初高中衔接材之因式分解

1、【解】方法一：直式算法方法二：分离系数法:、因式分解2-1因式与倍式如同因子与倍数的概念，如果代数式A可以写成代数式B与代数式C 的乘积，即A B Co此时，我们说B与C是A的因式，而A是B与C的倍式。例如：由 x2 3x 2 (x 1)(x 2),可知x 1与x 2皆为x2 3x 2的因式，而 x2 3x 2为x 1与x 2的倍式；由 x2 y2 (x y)(x y),可知x y与 x y皆为x2 y2的因式，而x2 y2为x y与x y的倍式。下面就让我们 先从多项式的除法来认识因式与倍式。【多项式的除法】在小学时，我们会以下列的长除法(直式算法)来求出 58除以13的商数为4,余数6:4

2、13）飞8526同时，我们也知道:58 134 6类似于自然数的除法，多项式的除法运算也有直式算法(长除法) ；为 了简化计算，也常使用分离系数法。事实上，这两种方法的差别在于计算过 程中，有没有将文字符号写出来而已。【范例1】求(x2 4x 2) (x 1)的商式及余式x 3x 1 ) x24X2-2x (x 1) > x x3x 23 (x 1) - f 3x 31答：商式为x 3,余式为 11 31 1 )14 21 13 23 31在自然数的除法，我们有下列的规则：被除数 除数 商数余数，其中，商数和余数为非负整数，且余数小于除数。同样的，在多项式的除 法中，我们也有类似的规则：

3、被除式 除式 商式余式，其中，除式不为零多项式，商式的次数等于被除式的次数减去除式的次数, 且余式的次数要小于除式的次数或为零多项式。在完成多项式的除法后，为了验证所得结果是否正确，除了重新检视 运算过程外，也常用上述被除式=除式 商式 余式的概念来验算 例如： (x 1)(x 3) ( 1)(除式商式余式)2x 4x 3 1x2 4x 2(被除式)【范例2】求(2x3 5x2 x 5) (x 2)的商式及余式。【解】2 1 11 2 )25152 41 11 21 51 2 答：商式为2x2 x 1,余式为7。7使用分离系数法时，当除式或被除式缺项时，需要补00【范例3】【解】求(3x2 2

4、) (2x 1)的商式及余式。因为3x2 2 3x2 0 x 2,所以用3 0 2来表示3x2 2。023232233答：商式为11余式为好2 4214【范例4】【解】3求(6x3 7x2 4x 8) (3x2x 2)的商式及余式。2 31 2 ) 6 7 4 86 2 49 0 89 3 63 2答：商式为2x 3,余式为3x 2。【范例5】【解】求(3x3 8x2 7x 2) (x2 2x 1)的商式及余式。3 21 2 1) 3 8 7 23 6 32 4 22 4 20答：商式为3x 2,余式为0o【类题练习1】求下列各除法运算的商式及余式:(2x2(x4x 5) (x 3)(2) (

5、 6x2 5x 1) (2x 1)1) (x 1)(4) (2x2 5x) (x 5)当余式为零多项式时，我们称 除式整除被除式，例如：在范例5中， x2 2x 1 整除 3x3 8x2 7x 2。这时，x2 2x 1 与 3x 2 为 3x3 8x2 7x 2 的因式，而3x3 8x2 7x 2为x2 2x 1与3x 2的倍式；而在范例4中， 所得到的余式3x 2不为零多项式，所以3x2 x 2与2x 3都不是6x3 7x2 4x 8 的因式。我们知道两个x的一次式乘积展开后成为x的二次多项式。反过来说， 如果能将一个x的二次式写成两个x的一次式的乘积，我们称这样的过程 为这个二次式的因式分

6、解。在高中的课程中，我们也会将一个多项式写成几个一次或二次的多项 式的连乘积，这样的过程也称为这个多项式的因式分解。例如：因式分解 A 2_x x 2 (x 1)(x 2)乘积展开因式分解3 - 2x 6x 11x 6 = (x 1)(x 2)(x 3)三乘积展开在国中阶段做因式分解时，我们只考虑因式的系数为有理数(整数或 分数)的情形。但从此以后，我们将不再要求因式的系数一定是有理数。 在2-2至2-4节中，我们将介绍几个常用的方法：提公因式、分组分解、十字交乘和利用乘法公式，并且在2-5节中补充利用配方法做因式分解。【重点整理】1.判别两多项式是否为因倍式关系时，可使用除法所得余式是否为0

