高中数学证明不等式的基本方法测评新人教A版选修45

1、第二讲 证明不等式的基本方法测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知,则下列不等式成立的是()A.abB.C.D.0,即0,则qC.pqD.p0,且=(a2-a+1)(a2+a+1)=a4+a2+11,所以qp.答案C3.(2017江西二模)求证,p=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2,q=(x1-a)2+(x2-a)2+(xn-a)2,若a,则一定有()A.pqB.pqC.p,q的大小不定D.以上都不对解析设f(x)=(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,则f(x)=nx2-2(x1+x2+xn)x+.当x=时,f(x

2、)取得最小值,即pb与ab与ab与a0,则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值()A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负解析因为f(x)是R上的单调递增函数且为奇函数,且a30,所以f(a3)f(0)=0,而a1+a5=2a3,所以a1+a50,则a1-a5,于是f(a1)f(-a5),即f(a1)-f(a5),所以f(a1)+f(a5)0,故f(a1)+f(a3)+f(a5)0.答案A6.要使成立,a,b应满足的条件是()A.abbB.ab0,且abC.ab0,且a0,且ab或ab0,且ab解析a-b+3-30时,有,即ba;当aba.答案D7.设a,b,cR,且a,b,c不全相等

3、,则不等式a3+b3+c33abc成立的一个充要条件是()A.a,b,c全为正数B.a,b,c全为非负实数C.a+b+c0D.a+b+c0解析a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2,而a,b,c不全相等(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.故a3+b3+c3-3abc0a+b+c0.答案C8.设a,b,c,dR,若a+d=b+c,且|a-d|b-c|,则有()A.ad=bcB.adbcD.adbc解析|a-d|b-c|(a-d)2(b-c)2a2+d2-2adb2+c2-2bc,因为a+d=

4、b+c(a+d)2=(b+c)2a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,所以-4adbc.答案C9.使不等式1+成立的正整数a的最大值是()A.10B.11C.12D.13解析用分析法可证当a=12时不等式成立,当a=13时不等式不成立.答案C10.已知a,b,c(0,+),若,则()A.cabB.bcaC.abcD.cba解析由可得+1+1b+cc+a.由a+bb+c可得ac,由b+cc+a可得ba,于是有can,m,nN+,a=(lg x)m+(lg x)-m,b=(lg x)n+(lg x)-n,其中x1,则()A.abB.abC.abD.a1,所以lg x0.当lg x=1时,a-b=

5、0,所以a=b;当lg x1时,a-b0,所以ab;当0lg x0,所以ab.综上,ab.答案B12.已知x,y0,且xy-(x+y)=1,则()A.x+y2(+1)B.xy+1C.x+y(+1)2D.xy+1解析由xy-(x+y)=1可得xy=1+x+y1+2,即()2-2-10,所以+1,则xy(+1)2,排除B和D;因为xy=x+y+1,解得x+y2(+1).故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.当x1时,x3与x2-x+1的大小关系是.解析因为x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),且x1,所以(x

6、-1)(x2+1)0.因此x3-(x2-x+1)0,即x3x2-x+1.答案x3x2-x+114.设0mnab,函数y=f(x)在R上是减函数,下列四个数f,f,f,f的大小顺序是.解析1fff.答案ffff15.若a+ba+b,则a,b应满足的条件是.解析因为a+ba+b()2()0a0,b0,且ab.答案a0,b0,且ab16.设a,b为正数,为锐角,M=,N=()2,则M,N的大小关系是.解析因为a0,b0,为锐角,所以N=ab+2+2,M=ab+ab+2当且仅当时,等号成立.又sin 21,所以Mab+2+2=N,当且仅当a=b,且=时,等号成立.答案MN三、解答题(本大题共6小题,共

7、70分)17.(本小题满分10分)设ab0,求证.证明因为ab0,所以0,0.又=1+1,故.18.(本小题满分12分)设a,b0,ab,求证a+b.证明-(a+b)=(a3-b3)=,因为a,b0,ab,所以a+b0,(a-b)20,a2+ab+b20,a2b20,所以0.故a+b.19.(本小题满分12分)已知a2+b2=1,x2+y2=1,试用分析法证明ax+by1.证明要证ax+by1成立,只需证1-(ax+by)0,只需证2-2ax-2by0.因为a2+b2=1,x2+y2=1,只需证a2+b2+x2+y2-2ax-2by0,即证(a-x)2+(b-y)20,显然成立.所以ax+by

8、1.20.(本小题满分12分)设a,b,c,d是正数,试证明下列三个不等式:a+bc+d;(a+b)(c+d)ab+cd;(a+b)cdab(c+d)中至少有一个不正确.证明假设不等式都正确.因为a,b,c,d都是正数,所以两不等式相乘并整理,得(a+b)2ab+cd.由式,得(a+b)cd0,(a+b)(c+d)ab+cd,所以4cdab+cd.所以3cdab,即cd.由式,得(a+b)2,即a2+b2-ab,与平方和为正数矛盾.故假设不成立,即不等式中至少有一个不正确.21.导学号26394042(本小题满分12分)已知正数a,b,c满足a+b+c=6,求证.证明由已知及三个正数的算术-几

9、何平均不等式可得3=(当且仅当a=b=c=2时,等号成立),故原不等式成立.22.导学号26394043(本小题满分12分)设Sn为数列an的前n项和,Sn=nan-3n(n-1)(nN+),且a2=11.(1)求a1的值;(2)求数列an的前n项和Sn;(3)设数列bn满足bn=,求证b1+b2+bn.(1)解当n=2时,由Sn=nan-3n(n-1),得a1+a2=2a2-32(2-1),又a2=11,可得a1=5.(2)解当n2时,由an=Sn-Sn-1,得an=nan-3n(n-1)-(n-1)an-1-3(n-1)(n-2),整理,得an-an-1=6(nN,n2).又a2-a1=6,所以数列an是首项为5,公差为6的等差数列.所以an=5+6(n-1)=6n-1.故Sn=3n2+2n.(3)证明bn=),所以b1+b2+bn()+()+()+()=).故b1+b2+bn成立.予少家汉东，汉东僻陋无学者，吾家又贫无藏书。州南有大姓李氏者，其于尧辅颇好学。予为儿童时，多游其家，见有弊筐贮故书在壁间，发而视之，得唐昌黎先生文集六卷，脱落颠倒无次序，因乞李氏以归。读之，见其言深厚而雄博，然予犹少，未能悉究其义徒见其浩然无涯，若可爱。