清华大学微积分题库

1、(3343).微分方程 y y tan x cosx 0 的通解为 y (x C)cosx。、，1一y (4455)(4507)(4508).过点(,0)且满足关系式y arcsin x，1的曲线方程为2.1 x2一1y arcsin x x 。2，一 、一，-C.微分方程xy 3y 0的通解为 y C1 C|ox设yx，y2(x，丫3板)是线性微分方程 y a(x)y b(x)y f (x)的三个特解,且y2(x) y1(x) C ,则该微分方程的通解为 y3(x) y(x)y C(y2(x) y(x) C2(y3(x) y(x) y(x)。 22 x(3081) .设y13 x , y2

2、3 x e是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为 y3 x ,则该微分方程的通解为y 3 x2 C1x C2ex。(4725).设出微分方程y 2y 3y x xe x ex cos2x的一个特解形式 *x x ,y Ax B x(Cx D)e e (Ecos2x F sin 2x)。(4476) .微分方程y2y2y ex的通解为yex(1 C1cosx C2sinx)。(4474).微分方程y4ye2x 的通解为 yC1e2x C2 -x e2x。4(4477) .函数y C1 cos2x C2 sin 2x满足的二阶线性常系数齐次微分方程为y 4y 0。(4532

3、) .若连续函数 f(x)满足关系式 f(x)o2x f (-t)dt ln2,则 f(x)e2x ln 2。(6808) .设曲线积分 J f (x) exsinydx f (x) cosydy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f (0) 0,则f(x)等于1 1(A)1(ex ex)。(B)1(ex e x)。2 21 .(C) 2 (e e ) 1。(D)答B注：根据题意，f (x)cosy1 一、f(0) 0,得C 万，所以f(x)6907.若函数y cos2x是微分方程y(0) 2的特解为(A) y cos2x 2。(B)(C) y 2cosx。(D)答Dd 1/ x x、

4、1 -(e e )。 2一v. 一1 VV .f (x) excosy ,解得 f (x) - e Ce 。由1 x x-(e e ),即选项(B)正确。2y p(x)y 0的一个特解，则该方程满足初始条件y cos2x 1。y 2 cos2x。注：根据解的结构，通解为y Ccos2x,由y(0) 2得C 2。故选项(D)正确。其他选项经验证不满足方程或定解条件。6126 设函数y(x), y2(x)是微分方程(A) y Ci y1 C2 y2。(B)(C) y y C(y1y2)。(D)答Dy p(x)y 0的两个不同特解， 则该方程的通解为y y Cy2。y C(y2 y1)。y p(x)

5、y 0的两个不同特解，所以 y2 y1是该方程的一个非零特解。根据解的结构，其通解为y C(y2 y1)，即选项(D)正确。另：根注：因为y(x), y2(x)是微分方程据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对。当y2 0时，选项(B)不对。当y2y1时，选项(C)不对。6579.已知函数 y y(x)在任点x处的增量 y -y-x2- o( x), y(0),则y(1)等1 x '于(A) 2 。(B)。(C) e4 o (D) e4。答D注：根据微分定义及微分与导数的关系得2 ,解得ln y xarctan x C ,由y(0)，得 C ln ，所以 y(1)earctan

6、1e4。因此选项(D)正确。6215.设函数yf(x)是微分方程y 2y 4y 0的一个解。若f(x0) 0, f (x0)。,则函数f (x)在点x0 (A)取到极大值。(B)(C)某个邻域内单调增加。(D)取到极小值。某个邻域内单调减少。注：因为 f (x0) 。，f (x0)4 f (x0) 0,所以选项(A)正确。6316.设y1，y2是二阶常系数线性齐次方程y py qy 0的两个特解，C1,C2是两个任意常数，则下列命题中正确的是 (A) C1yl C2 y2一定是微分方程的通解。(B) C1yl C2 y2不可能是微分方程的通解。(C) Cm C2 y2是微分方程的解。(D) C

7、m C2 y2不是微分方程的解。答C注：根据叠加原理，选项(C)正确，选项(D)错误。当y1,y2线性相关时，选项(A)错误，当y1, y2线性无关时，选项(B)错误。1897.微分方程yy ex 1的一个特解应具有形式(A) aex b。(B)axex b。(C) aex bxo(D)axex bx。答B注：相应齐次方程的特征根为1, 1 ,所以y y ex的一个特解形式为axexy y 1的一个特解形式为 b。根据叠加原理，原方程的一个特解形式为axex b ,即选项(B)正确。其他选项经检验不满足方程。1890.具有特解xxy1 e , y2 2xe , y33ex的三阶线性常系数齐次微

