例1(2012年高考安徽卷)如图，点F1(c，0)，F2(c，0)分别是椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x于点Q.(1)如果点Q的坐标是(4，4)，求此时椭圆C的方程；(

2、2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点解析解法一由条件知，P(c，)，故直线PF2的斜率为kPF2.因为PF2F2Q，所以直线F2Q的方程为yx，故Q(，2a)由题设知，4，2a4，解得a2，c1.故椭圆方程为1.解法二设直线x与x轴交于点M.由条件知，P(c，)因为PF1F2F2MQ，所以，即，解得|MQ|2a.所以解得故椭圆方程为1.(2)证明：直线PQ的方程为，即yxa.将上式代入1得x22cxc20，解得xc，y.所以直线PQ与椭圆C只有一个交点跟踪训练1已知圆M：x2y22mx30(m<0)的半径为2，椭圆C：1的左焦点为F(c，0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，

3、则a的值为()A. B1 C2 D4解析：圆M的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得m234，即m21(m<0)，m1，则圆心M的坐标为(1，0)由题意知直线l的方程为xc，又直线l与圆M相切，c1，a231，a2.答案：C2(2012年山东师大附中一测)点P是椭圆1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，且PF1F2的内切圆半径为1，当P点在第一象限时，P点的纵坐标为()A. B. C. D.解析：由题意知，|PF1|PF2|10，|F1F2|6，设点P的纵坐标为yp，由题意易知SPF1F2(|PF1|PF2|F1F2|)×1|F1F2|·yp，所以yp1.

4、答案：A类型二 双曲线1定义式：|PF1|PF2|2a(2a<|F1F2|)2标准方程焦点在x轴上：1(a>0，b>0)，焦点在y轴上：1(a>0，b>0)，焦点不明确：mx2ny21(mn<0)3离心率与渐近线问题(1)焦点到渐近线的距离为b；(2)e >1，注意：若a>b>0，则1<e<，若ab>0，则e，若b>a>0，则e>.；(3)焦点在x轴上，渐近线的斜率k±，焦点在y轴上，渐近线的斜率k±；(4)与1共渐近线的双曲线方程可设为(0)例2(1)(2012年高考湖南卷)已知双曲

5、线C：1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1(2)(2012年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_解析(1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解双曲线1的焦距为10，c5 .又双曲线渐近线方程为y±x，且P(2，1)在渐近线上，1，即a2b.由解得a2，b，故应选A.(2)建立关于m的方程c2mm24，e25，m24m40，m2.答案(1)A(2)2跟踪训练1(2012年合肥模拟)过双曲线1(a>0，b>0)的右焦点F，作圆x2y2a2的切线FM交y轴于点P，切圆于点M， ，则双曲

6、线的离心率是()A. B.C2 D.解析：由已知条件知，点M为直角三角形OFP斜边PF的中点，故OFOM，即ca，所以双曲线的离心率为.答案：A2已知双曲线1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且PF1F2，则双曲线的渐近线方程为_解析：根据已知得点P的坐标为(c，±)，则|PF2|，又PF1F2，则|PF1|，故2a，所以2，所以该双曲线的渐近线方程为y±x.答案：y±x类型三 抛物线1定义式：|PF|d.2根据焦点及开口确定标准方程注意p>0时才有几何意义，即焦点到准线的距离3直线l过抛物线y22px(p>

7、0)的焦点F，交抛物线于A、B两点，则有：(1)通径的长为2p；(2)焦点弦公式：|AB|x1x2p；(3)x1x2，y1y2p2；(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切；(5).例3(2012年高考福建卷)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p>0)上(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点解析(1)依题意，|OB|8，BOy30°.设B(x，y)，则x|OB|sin 30°4，y|OB|cos 30°12.因为点B(4，12)在x22p

8、y上，所以(4)22p×12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.(2)证明：证法一由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q为(，1)设M(0，y1)，令=0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于=(x0，y0y1)，=(，1y1)，由=0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)证法二由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x

9、0(xx0)，即yx0xx. 由，得所以Q为(，1)取x02，此时P(2，1)，Q(0，1)，以PQ为直径的圆为(x1)2y22，交y轴于点M1(0，1)、M2(0，1)；取x01，此时P(1，)，Q(，1)，以PQ为直径的圆为(x)2(y)2，交y轴于点M3(0，1)、M4(0，)故若满足条件的点M存在，只能是M(0，1)以下证明点M(0，1)就是所要求的点因为=(x0，y01)，=(，2)，所以=2y022y022y020.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)跟踪训练(2012年郑州模拟)如图，过抛物线y22px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，

10、若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29x By26x Cy23x Dy2x解析：过点B作准线的垂线，垂足为B1，记准线与x轴的交点为F1，则依题意得，所以|BB1|FF1|，由抛物线的定义得|BF|BB1|.令A(x1，y1)、B(x2，y2)，依题意知F(，0)，可设直线l的方程为yk(x)联立方程，消去y得k2x2p(k22)x0，则x1x2，x1·x2.又由抛物线的定义知|AF|x1，|BF|x2，则可得，于是有，解得2p3，所以此抛物线的方程是y23x，选C.答案：C析典题（预测高考）高考真题【真题】(2012年高考陕西卷)已知椭圆C1：y21，椭

11、圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，求直线AB的方程【解析】(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a>2)，其离心率为，故，解得a4.故椭圆C2的方程为1.(2)解法一A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由，得x4x，即，解得k±1.故直线AB的方程为yx或yx.解法二A，B两点的坐标分

12、别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由 及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.由，得x，y.将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k±1.故直线AB的方程为yx或yx.【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单性质及直线与椭圆的位置关系的应用考查化归思想及运算求解能力难度中上本题(2)中2的作用是：一是说明直线AB过原点可设出直线AB的方程二是利用向量知识可得A、B点之间横坐标的关系以便建立方程求斜率k.考情展望高考对椭圆、双曲线、抛物线的考查，各种题型都有选择、填空中主要考查这三种圆

13、锥曲线的定义及几何性质与应用解答题中着重考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系，涉及方程求法、范围、最值、定点、定值的探索与证明问题等内容难度中上名师押题【押题】已知抛物线C：y22px(p>0)的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线n，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|BO|2.(1)求圆M和抛物线C的方程；(2)若P为抛物线C上的动点，求的最小值；(3)过直线l上的动点Q向圆M作切线，切点分别为S、T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标【解析】(1)易得B(1，)，A(1，)，设圆M的方程为(xa)2y2a2(a>0)，将点B(1，)代入圆M的方程得a2，所以圆M的方程为(x2)2y24，因为点A(1，)在准线l上，所以1，p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)由(1)得，M(2，0