7、来判断。【家庭作业】基础题1. 求下列各除法运算的商式及余式：0(9x2 18x8) (3x4)(7x211x 3) (2x 3)(x31) (x 1)®(x32x 1)(x5)©(x42x3x 4) (x2 3x2)©(x41) (x21)2. 已知3x3 6x13 3(axb)(x22x 2) 1 ，求 a、b 的值。3. 已知某多项式除以 (2x 1) ， 可得商式(x2 2x 1) ， 余式 3， 求此多项式。4. 已知4x3 13x k可被(2x 1)整除，求k的值。5. 已知一长方体的体积为x3 4x2 x 6、长为 x 3且宽为 x 2 ，求此长方体

8、的高。进阶题6. 若多项式A除以2x 1得商式B,余式为3;多项式B除以x 2得余 式为2 ，求多项式A 除以 (2x 1)(x 2)所得的余式。7. 求以x 1除(x2 1)10 x2 x 1所得的余式。2-2 提公因式作因式分解【从各项提公因式】如果发现多项式的每一项都有共同的因式时，我们可先将此公因式提出。1 】 因式分解下列多项式：(1) x 】 因式分解下列多项式：(1) x3 x2 x 1 5x(2) (a b)2 2(a b)23(3) (x 2y)2 (2y x)(3) 2ax2 3x 2ax 3 x3 x2 x 1x2(x 1) (x 1)2(x 1)(x2 1)(1) x2

9、 5x x x 5 x x(x 5)(2) (a b)2 2(a b) (a b)( a b) 2( a b)(a b)(a b) 2(a b)(a b 2)(3) (x 2y)2 (2y x)3(x 2y)2 (x 2y)3(x 2y)21 (x 2y)2(x 2y)2(1 x 2y)1】 因式分解下列多项式：(1) 4x2 6x(2) 7(a b)2 3(a b)23(3) (x y)2 (y x)3【分组提公因式】当各项没有公因式时，可尝试分组或去括号重新分组，使得每组之间有 公因式。(2) 2xy 5x 4y 10(4) xy(1 z2 ) z(x2 y2)(2) 方法一：2xy 5x

10、 4y 10方法二：2xy 5x 4y 10(3) 方法一：22ax 3x 2ax 3方法二：22ax 3x 2ax 3(2xy 5x) (4y 10) x(2y 5) 2(2y 5) (2y 5)(x 2)(2xy 4y) (5x 10) 2y(x 2) 5(x 2) (x 2)(2y 5)2(2ax2 3x) (2ax 3) x(2ax 3) (2ax 3) (2ax 3)(x 1)2(2ax2 2ax) (3x 3) 2ax(x 1) 3(x 1) (x 1)(2ax 3)（交换律）(4) 可尝试去括号展开后，再重新分组。222222xy(1 z ) z(x y ) xy xyz zx

11、zy222(xyzx )(xyzzy )x(yzx)yz(xzy)x(yxz)yz(yxz)(yxz)(xyz)2】 因式分解下列多项式：32b2)(1) x 5ax2 2x 5ax 2(4) ab(1 c2 ) c(a2 x2 x 1(2) 2xy 3x 4y 6从前面的例子我们可以看出，某些多项式可能有不只一种分组的方式来做因式分解。1 .若代数式各项有公因式时，先将此公因式提出来做因式分解。2 .若代数式各项没有公因式时，可尝试分组或去括号重新分组，再提公 因式来做因式分解。【家庭作业】基础题1 .因式分解下列多项式： 2x ax x(x 2) 2x 3(a 3) (a2 3a) 3a2

12、b 6ab24 (a 2)(b 3) 4(2 a)(3 b)6 2ab a 6b 3进阶题2.因式分解下列多项式：(x 2)2 2x 4 (ax bx)2 (b a)3x322 (x 2)(2 x)(x 4x 1)0 x3 2x2 2x 12-3十字交乘法作因式分解在多项式的乘法运算中，我们学过2(ax b)(cx d) acx (ad bc)x bd , 其中各项的系数可以用十字交乘的方式来求得常数项x2项系数abacbdad bccdx项系数因此，我们可以尝试利用上面的方法来因式分解二次多项式【范例1】因式分解下列多项式：、2 _22，一(1) x2 x 90(2) 6x y xy 153