8、分方程是(A)0。(B)(C)6y11 y6y0。(D)2yy 2y 0。根据题意，1,是特征方程的两个根1是重根所以特征方程为1)(1)231 0。故所求微分方程为yy 0 ,即选项(B)正确。7819.y ex, 丫2x是三阶线性常系数齐次微分方程ayby cy 0的两个特解,则a,b,c的值为(A)(B)1,b1,c0。(C)1,b 0,c0。(D)1,b0, c0。注：根据题意1,0是特征方程的两个根，是重根，所以特征方程为1) 2320o故原微分方程应为y0,所以 a 1,b 0,c0即选项(C)正确。2670.设二阶线性常系数齐次微分方程by0的每一个解y(x)都在区间(0,上有界

9、，则实数b的取值范围是(A) b 0。 (B) b 0。(C) b4。(D)4。b2 4注：因为当b 2时，y(x)C1eC2e2,所以，当b2时，要想使 y(x)在区间(0,)上有界，只需要bb24 0, b b2 4b 2。当b2 4 0时，要想使 y（x）在区间（0,）上有界，只需要 b vb2 4与 b bb2 4的实部大于等于零，即 0 b 2。当b 2时，y（x） C1e x C2xe x在区 间（0,）上有界。当b 2时，y（x） C1ex C2xex （C12 C： 0）在区间（0,）上无 界。综上所述，当且仅当 b 0时，方程y by y 0的每一个解y（x）都在区间（0,）

10、 上有界，即选项（A）正确。3296 .求微分方程xjl y2 yy ,1 x20的通解。dx解：方程两端同乘以 ,得,i y2 i x2xdx ydy 07n TT7 5此方程是一个变量分离方程，其通解为1 y2 41 x2 C（C 2）。5678.求微分方程 -y dx xsinx C的通解。x解：这是一个一阶线性微分方程,求解其相应的齐次方程dy 1y dx x0,得其通解为ln y令y C3，代入原方程, x解得xC (x)2 xC(x)C(x)2xsin xxC(x)cosxC。所以原方程的通解为y -( xcosxC)。注：本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得1 ,

11、、-(cosx c)。 xsin x 11 ,y ( e x dx c)e xdx x2312.求解微分方程xdy ydxy2eydy。解：将y看成自变量,x看成是的y函数，则原方程是关于未知函数x x(y)的一阶线性微分方程此方程通解为1 dy ydxdyyye ，yye e1-dyy dy Cy yey，其中C是任意常数。2367.求微分方程xyy2满足初始条件y(1) 1的特解。解：将原方程变形，得这是一个齐次型方程。令xu ,代入上式，得2xu u分离变量，得duu2 2udxx积分，得Cx2,y 2xy2Cx2。因为y(1) 1,所以1。于是所求特解为2xy rv02368 .设y

12、ex施微分方程xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足条件y(ln 2) 0的特解。解：将y ex代入原方程，得xexp(x)ex x,解出p(x) xe x x。所以原方程为xxy (xe x) y x,解其对应的齐次方程，得xy Cexe 。所以原方程的通解为由 y(ln 2) 0 ,得 Cxy ex Cexe1e 2。故所求特解为y ex2402.求微分方程Xv yy4xx2 1X的通解。解：将原方程化为4x这是一个伯努利方程。令备,则原方程化为这是一个一阶线性微分方程，解得z所以原微分方程的通解为2y zdz 2x x7- o 9 Jdx x 127(x2 1)(C ln(x2

13、1), 4z 116 (x2 1)(C ln(x21)xx2405.求微分方程(1 ey)dx e(1 j)dy 0的通解。 y. xu(y)一，y解：将y看成自变量，则x x(y)是y的函数。由于原方程是齐次型方程,原微分方程化为yuueu e这是一个变量可分离的方程，解得y(eu u) C。所以原方程的通解为xyey x C。x3 Q(x, y) e xxx另解：令 P(x,y) 1 e?,Q(x,y)e7(1 勺，则 P(x,y)与yy y所以，在y 0时，原方程为全微分方程。令xx(x，y)y? xu(x,y) (0,1) (1 e )dx e (1 q)dy，xx%)dy的一个原 y

14、由于此曲线积分与路径无关，所以u(x, y)就是全微分式(1 e；)dx e；(1函数，且xx(x,y)vv xu(x,y) (0,1) (1 e )dx e (1 -)dy0xy -0x一ey(1)dy (1 ey)dx1y0xy 1 x y(ey 1)xyey x 1。所以原方程的通解为xyye x C。2489.设 为实数，求微分方程 y y0的通解。解：此方程的特征方程为0,所以,(1)当 0时，特征方程有一对复根 i1，方程有两个线性无关解cos J-x, sin Jx °因此微分方程的通解为y Cicosx Czsinx (C1C2R)。(2)当 0时，特征方程有一个二重

15、根0。方程有两个线性无关解1, x ,于是微分方程的通解为yC1C2x。(3)当。时，特征方程有两个单重实根O方程有两个线性无关解xe ，ex,所以微分方程的通解为y Ce' x C?e，x (Ci,C2 R)。2909 .求微分方程y y 2x2 1的通解。0的单根，所以原解将方程写作y y (2x2 1)e°x。因为0是特征方程方程一个特解形式为* 32y (x) ax bx cx,将此解代入原方程，得3ax2 (2b 6a)x (c 2b) 2x2 1 ,比较两端同次项的系数，有3a 2,2b 6a Q c 2b 1。解上述方程组，得2a -,b 2,c 5。 3从而得

