二次函数与三角形的综合

1、专题二二次函数与三角形的综合技巧提炼1、等腰三角形、直角三角形综合问题作图求点坐标万能法其他方法等 腰 三 角 形B a1l/克 1分力1J表小出A A、B、P的坐标，再表小线 段AB、BP、AP的长， 由 AB = AP AB= BP BP = AP列方程解出坐标作等腰三角形 底边的高，用 勾股定理或相 似建立等量关 系P P2P纣2下4分别以点 A、B为圆 心，以线段AB长为半 径作圆，再作AB中垂 线与l的交点即为所 有P点。已知点A、B和直线 l,在l上求点P,使 L PAB为等腰三角 形直 角 三 角 形.1 l已知点A、B和直线l上求点P ,使L PAB 为直角三 角形二'

2、 _BA分力1J表小山点 A、B、 P的坐标，再表小线 段AB、BP、AP的长度，由 ab2=bp2+ap2 bp2=ab2+ap2 ap2=ab2+bp2 列方程解出坐标作垂线，用勾 股定理或相似 建立等量关系P1 P3 3 P4P2分别过点A、B作AB 的垂线，再以线段 AB 为直径作圆，两垂线 和圆与l的交点即为 所有P点2、与相似三角形、全等三角形综合 ABC与4DEF相似或全等在没指明对应点的情况下，理论上应分六种情况讨论，但实际 问题中通常不超过四种，比如相似常见有如下两种类型，每类分两种情况讨论就可以了。两个三角形均为直角三角形两个三角形有一个公共角若 ABC 与4DEF 相似，

3、/B=/E = 90则4 ABCA DEF 或 ABCA FED若ABC与 AEF 相似，贝U: AABCA AEF或 ABCs afe二、全能突破1、二次函数与等腰三角形的综合1、如下图所示，在梯形 ABCD中，已知 AB/CD, ADXDB , AD = DC = CB, AB = 4,以 AB所在直线为x轴，过点D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系。(1)求/ DAB的度数及 A、D、C三点的坐标；(2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L;(3)若P是抛物线的对称轴 L上的点，那么使 PDB为等腰三角形的点 点P的坐标；若不能，请说明理由。P有几个？若能求2、在平面直

4、角坐标系中， 现将一块等腰直角三角板 ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上, 且点A (0, 2),点C ( 1, 0),如下图所示，抛物线 y= ax2+ax2经过点B。(1)求点B的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点 P (点B除外)，使4ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P的坐标；若不存在，请说明理由.(二)二次函数与直角三角形的综合13、如下图所不，已知直线y=x+1与y轴父于点 A,与x轴父于点 D,抛物线21 2y =-x +bx+c父于A、E两点，与x轴父于B、C两点，且B点坐标为(1, 0).2(1)求该抛物线的解析式；(2)

5、动点P在x轴上移动，当 PAE是直角三角形时，求点 P的坐标.(3)若点Q在抛物线上，且 CEQ为直角三角形时，请直接写出点Q的坐标。4、如下左图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 y=ax2+8ax+16a+ 6经过点 B (0, 4)。(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为 D,过点D、B作直线交x轴于A,点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为4,连接BC、AC,求证： ABC是等腰直角三角形。(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为 D,过点D、B作直线交x轴于点A,点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为4,连接BC、AC,求证： ABC是等腰直角三角形；(

6、3)在(2)的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为1,直线l与x轴、y轴分别交于点A'、B',是否存在直线1,使AA' B' C是直角三角形，若存在求出1的解析式，若不存在，请说明理由。图备用匡(三)二次函数与相似三角形的综合5、如下图所示，二次函数图像的顶点坐标为C (1, 2),直线y=kx+m的图像与该二次函数的图像交于 A、B两点，其中A点坐标为(3, 0), B点在y轴上，点P为线段AB上 的一个动点(点 P与点A、B不重合)，过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象 交于点E。(1)求这个二次函数的解析式；(2)设点P的横坐标为x,

7、求线段PE的长(用含x的代数式表示)；(3)点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点 P、E、D为顶点的三角形 与/ AOB相似，请求出P点的坐标.6、如下图所示，抛物线 y=ax2+bx2交x轴于A、B两点，交y轴于点C, OC = OA, ABC的面积为2。(1)求抛物线的解析式；(2)若平行于x轴的动直线DE从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移， 分别交y轴、线段BC于点E、D,同时动点P从点B出发，在线段 OB上以每秒2个单位 的速度向原点 O运动，当点P运动到点。时，直线DE与点P都停止运动，连接 DP,设 点P的运动时间为t秒。11当t为何值时， 十 的值最

8、小，并求出最小值；ED OP是否存在t的值，使以P, B, D为顶点的三角形与 ABC相似.若存在，求出t的值； 若不存在，请说明理由.7、如下图所示，已知抛物线 y =-x2 _1(b+1)+b (b是实数且b>2)与x轴的正半轴 444分别交于点A、B (点A位于B点的左侧)，与y轴的正半轴交于点 Co(1)点B的坐标为，点C的坐标为 (用含b的代数式表示)；(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形 PCOB的面积等于2b,且三角形PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 P的坐标；如果不存在，请 说明理由.(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q使得

9、 QCO、 QOA和4QAB中的任意 两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况) ，如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存 在，请说明理由。4 2 22 、8、如下左图所不，已知直线y= kx与抛物线y =x +父于点A (3, 6)273(1)求直线y= kx的解析式和线段 OA的长度；(2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点 P作直线PM,交x轴于点M (点M、O不重 合)，交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N,试探究：线段 QM 与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由。(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点， 点E在线段OA上(与点0、A不重合)， 点D (m, 0)是x轴正半轴上的动点，且满足/ BAE=/ BED = / AOD .继续探究：m在什 么范围时，符合条件的 E点的个数分别是1个、2个？图1(四)二次函数与全等三角形的综合9、如下图所示，抛物线 y=-(x- m)2的顶点为A,直线l： y = J3x J3m与y轴的交点为B,其中m>0o