13、xy52xy310x【解】(1) x2 x 90 (x 9)(x 10)2 2(2) 6x y xy 15 (3xy 5)(2xy 3)【类题练习1】因式分解下列多项式：(1) 5x2 2x 51(2) 380 x x2【范例2】因式分解下列多项式：241210(1) x x (2) x -x 1333【解】(1)方法方法二:412 1、 1-x - x (1 )x (1 )33331 (x 1)(x -)34112x (3x 4x 1)333x 1x1/311(3x 1)(x 1)33x1x1(2) x2 10x 11 (3x2 10x 3)3x1x3331-(3x 1)(x 3)31 一

14、141.在氾例2弟(1)题中，(x 1)(x -)和(3x 1)(x 1)都是x- x 的333311因式分解。事实上，在范例 2第(2)题中，1(3x 1)(x 3)、(x 1)(x 3)和 33(3x 1)(3x 1)都是x2 1°x 1的因式分解。换句话说，若多项式的系数有19 .分数时，可将原多项式改与成一(ax bx c)的形式，其中a、b、c、d为d整数，再对ax2 bx c做因式分解。【类题练习2】因式分解下列多项式：小 2 5S、6 2 13,(1) 2x -x 3(2) x -x 12551.我们可尝试引用十字交乘a bjFacbd、/ z /c dad bc来做因

15、式分解。【家庭作业】基础题1 .因式分解下列多项式：x214x 335x25x 10C 32x2-x 109x35x 42 7a2 14ab 105b2 2(x y)2 3(y x) 52 一 -2 x (p q)x pq ax(a b)x b进阶题2.因式分解下列多项式：4x413x212(ab)(ab 4) 12_21(x4y)(x4y) 6xyx(a)x 1a(x2x 1)23(x2 x)7(x23x5)(x2 3x1) 32-4利用乘法公式做因式分解对于某些多项式，我们可直接利用乘法公式来作因式分解。【完全平方公式】(ab)2a22abb2222(ab)2a22abb2(a b c)2

16、 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca【范例1】利用完全平方公式，因式分解下列各式：(1) a2 6a 9(2) 4x2 12xy 9y2(3) (x 2y)2 6(x 2y)(y x) 9(x y)2 222(4) a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca【解】(1) a2 6a 9 a2 2 a 3 32 (a 3)2(5) 4x2 12xy 9y2 (2x)2 2 (2x) (3y) (3y)2 (2x 3y)2(6) (x 2y)2 6(x 2y)(y x) 9(x y)2 _2_2(x 2y)2 (x 2y) 3(x y) 3(x y)(x 2y) 3(x y)2(2x 5y)2

17、(或写成(2x 5y)2)(7) a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca (a2 2ab b2) (2bc 2ca) c2 (a b)2 2c(b a) c2 22(a b)2 2c(a b) c2 (a b c)2【类题练习1】利用完全平方公式，因式分解下列各式:(1) a2 10a 25(2) 16x2 40xy 25y2(x y)2 10(x y)(y x) 25(x y)2222(4) a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac【平方差公式】a2 b2 (a b)(a b)【范例2】利用平方差公式，因式分解下列各式：(1) x2 (x 2y)2(2) 9 (a 2)2(3) x2 y2

18、 2yz z2【解】(1) x2 (x 2y)2 x (x 2y)x (x 2y)(x x 2y)(x x 2y)(2x 2y)( 2y)2(x y)( 2y) 4y(x y)(2) 9 (a 2)232(a 2)23(a 2)3(a 2)(3a 2)(3 a 2)(a5)(1 a)(3) x2 y2 2yz z2 x2 (y2 2yz z2)x2 (y z)2x (yz)x(yz)(x yz)(xyz)【类题练习2】利用平方公式，因式分解下列各式：422(1) a42a33223 1(2)(2x1)24(2x 1) 4(3) a2b2 2b1(4)x4y4【完全立方公式】a(3) 27 27

