2014自考微分方程试题a

1、常微分方程模拟试题一、填空题每题 3分,此题共15分1 . 一阶微分方程的通解的图像是 2维空间上的一族曲线.2 .二阶线性齐次微分方程的两个解yix, y2x为方程的根本解组充分必要条件是线性无关或：它们的朗斯基行列式不等于零.3 .方程y-2y . y =0的根本解组是ex, xex.4 . 一个不可延展解的存在在区间一定是 汪区间.5.方程曳=Ji -y2的常数解是y = ±1 . dx二、单项选择题每题3分,此题共15分6,方程曳=x飞+ y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是 D . dxA上半平面B xoy平面C下半平面 D除y轴外的全平面7 .方程 dy = J7

2、+1 C 奇解. dx ,A有一个B有两个C无D有无数个8 . fy连续可微是保证方程 dy = f y解存在且唯一的B 条件. dxA必要 B充分 C充分必要D必要非充分9 .二阶线性非齐次微分方程的所有解 C .A构成一个2维线性空间B构成一个3维线性空间C不能构成一个线性空间D构成一个无限维线性空间、工口 dy 9 -1/、10 .万程=3y3过点0, 0有A . dxA无数个解B只有一个解C只有两个解D只有三个解三、计算题每题6分,此题共 30分求以下方程的通解或通积分：一 dy 11 . = y ln y dx12 .曳=.1-¥ 'dx x x13 . dy =

3、y xy5 dx22、14 . 2xydx x -y dy = 015 . y = xy 2 y 3四、计算题每题 10分,此题共20分16 .求方程y"-5y' =-5x2的通解.17 .求以下方程组的通解.dx=-xdy L.dt五、证实题每题 10分,此题共20分18,设f (x)在0,+2)上连续,且lim f(x) = 0,求证：方程x J 二dy y = f(x)dx的一切解 y(x),均有 lim y(x)=0.x_.19 .在方程 y"+p(x)y'+q(x)y = 0 中,p(x), q(x)在(-,十叼上连续,求证：假设 p(x) 恒不为

4、零,那么该方程的任一根本解组的朗斯基行列式W(x)是 S +g)上的严格单调函数.第二套一、填空题(每题 3分,此题共15分)20 .方程 xsin ydx + ycosxdy = 0 所有常数解是y = kn,k = 0,±1,±2,或x = +kn, k =0, ±1, ±2,.21dy 22 .万程=x +sin y满足解的存在唯一性te理条件的区域是xo"面 .dx3 .线性齐次微分方程组的解组Yi(x), Y2(x),Yn(x)为根本解组的充分必要 条件是它们的朗斯基行列式 W(x) ¥0 .、dy4 .万程=ysin(x

5、+ y)的任一非零解不能与x轴相交.dx5 . n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为n 个.二、单项选择题(每题 3分,此题共15分)6 .方程曳=Jy +1 ( B )奇解. dx '(D)有两个(A)有无数个(B)无 (C)有一个7 .方程y = J1 - y2 过点(0, 0) ( A ).dx(A)只有一个解(B)有无数个解(C)只有两个解(D)无解8 . fy(x, y)有界是方程dy = f (x, y)初值解唯一的( C )条件.dx(A)必要 (B)必要非充分(C)充分(D)充分必要9 .方程y " + x3y' +xy = 0的任一非零解在 x

6、oy平面上(A )与x轴相切.(A)不可以(B)只有在点(1,0)处可以(C)只有在原点处可以(D)只有在点(1,0)处可以10 . n阶线性非齐次微分方程的所有解( D ).(A)构成一个线性空间(B)构成一个n-1维线性空间(C)构成一个n+1维线性空间(D)不能构成一个线性空间三、计算题(每题6分,此题共 30分)求以下方程的通解或通积分:dyx-y11 . =edx12 .四二1dx x13 . eydx (xey 2y)dy = 014 . y = ln(1 y 2)215 . yy y 1=0四、计算题(每题 10分,此题共20分)16 .求方程y "+4y =cos2x

