中考复习讲义：等腰三角形中的常考热点问题

1、中考复习讲义：等腰三角形中的常考热点问题一、问题导读等腰三角形创新问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注，越来越成为热点和亮点考题，成为中考的一道亮丽风景，它既检测了同学们对所学的知识的理解与运用能力，又检测了同学们分析问题和解决问题的能力，能全面检测同学们的数学综合素质.二、典例精析 类型1条件开放型问题 例1.有下列三个等式 AB=DCBE=CE/ B=/C.如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出RtAED是等腰三角形，你认为这两个条件可以是 （写出一种即可

2、）【分析】依据条件判定AB®4DCE即可得到 AE=DE进而彳导出RtAED是等腰三角形.【解答】当 AB=DC BE=CE / AEB=/ DEC 时，RtAABE Rt DCE （HL）,故 AE=DE 即RtAED是等腰三角形；当 AB=DC / B=/C, / AEB=/ DEC时， AB段 DCE （AAS ,故 AE=DE 即 RtAAED> 等腰三角形；当 BE=CE / B=/C, / AEB=/ DEC时， AB段 DCE （ASA ,故 AE=DE 即 RtAAED> 等腰三角形.故答案为：或或.（答案不唯一）【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，如

3、果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.变式.如图，AD是4ABC的边BC上的中线，由下列条件中的某一个就能推出ABC是等腰三角形的是 （把所有的正确答案的序号都填在横线上）/ BAD=/ ACQ / BAD+-Z B=Z CAD+/ C; AB+BD=AC+CD AB- BD=AC- CD【分析】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断即可.【解答】无法判定；/ BAD-+Z B=Z CAD吆 C, / ADB4ADC / ADB吆 ADC=180 , / ADB4ADC=90 ,AD± BC,在 ABDA ADC中( AD = ADADB /.ADC(BD = DC.

4、.AD整 ADC (SAS ,B=Z C,故正确；延长 DB至E,使BE=AB延长 DC至F,使CF=AC连接 AE、AF;DE=DF又 ; AD± BC; . AEF是等腰三角形; ./ E=Z F; AB=BE/ ABC=2Z E;同理，得/ ACB=2Z F;同理可得 AB- BD=AG_ CD,故答案为：评注：本题是添加条件的创新题，重点考查了等腰三角形的判定和性质.要由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件，有一定的开放性和思考性.这种类型的题目能激起同学们的挑战欲望和创新热情，实属一道“人人能达到”的好题变式练习1.如图，在 ABC中，AB=AC点D> E在BC

5、上，连接 AR AE,如果只添加一个条件使/ BAD=Z CAE则添加的条件不能为（）A. / ADE=Z AED B. / B=Z CC. AD=AE D BD=CE例2.已知 ABC AB=AC D为直线 BC上一点，E为直线 AC上一点，AD=AE设/ BAD= a , / CDE干.（1）如图，若点 D在线段BC上，点E在线段AC上.如果/ ABC=60° , / ADE=70 ,那么 a =° , 3 =° ,求 a , 3 之间的关系式.（2）请直接写出不同于以上中的a, 3之间的关系式可以是 .（写出一个即可.）J【分析】（1）先利用等腰三角形的性质

6、求出/DAE进而求出/ BAD,即可得出结论;利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；（2）当点E在CA的延长线上，点 D在线段BC上，同（1）的方法即可得出结论；当点E在CA的延长线上，点 D在CB的延长线上，同（1）的方法即可得出结论.【解答】（1） : AB=AC / ABC=60 ,BAC=60 , AD=AE / ADE=70 , ./ DAE=180 - 2/ADE=40 ,a =Z BAD=60° - 40° =20° , / ADCh BAD+/ ABD=60 +20° =80° ,3 =/ CDE=Z ADC- /

7、ADE=10° , 故答案为：20, 10;设/ ABC=k / AED=x/ ACB=k / AED=x在 DEC中，y= 3 +x,在 ABD中，a +x=y+ 3=3 +x+ 3 ,a =2 3 ；(2)当点E在CA的延长线上，点 D在线段BC上, 如图1设/ ABC=K / ADE=y/ ACB=k / AED=y在 ABD中，x+ a = 3 - y,在 DEC中，x+y+ 3 =180° , a =2 3 - 180° ,当点E在CA的延长线上，点 D在CB的延长线上， 如图2,同的方法可得 a =180° -23.故答案为：a =2 3 -

8、 180° 或 a =180° -23.变式.如图所示，在 ABC中，AD是/ BAC的平分线，G是AD上一点，且 AG=DG连接BG并延长BG交AC于E,又过 C作AD的垂线交 AD于H,交AB为F,则下列说法正确的是 （填序号）.D是BC的中点；/ CDA>/2;BE是 ABC的边AC上的中线;CH为4ACD的边AD上的高；八AFC为等腰三角形；连接DF,若CF=6, AD=8,则四边形 ACDF的面积为24.ABD C【分析】根据等腰三角形的定义、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断，对角线垂直的四边形的面积 =对角线乘积的一半；【解答】错误.假设结论成立，则