19、x 9x x (4) 27x 54x y 36xy 8y3a2b3ab2b3(ab)3a33a2b3ab2b3(ab)3【范例3】利用完全立方公式，因式分解下列各式：(1) x3 3x2 3x 1(2) 8x3 12x2 y 6xy2 y3(3) 27 27 x 9x2 x3【解】(1) x3 3x2 3x 1 x3 3 x2 1 3 x 12 13(x 1)3(2) 8x312x2y 6xy2y3(2x)3 3 (2x)2 y 3(2x) y2y3(2x y)3(3) 2727x 9x2 x3333 32x 3 3 x2 x3(3 x)3【类题练习3】完全立方公式，因式分解下列各式： 323

20、223(1) x 3x 3x 1(2) 8x 12x y 6xyy【立方差与立方和】(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)a3b3【范例4】利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式：(1) x3 1(2) a3 8b3(3) x6 y6【解】(1) x3 1 x3 13(x 1)(x2 x 1 12)(x 1)(x2 x 1)(2) a3 8b3 a3 (2b)3a (2b)a2 a (2b) (2b)2(a 2b)(a2 2ab 4b2)663x 23x2(3) x y (x ) (y )3333 (x y )(x y )2222、(x y)(x xy y )(x y)(x

21、 xy y )【类题练习4】利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式：(1)x3(2)8a3125b327(3)x3x22(4)a664b6在范例4的第(3)题中，也可以将x6 y6写成(x2)3 (y2)3,因此得到:66/ 2X3/2、3x y (x) (y)22222 2221(x y )(x ) x y (y )224224、(x y )(x x y y )事实上，x4 x2y2 y4可以再分解，我们将在下一个单元里，介绍它的 分解方法。【完全平方公式】【平方差公式】【完全立方公式】【立方和、差公式】 来做因式分解。1 .我们可尝试利用下列的乘法公式:2 22a2ab b (a b);

22、2 2ab(a b)(a b);a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)3;3 322a b (a b)(a mab b ),【家庭作业】基础题1 .因式分解下列各式：x214x 493x212x12x24x(b a)4(a b)202x218一 1(3 a)C6 a 8ab 16b4 2x3 16y38 125x3进阶题2 .因式分解下列各式：x2y2 6yz9z20(1 ab)2 (ab)2(a21)(b2 1)4ab01a2 -a 4439x3x2 36C6x4 x3 4x23x33 .已知a b 3, ab 2,求下列各式的值：O a2 b2 4a2 ab 4b2 a3 b32-5利

23、用配方法作因式分解利用完全平方公式或完全立方公式，再配合平方差公式或前面介绍的方法，可以处理一些特殊多项式的因式分解，这里需要一些拆项（分项）或补项（加减项）的技巧，要多练习。【完全平方公式】【平方差公式】a2 2ab b2(a b)2a2 b2(a b)(a b)【完全立方公式】a3【立方和、差公式】a33a2b 3ab2 b3 (a b)3 b3 (a b)(a2 mab b2)【范例1】因式分解下列多项式:，、2(1) x4x 542(3) aa1【解】(1) x2 4x 5(2) 3a2 4a 1 a4 a2 1一、一 42(4) 9x 5x 1(2) 3a2 4a 1一、一 42(4

24、) 9x 5x 12 _ _2 _2x 2 x 2 225-2(x 2)9_ 22(x 2)3(x 5)(x 1)(3a2 a2) a2 4a 1224a4a1a(2a 1)2 a2(3a1)(a1)4222a (a a ) a 142/2a 2a 1 a222(a 1) a(a21a)(a21a)(a2a1)(a2a1)42229x (5x x ) x 14229x6x1 x222(3x 1)x也是一个常见的乘法公式。(3x2 1 x)(3x2 1 x)(3x2 x 1)(3x2 x 1)事实上，在范例 1 的第(3)题中，所见到的2242(a a 1)(a a 1) a a 11】 因式分解下列各式：(2) 5a2 12a 4(4) 9x4 11x2 4(1) x2 2x 34224(3) a4 a2b2 b42 】 因式分解下列多项式：(1) x3 y3(2) x4 4(1) 虽然可以直接引用立方差公式来因式分解，我们也可以用补项的概念来因式分解x3y3 。33322322x y x 3x y 3xy y 3x y 3xy3(x y) 3xy(x y)2(x y)( x y) 3xy22(x y)(x2xy y3xy)22(x y)(xxy y )(2) 很显然，