7、的通解.17 .求以下方程组的通解.dx-ydtdyPt=2x五、证实题(每题 10分,此题共20分)18 .设方程曳= x2f(y)中,f(y)在(口,十叼上连续可微,且yf(y)<0, (y=0) .求 dx证：该方程的任一满足初值条件 y(x0)=y0的解y(x)必在区间x0, +g)上存在.19 .设y =Q(x)和y =52仁)是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解,求证：它们 不能有共同的零点.常微分方程期终测试试卷 (1)一、 填空题(30%)1、方程M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0有只含x的积分因子的充要条件是().有只含y的积分因子的充要条件是 .2、称为黎卡

8、提方程,它有积分因子 .3、称为伯努利方程,它有积分因子 .4、假设X1(t),X2(t),lll,Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解,那么它们线性无关的充要条件是 5、形如 的方程称为欧拉方程.'6、假设中(t)和,都是x = A(t)x的基解矩阵,那么巾和,具有的关系是 7、当方程的特征根为两个共轲虚根是,那么当其实部为 时,零解是稳定的,对应的 奇点称为.二、计算题(60%)1、ydx - (x y3)dy = 02、x x = sint - cos2t3、假设14-试求方程组x'=Ax的解(t), (0)=-2 -并求 expAt毋3 Y Mo5、求方程dy _2x y

9、dx经过(0, 0)的第三次近似解dx6.求 dtd dy y 1, dt=x - y - 5的奇点,并判断奇点的类型及稳定性三、证实题(10%)1、n阶齐线性方程一定存在 n个线性无关解.常微分方程期终试卷(2)、填空题 30%1、形如 的方程,称为变量别离方程,这里.f (刈"(y)分别为x.y的连续函数.2、形如 的方程,称为伯努利方程,这里P(x).Q(x)为x的连续函数.n# 0.1是常数.引入变量变换 ,可化为线性方程.3、如果存在常数 L °,使得不等式 对于所有 (x, yj(x, y2)w R都成立,L称为利普希兹常数.函数f(x,y)称为在r上关于 y满

10、足利普希兹条件.4、形如-的方程,称为欧拉方程,这里 ai,a2,是常数.5、设M)是x, = Ax的基解矩阵,中(t)是x, = A(t)x+f(t)的某一解,那么它的任一解 厂(t)可表为 - O、计算题40%包=6上-xy2的通解.1、求方程dx xdy y xy, 一 二 e2、求方程dx x的通解.2t3、求方程x +6x+5x=e的隐式解.曳=x + y2通过点(0、0)的第三次近似解.4、求方程dx二、证实题30%1.小Mat Eb上的基解矩阵.tl1 一是方程组21广J t - x,x= I'2 1,在任何不包含原点的区间2 .设中6)为方程x =Ax (A为n x n

11、常数矩阵) 9(t )G'(t0)=G(t- t0)其中 t0为某一值.常微分方程期终试卷(3)一.解以下方程(10%*8=80%)的标准基解矩阵(即(0) =E),证实：(221. 1. 2xylnydx+ x + ydy y-22. dx =6 x -x y、(S3. y =2 X y -14 y, x2 y24. x y =+y5. 5. tgydx-ctydy=01y 2 dy=0226. 6.y-x( x + y )dx-xdy=07 .一质量为m质点作直线运动,从速度为零的时刻起,有一个和时间成正比比例系数为k1 的力作用在它上面,此外质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正

12、比比例系数为 七.试求此质点的速度与时间的关系.x8 .fx 0 f tdt =1,x =0,试求函数fx的一般表达式.二. 证实题10%*2=20%19 .试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中,如果M、N试同齐次函数,且xM+yN #0,那么xM + yN 是该方程的一个积分因子.10 .证实：如果黎卡提方程的一个特解,那么可用初等方法求得它的通解.常微分方程期终试卷4一、填空题1、称为变量别离方程,它有积分因子.2、当时,方程M x, ydx +Nx, ydy =0称为恰当方程,或称全微分方程.3、函数fx,y称为在矩形域r上关于 y满足利普希兹条件,如果.4、对毕卡逼近序列,*kx中kx