9、JABC是等腰三角形，显然不可能，故错误;正确.ADC=Z 1 + /ABD /1 = /2,丁./ ADO/ 2,故正确；错误.假设结论成立，则.AG=GD AE=ECEG/ BC,显然不可能，故错误，正确，; CH± AD, .CH为4ACD的边AD上的高，故正确，正确./ 1 = Z2, AD=AD / AHF=/ AHC=90 , .AHF AHC （ASA , .AF=AC故正确，正确AD± CF,S 四边形 ACDF=1/2X ADX CF=1/2 X 6 X 8=24 .故答案为.【点评】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，对角线垂 直

10、的四边形的面积，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角 形的某条边相交的交点之间的线段.透彻理解定义是解题的关键.变式练习2.如图，点D是等腰 ABC底边的中点，点 E是AD延长线上的任一点，连接 BE, CE,则下列结论： BE=ACAE平分/ BEC;AE=AB/ ABE=Z ACE其中正确 的有 (填写序号).类型3、操作性问题例3. ABC中，AB=AC过其中一个顶点的直线可以把这个三角形分成另外两个等腰三角形，则/ BAC()1800108°A . 361 901 丁 , 108°B , 36 k,90°108。108°C

11、. 901 72° r 108° f -D . 36 90° .108"【分析】利用三角形内角和定理求解.由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情况讨论.【解答】如图1,当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AB=AC,AD=CD=BD设/ B=x° ,则/ BADW B=x , / C=Z B=x , / CADh C=x ,. / B+Z BAC-hZ C=180° ,1- x+x+x+x=180 ,解得x=45, 则顶角是90。；匿II图2圉3如图2,AB=AC=CD B

12、D=AD设/ C=x° , AB=AQ/ B=Z C=x , BD=AD / BAD4 B=x , / ADCh B+Z BAD=2x , AC=CD / CADh ADC=2x° , ./ BAC=3乂 , x+x+3x=180 , x=36 ,则顶角是 108° .如图3,当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有 AB=AC BC=BD=AD设/ BAC",BD=AD / ABD4 BAC=x° , / CDBh ABD+Z BAC=2x° ,BC=BD ./ C=Z CDB=2x° , AB=AC / ABC4

13、 C=2x , . / BAC+Z ABC+Z C=180° ,x+2x+2x=180 , x=36 ,则顶角是36。.如图4,当/ BAC=4 , / ABCW ACB=3x° 时，也符合，AD=BD BC=DC/ BAC=Z ABD=x, / DBC=/ BDC=2x则 x+3x+3x=180, x=.则/ BAC=90或108或36或度.故选：A.【点评】本题考查了等腰三角形的性质及其判定.作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解.变式.如图，在 ABC中，/A=120° ,

14、/ B=40° ,如果过点 A的一条直线l把 ABC分害U成两个等腰三角形，直线120°的角分为100°和20°或40°和80° ,分别画出图形,l与BC交于点D,那么/ ADC的度数是【分析】有两种情况：把即可求解.【解答】分两种情况： 如图1 ,把120°的角分为100°和20° ,则 ABD与 ACDtB是等腰三角形，其顶角的度数分别是100°, 140 ./ ADC=140把120°的角分为40°和80° ,则 ABD与 ACDtB是等腰三角形，其顶角的度数

15、分别是100° , 20° , ./ ADC=80 ,故答案为140°或80°【点评】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形各角之间的关系，难度适中，画出 图形是关键.变式练习3.如图，若AB=AC下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()(1) A.(1)(2)(3) B.(1)(3)(4)C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(4)类型4动点型问题例4.如图，在 ABC中，/ C=90° , AC=3 BC=4,动点P从点B出发以每秒1个单位长 度的速度沿B-A匀速运动；同时点 Q从点A出发同样的速度沿 A-8 B匀速运动.当点P

16、到达点A时，P、Q同时停止运动，设运动时间为 t秒，当t为 时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.【分析】分情况讨论：当AQ=PQ寸，如图1,证明 ADR4ACB则AD/AQ=AC/AB歹U方程可得t的值；当BP=BGM,如图2,根据BP=BCFU方程可得t的值；当BQ=PQ寸，如图3,同证明三角形相似可得t的值.【解答】当 BP=PQ寸，如图1,由题意得：BP=PQ=AQ=tRSABC中，AC=3 BC=4,AB=5,AP=5- t ,过Q作QD_LAB于DAD=：AP=号1;zA=zA , zADQ=zACB = 90° ,'.-ADQ-ACB ,5-tAD AC

