高等数学下复旦大学出版习题五

1、习题五1 求下列各曲线所围图形的面积：（1） 与x2+y2=8(两部分都要计算)；解：如图D1=D2解方程组得交点A(2，2)(1),（2） 与直线y=x及x=2；解： .(2)（3） y=ex，y=e-x与直线x=1；解：(3)（4） y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb(b>a>0)；解：(4)（5） 抛物线y=x2和y=-x2+2；解：解方程组得交点 (1，1)，(-1，1)(5)（6） y=sinx，y=cosx及直线；解：(6)（7） 抛物线y=-x2+4x-3及其在(0，-3)和(3，0)处的切线；解：y=-2x+4y(0)=4，y(3)=-2抛物线在点(0，-

2、3)处切线方程是y=4x-3在(3，0)处的切线是y=-2x+6两切线交点是(，3)故所求面积为(7)（8） 摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)的一拱 (0£t£2p)与x轴；解：当t=0时，x=0, 当t=2p时，x=2pa所以(8)（9） 极坐标曲线=asin3；解：(9)（10） =2acos；解：(10)2 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：（1） r=a(1+cos)及r=2acos;解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=a2(11)（2） 及解：如图12，解方程组得cos=0或,即或(12)3 已知曲线f(x)=x-

3、x2与g(x)=ax围成的图形面积等于，求常数a解：如图13，解方程组得交点坐标为(0，0)，(1-a，a(1-a)依题意得得a=-2(13)4 求下列旋转体的体积：（1） 由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转；解：求两曲线交点得(0，0)，(1，1) （14）（2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；解：见图14，（2） 星形线绕x轴旋转；解：见图15，该曲线的参数方程是：，由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为(15)5 设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。解：如图16建立直角坐标系，则图

4、中点E，D的坐标分别为：E(a，h)， D(A，0)，于是得到ED所在的直线方程为：(16)对于任意的y0，h，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为：，同理可得该椭圆的另一半轴为：故该椭圆面积为从而立体的体积为.6 计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17.(17)解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2过区间-R，R上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边

5、三角形的边长为2y，故其面积等于从而该立体的体积为7 求下列曲线段的弧长：（1） ，0x2；解：见图18，2yy=2从而 (18)（2） y=lnx，；解：（3） ；解：=4.8 设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a>0求（1） 星形线所围面积；（2） 绕x轴旋转所得旋转体的体积；（3） 星形线的全长解：(1)(2)(3)xt=-3acos2tsintyt=3asin2tcostxt2+yt2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性，9 求对数螺线r=ea相应=0到=的一段弧长解：10 求半径为R，高为h的球冠的表面积解：=2pRh11 求曲线段y=x3(0&

6、#163;x£1)绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积解：12 把长为10m，宽为6m，高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？解：如图19，区间x，x+dx上的一个薄层水，有微体积dV=10·6·dx(19)设水的比重为1，则将这薄水层吸出池面所作的微功为dw=x·60gdx=60gxdx于是将水全部抽出所作功为13 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力解：如图20，建立坐标系，直线AB的方程为压力元素为所求压力为（20）=1467(吨) =14388(KN)14 半径为R的球

7、沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离水面，问做功多少？解：如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为(xR)2+y2=R2将球从水中取出需作的功相应于将0，2R区间上的许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。取深度x为积分变量，典型小薄片厚度为dx，将它由A上升到B时，在水中的行程为x；在水上的行程为2Rx。因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零，因而该片在水中由A上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B时，需作的功即功元素为（21）所求的功为15 设有一半径为R，中心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数，在圆心处有一质量

8、为m的质点，试求细棒对该质点的引力。解：如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段ds对质点N的引力的近似值即为引力元素（图22）则则 故所求引力的大小为，方向自N点指向圆弧的中点。16 求下列函数在a，a上的平均值：;解：(2) f(x)=x2解：17 求正弦交流电i=I0sint经过半波整流后得到电流的平均值和有效值。解：有效值 故有效值为 .18 已知电压u(t)=3sin2t，求(1) u(t)在上的平均值；解： (2) 电压的均方根值.解：均方根公式为 故19 设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为C(x)=x214x+111，R(x)=1002x试求最大利润解： 设利润函数

9、L(x)则L(x)=R(x)C(x)50由于L(x)=R(x)C(x)=(1002x)(x214x+111)=x2+12x11令L(x)=0得x=1，x=11又当x=1时，L(x)=2x+12>0当x=11时L(x)<0，故当x=11时利润取得最大值且最大利润为L(11)=20 设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x（百台）的边际成本为C(x)（万元/百台），边际收入为R(x)=72x（万元/百台）(1) 求生产量为多少时总利润最大？(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？解：(1) 当C(x)=R(x)时总利润最大即2=72x，x=5/2(百台)(2) L(x)=R(x)C(x)=52x在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为L(x)=即此时总利润减少1万元.21 某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期解：投资20年中总收入的现值为纯收入现值为R=y800=2528.48