13、 M.5、解线性方程的常用方法有.6、假设Xiti =12,0为齐线性方程的n个线性无关解,那么这一齐线性方程的所有解可表为.7、方程组 x' = Atx.8、假设Wt和中t都是x'= Atx的基解矩阵,那么Wt和中t具有关系：.9、当方程组的特征根为两个共轲虚根时,那么当其实部时,零解是稳定的,对应的奇点称为.1 0、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时,那么当时,零解是渐近稳定的,对应的奇点称为.当时,零解是不稳定的,对应的奇点称为.11、假设股是x' = Ax的基解矩阵,那么x' = Ax = f满足xt0X的解 .二、计算题求以下方程的通解.dy_y=

14、4e sin x -11、 dx.dy . 2二 x y3、求方程dx通过0,0的第三次近似解.求解以下常系数线性方程.x : ： x x=0 .t5、x -x =e.试求以下线性方程组的奇点,并通过变换将奇点变为原点,进一步判断奇点的类型及稳定性:dyddx瓦W0)= E),证三、证实题.1、1、设 Wt)为方程x' = Ax (A为nxn常数矩阵)的标准基解矩阵(即明帽)中,(3一3其中L为某一值.常微分方程期终测试试卷(5)一.填空题(30分)dy = P(x)y Q(x), p(x)dx1. dx称为一阶线性方程,它有积分因子 e2,函数f(x,y)称为在矩形域r上关于y满足利

15、普希兹条件,如果 .3,假设中(x)为毕卡逼近序列加n的极限,那么有巴x)-中n(x)|w.dy 22一二 x y4.方程dx定义在矩形域R： 2 MxM2,2 W y宅2上,那么经过点(0, 0)的解的存在区间是 .t -t 2t5,函数组e,e,e的伏朗斯基行列式为 .6,假设Xi(t)(i =1,2,n)为齐线性方程的一个根本解组,x(t)为非齐线性方程的一个特解,那么非齐线性方程的所有解可表为 .7.假设(t)是x =A(t)x的基解矩阵,那么向量函数*(t) =是x = Ax + f的满足 初始条件(t.)=° 的解；向量函数 中(t) =是x' =A(t)x+ f

16、(t)的满足初始条件CP(t0)=n的解.8,假设矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,vn ,它们对应的特征值分别为-,工2,九n ,那么矩阵 (t) = 是常系数线性方程组 x' = Ax的一个基解矩阵. *、9 .满足 的点(x,y),称为驻定方程组.计算题 (60分)2 2310 .求方程 4x ydx+2(x y1)dy = 0 的通解., dy曳 e-x=011.求方程dx的通解.dy 22R: x+1 *1厂1的解的存在区间,并求第二次近似解,最712 .求初值问题、y51) 二° 给出在解的存在区间的误差估计.13 .求方程x +9x =tsin3t的通

17、解.f(t)14 .试求方程组x = Ax + f的解中(t).(0)=1dx =2x-7y 19,-dy = x -2y 515 .试求线性方程组dtdt的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三.证实题 (10分)16.如果平是x = Ax满足初始条件(t0)="的解,那么*(t) = &P A(t -t0)I1 常微分方程期终测试试卷(6)三.填空题 (共30分,9小题,10个空格,每格3分).1、当 时,方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 称为恰当方程,或称全微分方程.2、称为齐次方程.dy dx3、求=f(x,y)满足*(x.)= y0的解等价于求积分方程 的连

18、续解."=f (x, y)4、假设函数f(x,y)在区域G内连续,且关于 y满足利普希兹条件,那么方程 dx的解y=中(x,x0,y0)作为x,x0,y0的函数在它的存在范围内是 .5、假设x1,x2,x3为n阶齐线性方程的n个解,那么它们线性无关的充要条件是 O6、方程组x/ =A(t)x的 称之为x/ = A(t)x的一个根本解组.7、假设做t)是常系数线性方程组 x/ = Ax的基解矩阵,那么expAt =. *8、满足 的点(x ,y),称为方程组的奇点.9、当方程组的特征根为两个共轲虚根时,那么当其实部 时,零解是稳定 的,对应的奇点称为 .二、计算题(共6小题,每题10分