17、325, NQ _ KR' t 11 r当BP=BQM,如图 2由题意得：BP=AC+CQ=t. BQ=3+4 t=7 - t ,- 7- t=t , t=3.5 ;当BQ=PQ时，如图3,过Q作QDL AB于D,BD=1/2BP=1/2t , BQ=7- t , / B=Z B, / BDQh ACB=90° , . BDQ BCABD BC不 t456；=AB 1 A7t = S 石综上所述r t的值是浜或湿或0.【点评】本题是几何动点问题，考查了等腰三角形的判定、三角形相似的性质和判定.分类讨论的数学思想是本题考查的重点，并与方程相结合解决问题.变式.如图，已知点 P是

18、射线BM上一动点（P不与B重合），/ AOB=30 , / ABM=60 , 当/ OAP=时，以A、。B中的任意两点和 P点为顶点的三角形是等腰三角形.【分析】先根据题意画出符合的情况，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求 出即可.【解答】分为以下 5种情况： OA=Og/ AOB=30 , 0A=0?OAP OPA=1/2 (180° - 30 ) =75 ° ; OA=AF?AOB=30 , OA=A?Z APOh AOB=30 , ./ OAP=180 - Z AOB- Z APO=18(J - 30° - 30 =120 ;AOM=60 , AB=

19、AF? ./ APOWABM=60 , / OAP=180 - Z AOB- Z APO=180 - 30 - 60° =90° ;AB=BRABM=60 , AB=BF? / BAP土 APO=1/2 (180° - 60 ) =60 ° , .Z OAP=180 - Z AOB- Z APO=180 - 30° - 60° =90 ;AP=BRABM=60 , AP=BF? / ABOh PAB=60° , ./ APO=180 - 60° - 60° =60° , ./ OAP=180 -

20、 / AOB- / APO=180 - 30° - 60° =90° ;所以当/ OAP=75或120°或90°时，以A、。B中的任意两点和 P点为顶点的三角形是等腰三角形，故答案为：75°或120°或90° .【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能画出符合的所有图形是解此题的关键.变式练习4.如图，在平面直角坐标系中，点A B的坐标分别为（0, 2）和（3, 4）,点P在x轴上运动，若 ABP是等腰三角形，则满足条件点P的坐标是.例5 .在第1个SBA中1AB=Ai8，在AiB上取

21、一点C ,延长AAi到Aa,使得AiAj-AiC ；在A2c上取一点D ,延长AiAz到Aj .使得A2A产A?D ；.,按此做法进行 下去.第n个三角形的以An为顶点的内角的度数为.【分析】先根据等腰三角形的性质求出/BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出/CA2A1, / DA3A2及/ EA4A3的度数，找出规律即可得出/An的的边长为得出a3=4a1=4 , a4=8a1=8, a5=16a1进而得出答案.180, q 1SO,-2O°【解答】在MBA中 ,2B=20" AB=A1B , .zBAiA=-=-二801*.，AiA2HAic:

22、/BAiA 是占A1A2C 的外角,lBA.A 80°"CA2A 产=40 口； 22同理可得,zDAjA2=20° , NEA#Aa=10' .zAn= () ”，80。.故答案为(1)n-l<80° .【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出/CA2A1,/ DA3A2及/ EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键.变式.如图，已知：/MON = 30点A*、An A3、在射线ON上，点Bi、B2、B3、在射线OM上,二AiBiBz、二A2B2B3,二A加田工均为等边三角形,若。81=1 ,贝gAaBsBg

23、B1A1 / A2B2/ A3B3,以及 a2=2a1 ,【解答】设等边三角形的边长一次为ai f az , as 一一是等边三角形 一:BiA.BzAi # z3=z4=zl2=60* f Az2=120fl f zMON=30",二上工=180* - 120© - 30仁301又23=60"上5=180° - 60° - 30°=90°, /zMON=zl = 30c f /,OBi=BiAi=l,，B2Ai=1 .,aB2A汨九 £BmAmB4是等边三角形一n11=/10=601 z13=60 /z4=zl2

24、=60°. /+BiAillAiBaJlA3B5 F A1B2HA2B玉,.zl=z6=z7=30a r z5 = z8=90c t总2=23t 曰3=431=4 t d4±8ai=8 . a5=16a* /以:占8=2' = 128 t即必AsBaBg的边长为128 ,故答案为：128 .【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a3=4a1=4, a4=8a1=8, a5=16a1进而发现规律是解题关键.变式练习5.如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABG其中B、C的坐标分别为(1, 0)和C (2, 0).若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A、B、C中，会过点(2018, 1)的是点()4 O 1 C2 34 工A. A和 B B . B 和 C C . C和 A D . C类型6计数问题例6.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象P点 P是x轴上一动点，若以 P, O,A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有;【分析】分为三种情况： OA=OPAP=OPOA=OA分别画出即可.【解答】当 OA与x轴正半轴夹角不等于 60°时，以。为圆心，以