16、到原方程的一个特解* 2 32y(x) 3x2x5x0又因为相应齐次方程 y y0的通解为yCiC2e所以原方程的通解为y C1 C2e x 2 x3 2x2 5x。另解：方程y y 2x2 1两端积分，得2 3 y y -x x Ci, 3这是一个一阶线性微分方程，其通解为y e x(C2(2x3 x C1)exdx)3C1C2ex2x32x25x53C1C2ex2x32x25x。32356.求解微分方程y 2 y y 4xex。解：因为1是特征方程 2 21 0的重根，所以原方程的一个待定特解为y x2(ax b)ex,将此解代入原方程，得(6ax 2b) ex 4xex。 2比较两端系数

17、，得 a -,b30。于是得到原方程的一个特解又因为相应齐次方程的通解是xy (Ci C2x)e o因此原方程的通解为x 23 _xy (C1 C2x)e-x e o1123.求微分方程 y y x cosx的通解。解：原方程所对应齐次方程的通解为y C1cosx C2sinx。设非齐次方程y yx的一个特解为yi代入次方程，得A 1, B 0。所以 y1 xo设非齐次方程y y cosx的一个特解为y2 Ex cosx Dxsinx,11代入万程，得E 0, D 。所以 y2 -xsinxo22因为yi y2为原方程的一个特解，所以原方程的通解为1“一y C1 cosx C2 sin x x

18、 xsinx。21278.求解微分方程yy (y)2 y2 In y o解：因为原微分方程不显含自变量x ,所以这是一个可降阶微分方程。2.y In y。令 u(y) y (x),则 y (x) u (y)y (x) u u。原方程变为yuu2yln y ,再令p(y) u 2( y),则有P2 _ y (C1 2、In y)。这是一个一阶线性微分方程，求得P所以u vy2(C ln2 y),故yVy2 (C ln2y)。这是个变量可分离微分方程，解得In In y <C ln2 y x C1,这就是原微分方程的通解。注：方程yuu u2 y2ln y是一个伯努利方程，可用伯努利方程的一

19、般解法求解。2456.求解微分方程 y 3y 3y y e x(x 5)。解：微分方程 y 3y 3y y 0的特征方程为332310,1是其三重特征根。所以该齐次方程的通解为y e x(C1 C2x C3x2)。令原微分方程的一个特解形式为*3xy x (ax b)e ,代入原微分方程，并整理得24ax 6b x 5,5。因此原微分方程的一个特解为61所以 a , b24* x / 1xy (-x 5)e ，6 4故所求通解为e x(C1 C2x3C3x2) ( x 5)e x。6 43214.求解微分方程xy解：令u(x) y (x),则原方程化为这是个一阶线性微分方程，解得x(Cix)。

20、因此yx(C1x),所以原微分方程的通解为1x3 2C1x2C21 32一 x C1x C2 , 3其中Ci, C2是任意常数。则原方程化为 p 1所以p x C1。由yxp x(x C1)132y - xC xC2 03333.求解微分方程 x2y2xy 2y x3 ln x。解：原方称为二阶欧拉方程。令 x et，得xydy 2,x y dt,2,d y dydt dt所以原微分方程化为d2y dt23dy dt其中t是自变量。这是一个二阶线性常系数非齐次方程，解得t c 2t13、3ty GeC?e (t )e。所以原微分方程的通解为y C1x C2x2 ；x3(lnx 3)其中Ci,

21、C2是任意常数。3337.已知函数 “*)在0,)上可导，f(0) 1,且满足等式1 Xf (x) f(x) - 0 f(t)dt 0,x 1 0求 f (x),并证明 e x f(x) 1(x 0)。解：根据条件，得x(x 1)( f (x) f(x)0 f(t)dt 0,因为£3在0,)上可导，由上式，知“刈在0,)上二阶导数存在，所以1.f (x) (1 -) f (x) 0 ,x 1这是f (x)满足的一个一阶线性齐次方程，解得f (x)Ce由于f (0)f(0)1 ,所以Cf (x)f (x)f(x) f (0)1。又x 0时，f (x)xe0,所以f (x)e x f(0)0。f (x) 1 (x 0)。注：证明不等式时,只需要知道导数的符号及函数在某点上的值,并不要求一定知道函数的表达式。3338.设p(x),q(x)为连续函数，证明方程y p(x)yq(x)的所有积分曲线上横坐标相同的点的切线交于一点。证：记y y1(x)为方程y p(x) y q(x)的一条积分曲线，则 方程y p(x)y q(x)的任一条积分曲线可记为y Cy1(x)。曲线yy1 (x)在点(x0, y