19、).dy x -y 121、求解方程：dx = x y 32、2、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0曳133、讨论方程dx 2 y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点(0, 0)的一切解4、求解常系数线性方程：x/ -2x/ - 3x e4 cost1 2'eAt,其中A为5、试求方程组x/ = Ax的一个基解矩阵,并计算<4 3)dxdy=ax by, = cy6、试讨论方程组 出出(1)的奇点类型,其中a,b,c为常数,且ac#0.三、证实题(共一题,总分值 10分).试证：如果*d)是x/ = Ax满足初始条件*00)=n的解,那么常微

20、分方程期终试卷(7)(B) n -1一、选择题1. n阶线性齐次微分方程根本解组中解的个数恰好是()个.(A) n(C) n +1(D) n +22. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的()条件.(A)充分(B)必要 (C)充分必要(D)必要非充分dy 2 二=1 - y(一 ,1)3 .方程dx过点2 ,共有(A) 一(B)无数 (C)两dy 二 y-x x4 .方程dx()奇解.(A)有一个(B)有两个 (C)无曳“5 .方程dx 飞的奇解是().(A) y = x (B) y =1(C)二、计算题)个解.(D)三(D)有无数个y = -1(D)1 .x y'=x2 2

21、y+y2.tgydx-ctydy=03. (x +2y)dx -xdy =0出Jr4. dx xdx ( y3 In x)dy =05. x三、求以下方程的通解或通积分1.dy2、y-y)2.3.空,_山dx x业3y dx2x二 e四.证实i.设 yi(x),y2(x)是方程y P(x)y q(x)y = 0的解,且满足yi(x0) = y2 (x0) =0, yi(x)#0,这里p(x),q(x)在(血,十口)上连续,x0三(-o0, +*),试证实：存在常数c使得y2(x) =c yi(x).2.在方程y" + p(x)y' + q(x)y 二 0中,p(x), q(x

22、)在(*,十叼上连续.求证：该方 程的任一非零解在 xoy平面上不能与x轴相切.常微分方程期终试卷(8)一、填空(每空3分)1、 称为一阶线性方程,它有积分因子 其通解为.2、函数f(x, y)称为在矩形域 r上关于y满足利普希兹条件,如果 3、假设'(.,乂？.,xn(t)为n阶齐线性方程的n个解,那么它们线性无关 的充要条件4、形如 的方程称为欧拉方程.5、假设(t)和T(t)都是x' = A(t)x的基解矩阵,那么9(t)和中(t)具有的关系： 6、假设向量函数g(t; y)在域R上1、2、3、4、5、6、7、,零解是稳定的,8分)dy ,、Ig(t；y)W(to；to,

23、yo) = yo的解中存在且惟7、当方程组的特征根为两个共轲虚根时,那么当其实部 对应的奇点称为 .求以下方程的解(y -3x2)dx-(4y -x)dy = 0(6 分)22ydx-xdy = (x +y )dx (8分)22y2(y'-1)=(2-y,)2一 分)dy y xy 二 edx x(8 分)x''+6x'+5x =e2t(6 分)1x'' x = -3si nt(8 分)x''2x'(8 分)求方程组的奇点,并判断奇点的类型和稳定性(竺=2x-7y 19,曳=x-2y 5 dtdt常微分方程期终试卷(9)一

24、、填空题(每题 5分,此题共30分)dy y sin x = ex1 .方程dx的任一解的最大存在区间必定是 2 .方程y" + 4y =0的根本解组是.3 .向量函数组Yi(X),Y2 (x), Yn(x)在区间I上线性相关的 条件是在区间I上它们的朗斯基行列式W( X) = 0 .4 .李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件.5 . n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间.6,向量函数组Y1(X),Y2(X),Y n (X)在其定义区间I上线性相关的 条件是它们 的朗斯基行列式W(x) = 0 , x W I .二、计算题(每题 8分,此题共40分)求以下

25、方程的通解dy 2x3y = e7 . dx8 . (x3+xy2)dx +(x2y+y3)dy =09 . eyy -x =010 .求方程y*-5y' = sin5x的通解.11 .求以下方程组的通解.dx,L + ydy = 4x + y Et三、证实题(每题 15分,此题共30分)12 .设y =%(x)和y =92(*)是方程y" + q(x)y = °的任意两个解,求证：它们的朗斯基行 列式W(x)三C ,其中C为常数.13 .设中(x)在区间(-00, 十叼上连续.试证实方程二(x)sin y dx的所有解的存在区间必为(-必,.常微分方程期终试卷(1

26、0)一、填空(30分)1、dy ,y、 dTg(?称为齐次方程,dy2L(x)yQ(x)y R(x)称为黎卡提方程.2、如果f(x, y)上r上连续且关于y满足利普希兹条件,那么方程dy£ = f(x,y)存在唯一的解y =卬(幻,定义于区间xx.wh上,连续且满足初始条件(x.)= y.,其中b、h = m i na(,)M ,M = max f (x, y)(x,y)-Rw(t)3、假设xi(t)(i =1, 2,n)是齐线性方程的n个解,w(t)为其伏朗斯基行列式,那么 (满足一阶线性方程w (t) + a1(t)w(t)= 0.k44、对逼卡逼近序列,k(x) - ；：k4(

27、x) -(x - x0)kk!5、假设(t)和中(t)都是x =A(t)x的基解矩阵,那么小和中(t)具有关系(t) =(t)Co；:M ；:N 刁_=.：(刈6、方程M(x,y)dx + N (x,y)dy =0有只含x的积分因子的充要条件是n有只含y的积分因子的充要条件是-Mdy y2 -17、方程dx 2 经过(°,°)点的解在存在区间是 3,f.二、计算(60分)24、1、求解方程 xdy +(y+x y )dx = 0.解：所给微分方程可写成(xdy ydx) x2y4dx = 0即有d(xy) x2y4dx =04-上式两边同除以(xy),得d(xy)4 (xy

28、)口 dx = 0 x11一3 一 一 二 C1由此可得方程的通解为3(xy) x2 333即1 3x y =cx y(c - -3c1)232、求解方程y = p +2p解：所给方程是关于 y可解的,两边对x求导,有P =(2p 6p2) dx(D 当p =0时,由所给微分方程得 y =0；2(2)当 dx =(2+6p)dp 时,得 x = 2p +3P +c.因此,所给微分方程的通解为 223x=2p+3P +c, y=p +2p( P为参数)而y 二0是奇解. '''t 2t3、求解方程 x -4x +4x=e +e +1解：特征方程记-4Z +4=0, 

29、9;12 =2 ,2t . 2t故有根本解组e , te ,对于方程x'' -4x' +4x=e,由于九=1不是特征根,故有形如 x1(t) = Ae的特解,八 1“一2t2t 2tA =-将其代入x -4x +4x=e ,得2Ae =e ,解之得 2 ,对于方程x'' -4x' +4x=1,由于九=0不是特征根,故有形如 x3(t)=A的特解,'''A =1将其代入x -4x +4x=1,得 4 ,所以原方程的通解为4、试求方程组x(t) =e2t (c1c2t)x = Ax的一个基解矩阵,et 1t2并计算2 2t 1

30、 e -4exp At ,其中r2解：p(九)=det(九E A)=0,储=点,入2=J3,均为单根,f CL )、 ,-v A、CVl = /C ,设h对应的特征向量为vi ,那么由(%E A)vi =0 ,得2 +J3R/1M #01、1、取 必十、3,同理可得储对应的特征向量为心一哀),那么邛i(t) =e网vi ,中2(t) = e*tv2,均为方程组的解,令 (t)=(中i(t),中2(t),w(0) =det：,(0)=又i2 - <33额*tee所以(t)即为所求基解矩阵?2 + J3)e3t(2 - V3)r5、求解方程组dx=x + y+ 1dtdy二=x _ y _

31、5Et的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.'x + y +I =0解：令K y5 = 0,得)=3,即奇点为(2,-3)X =x2令工丫 =y +3,代入原方程组得呸二x dt dY=Xl. dt-Y由于1一1解得1 = 'N-i-I+I22-2 = 0% = -<2为两个相异的实根,所以奇点为不稳定鞍点,零解不稳定.dy2=x y6、求方程dx经过(0, 0)的第二次近似解.解：*0(x)=0,x1二 (x) u0,I f (x,0)dx x2 022 (x) = 0,i f (x, x )dx x x02220三、证实(10分)假设m不是矢I阵A的特征值,试证非齐线性方

32、程组 x'' Ax ce mt 有一解形如(t) = pemt其中c, P是常数向量.证：设方程有形如 5°) = Pemt的解,那么P是可以确定出来的.mtmtmtmt事实上,将Pe代入方程得mPe =APe +ce ,由于 emt =0,所以 mP = APe+c,(1)(mE - A)P =c又m不是失!阵A的特征值,det(mE A) # 0ii所以(mE A)存在,于是由(i)得P = (mE A) c存在.故方程有一解(t) = (mE - A),cemt = Pemt常微分方程期终试卷(11)一.填空1. 称为一阶线性方程,它有积分因子,其通解为.二2.

33、 称为黎卡提方程,假设它有一个特解 加),那么经过变换FE为伯努利方程.3. 假设平(x)为毕卡逼近序列"nix"中的极限,那么有1平(x) *n(X) I < 4,假设xi(t) (i=1,2, , n)是齐线形方程的n个解,w(t)为其伏朗斯基行列式,那么 w(t)满足一 阶线性方程.5 .假设xi(t)(1=1,2,一 , n)是齐线应方程的一个根本解组,x(t)为非齐线形方程的一个特解,那么非齐线形方程的所有解可表为.6 .如果 A(t)是nxn矩阵,f(t)是 n维列向量,那么它们在a t 丸 上满足 时,方程组 x'= A(t) x+ f(t)满足

34、初始条件x (t0)="的解在aEt Wb上存在唯一.7 .假设中(t)和中(t)都是x'= A(t) x的基解矩阵,那么中(t)与中(t)具有关系：8 .假设里 (t)是常系数线性方程组 x'= Ax的 基解矩阵,那么该方程满足初始条件 中(t0)="的/(t)=*9 .满足 的点(x 'y ),称为方程组的奇点.10 .当方程组的特征根为两个共轲虚根时,那么当其实部时,零解是稳定的,对应的奇点称为 .二.计算题(60分)ydx - (x y3)dy = 0(地)3-4xydy 8y2=02.3.dx dxdy _2x y求方程dx经过(0, 0)

35、的第三次近似解4. x x = sint - cos2t八 2A =5,假设 一一114 -试求方程组X' = Ax的解1邛(t)W(0)C = /dxX -6.求 dty - 5的奇点,并判断奇点的类型及稳定性-2 -并求 expAt三.证实题(10分)工设f (%丫)及勾连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.常微分方程期终测试卷(12)一、填空题(30%)1 .假设y=y?x), y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解,那么用这两个解可把其通解表 示为.dy 22一二 x y2 .方程dx满足解的存在唯一性定理条件的区域是

36、型=f (x, v)条件.3 . fy (x,y)连续是保证方程dx初值唯一的一条积分曲线.d Y=A (x) Y4 .线性齐次微分方程组 dx的一个根本解组的个数不能多于个,其中 xw R, YWRn.5,二阶线性齐次微分方程的两个解y =91(x), y =92(*)成为其根本解组的充要条件dy o. =sin x cos y6.方程dx满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .dy 25=x tan y7,方程 dx的所有常数解是 .8 .方程xsin ydx + ycosxdy = 0所有常数解是 .9 .线性齐次微分方程组的解组 Y1(x), Y2(x),Yn(x)为根本解组的 条件 是

37、它们的朗斯基行列式 W(x) #0 .10 . n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个.二、计算题(40%)求以下方程的通解或通积分：dy,tanA1. dx x xdy2-cos y -cosxsin y=siny2. dx23. (2xy - cosx) dx (x -1)dy =04."dx4 dt dy d二y=2x y* = x + y以= -2x 3y5. dt三、证实题(30%)1 ,试证实：对任意X.及满足条件0 < y0 <1的y0 ,方程dy _ y(y -1) 一 ,22dx 1 x y的满足条件y(x0)=y.的解y = y(x)在(3,+

38、叼上存在.dy .,、lim f (x) = 0y = f (x)2,设f(x)在Q +°°)上连续,且 jmc ( ),求证：方程dx的任意解y=y(x) 土匀有酗y(x)=°.曳=x2f(y) 一、八,3.设方程dx中,f(y)在(-°°,+°°)上连续可微,且yf(y)M0, (y#0).证：该方程的任一满足初值条件y(x0)= y0的解y(x)必在区间以0, +比)上存在.常微分方程期终试卷(13)一、填空题(30分)方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 有只含 x 的积分因子的充要条件是FMFN-N (x)

39、( Wcx),有只含y的积分因子的充要条件是现-W = -M(y).y二 x2、3、x曳f (x, y)dx求dx =f(x,y)满足3(X0)= yo的解等价于求积分方程(y=y 0 + x0).dy方程dx定义在矩形域R:-2 - x - 2,-2 - y - 2±,那么经过点(0, 0)的即位存在区间是Lx44).4、 假设X,(t)(I=1,2,n)是齐线性方程的n个解,W(t)为伏朗斯基行列式,那么 W(t)满足一阶线性方程(W'(t)+a1(t)W=0 ).5、 假设X 1 (t), X 2(t),X n (t)为n阶齐线性方程的n个解,那么它们线性无关的充要条件

40、是 (WX 1(t), X 2(t),X n (t) #0).6、 在用皮卡逐步逼近法求方程组X'=A (t) X+f(x),X(t 0 )="的近似解时,那么t,(t) =(A(s) ：k/(s)f(s)dst0) o7、 当方程的特征根为两个共扼虚根时,那么当其实部(为零)时,零解是稳定的,对应的奇点称为(稳定中央).*8、 满足(X(x,y)=0,Y(x,y)=0 )的点(x,y ),称为方程组的奇点.9、假设巾和中都是X' =A(t)X的基解矩阵,那么巾和中具有关系： (中(t) =t)C(C为非奇异矩阵).nn Jn d y nd y10、形如(xdZ+a1

41、xdxn+an y = 0)的方程称为欧拉方程.二、计算题求以下方程的通解(1 2 )3x2y )dx (x2 y2)dy = 01、(2 xy+3M c 22x x解：由于-:y, My2,-N 2x:x又由于-:y. N:x所以方程有积分因子:x 一万程两边同乘以e得：3u(x)=ex (2xy x2y)dx ex(x2 y2)dy = 0 33ex(2xy x2y)dx exx2dy ex-dx exy2dy0x 2e x y e也即方程的解为x32、y3 - 3xy = 0(ydx解：令,也y =p=tx dx,从而十 t x 3 3tx =20 即3t2P = tx = -31 t3

42、那么3tx 31 t3又广(言)(5)dt c3 1 4t3=2(1 t3)2故原方程的通解为x 二3t1 t33 1 4t32(1 t3)2t为参数dv_x-x3、求方程dxy2经过10,0)的第三次近似解解：J 0=Vox=x d xoxx2x二(x )dx =o 4x_220x 41 0. xx(x 04400x 7)dx 20220 4400 160d2x4、求 dt2cdx- 23x = 2t 1dt的通解解：齐线性方程d2xdt22 dx一 2 dt3x =02的特征方程为2 - 2 ' - 3 = 03tt故齐线性方程的一个根本解组为e , e ,由于九=0不是特征方程的

43、特征根 所以原方有形如 x(t) = B0t + B1的特解将x(t) = B0t + B1代入原方程,比拟t的同次哥系数得:-3B0 t ( -2B -3B ) = 21B .1B9:-3B°=23故有-2B0 -3B1 = 1解之得：B°2 ,所以原方程的解为：31x(t) = qeqe(-t 9)2-111 2-15、试求：1-12J的基解矩阵2 -1112-1解：记 A=-12 I又 p(九)= detE-A)=(九-1)(九-2)(九-3)=0得九1二1,九2 =2,K3 =3均为单根设%对应的特征向量为V1 ,那么由('-1 E 一 A)V1 = 0得0

44、0I I “ LV1 = « ,口 = 0 V1 = 1 取 J_i同理可得-2,'-3对应的特征向量为：11V2 = J1 ,V3 = | 0. 1J那么1(t)=应,2(t) = e2%3(t) = e"土匀为方程组的解令甲(t)=(：L(t)9 2(t)尸 3(t)011w(0) =det 型(0) =110#0p111所以乎(t)=(1(t),62(t),63(t)即为所求.d2x6、试求dt2cdx3 2x = 0 dt的奇点类型及稳定性dx y 解：令dt ,那么:柒-3y-2x0由于一21 于0一3,又由九2+3九十2 = 0解之得九1 二 -1, &

45、amp;2 = -2为两相异实根,且均为负 故奇点为稳定结点,对应的零解是渐近稳定的.7. 一质量为m的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个和时间成正比(比例 系数为kJ的力作用在它上面,此质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比(比例系数 为k2).试求此质点的速度与时间的关系.解：由物理知识得:根据题意:a=F(其中a为质点的加速度, mF 合=k1t k2VF合为质点受到的合外力)故:即:m-dv = k1t 一 k2V(k20)dtdv- k2k1)v t (*)dt m m(*)式为一阶非齐线性方程,根据其求解公式有上dtk 将出V = e m (t e m dt c)m上t

46、 k%m k1m=e(t ek2mk1kTe*t1m c)mk12又当t=0时,V=0,故c= k2因此,此质点的速度与时间的关系为:高等数学测试题(十)微分方程局部(答案)一、选择题(每题 4分,共20分)1、假设yi , y2是方程 y'+ R为户 Q x ( C00)的两个特解,要使 是解,那么 a与P应满足的关系是(D)A ：- =1 B ：- =1 C ： - =0 D 1 =2、以下方程中为全微分方程的是( C ) _22_A (2 -2xy -y )dx -(x y -1) dy = 0_,22、 .,22 、. 一B (x ixy )dx-(y -x y)dy =0C

47、(1 e°U)d : 2：e“e=022一一D (x y )dx (2xy x)dy = 0汽y1 + P y2也23、设 人为头常数,万程 y +2Ky +九y = 0的通解是(D )ACe'+C2BC1cos九x+C2 sin KxCe$(C cosLx+C?sin 九x) d(C1+C2x)e'x4、方程 y"-2y'+ 2y =ex cosx 的特解*y形式为(b)x_Aaxe cosxB2 X2 XCax e cosxbx e sin xdxx .axe cosx bxe sin x2 xax e cosx5、x y =e'+ j0

48、 y(t)dt ,那么函数y(x)的表达式为(D )xxAy=xeCBy=xeCy = xexCexDy = (x1)ex二、填空题(每题4分,共20分)1、方程 =L27的通解是 x=e2y(y+C)dx 2x e2y2、方程 x(y'1) = y 的通解是 y=x(lnx+C)2x2x3、以yi =e ,y2=xe 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为y“ 4y +4y = 04、方程 y“y=0的积分曲线在点 0(0,0)处与直线 y = x相切,那么该积分曲线的、一 .1万程为y弓、,一八,15、万程xdyydx=0的一个只含有 x的积分因子为 = x三、(共60分)1、(8 分)求方程 (y x+1)dx(2y 2x+3)dy =0 的通解解：令 y_x+1=u,那么dy =du+dx ,代入原方程得一 1(u+1)dx = (2u+1)du 即(2 )du =dx ,两边积分得u 12uln( u+1) =x+C1,代回原方程,得通解2y-x-ln(y-x 2)=C222、(6 分)求方程 (1+x )dy=(2xy+3x +3)dx 的通解2x解：方程改写为