空间立体几何点线面判断及证明

1、常州知典教育一对一教案学生： 年级： 学科：楚生 授课时间： 月 日授课老师：赵鹏飞课 题空间立体几何点线面判断与证明教学目标(通掌握空间立体几何中的点线面之间的关系，平行，相交，垂直，异面，重合等等，以过本节课学 生需掌握的 知识点及达 到程度)及证明面面垂直，面面平行等方法和步骤，了解关于几何体中一些基本的计算和比值。本节课考点 及单元测试 中所占分值 比例15%学生薄弱点，需重点讲解证明时对判断的方法出现错误思维，导致证明失分，使用性质时没有给出应有的条件 导致扣分，计算的失误使得自己失分。内容上次作业完成情况：优口良口中口差口课前检查建议:教学过程讲 义部 分考向1空间中点、线、面位置

2、关系的判断1 .平间的基本性质的应用公理1:证明“点在面内”或“线在面内”.(2)公理2及三个推论：证明两个平面重合，用来确廿个平面或证明”点线共 面.(3)公理3:确定两个面的交线，尤其是画截面图或补体时用到，证明“三点共 线” “三线共点”.要证明“点共线”可将线看作两个平向的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线.2 .空间中点、线、面之间的位置关系I国E3国1 (1)已知m, n表示两条不同直线，a表示平面，下列说法正确的是()A.若 m / % n / a ,则 m / nB.若 m± % n? a ,则 m±nC.若

3、m± % m±n,则 n/ aD.若 mil % m±n,则 n± a(2)下列命题正确的是()A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行胖肺c(1)W小限n还?以日交号皿对于选项D,还可以是n / a或n?a或n与a相父.(2)对于命题A,这两条直线可以相交或为异面直线，.A错误；对于命题B,这两个平面可以相交，.二B错误；对于命题D,这两 个平面还可能相交，一

4、. D错误；而由线面平行的性质定理可证 C正确.故选C.【答案】(1)B (2)C【点拨】 解题(1)根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定 与性质逐个进行判断，注意空间位置关系的各种可能情况.解题时要注意充分利用正方体(或长方体)模型辅助空间想象.解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义， 然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决.(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题.考向2异面直线所成的角1 .两条异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，

5、那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角.若记这个角为9,则 院,，-yl2 .判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点 A与平面内一点B的连线和平面内不经过点 B的直 线是异面直线.(2)反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得 两直线异面.E3国£3©2 (1)(2014大纲全国，4)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点, 则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.6 B.C.3 D.3 6世3(2)如图，已知二面角a-MN-B的大小为60° ,菱形ABCD在面B内，A, B两点在棱MN上，/

6、BAD = 60° , E是AB的中点，DO,面a,垂足为O.DC证明：AB，平面ODE;求异面直线BC与OD所成角的余弦值.【解析】(1)如图，取AD的中点F,连接CF, EF,则EF/BD,A / CEF即为异面直线CE与BD所成的角.设正四面体的棱长为2,则ce = cf=y3, ef=2bd=i.由余弦定理得cos/ CEF =CE2+EF2-CF2 亚2CE EF = 6 .3 CE与BD所成角的余弦值为 黄.故选B.(2)证明：如图，; DO± a , AB? a , DO LAB.连接BD,由题设知， ABD是正三角形.又E是AB的中点，DEXAB.而 DOA

7、DE=D,故 ABL平面 ODE.因为BC/AD,所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即/ADO 是异面直线BC与OD所成的角.由知，AB，平面 ODE,所以 ABLOE.又DEXAB,于是/ DEO 是二面角 a-MN-B的平面角，从而/DEO = 60° .不妨设 AB=2, WJ AD = 2.易知 DE = 43.。3在 RtzXDOE 中，DO=DEsin 60 =.连接 AO,在 RtAAOD 中，cos/ ADO =DO_AD =34.3故异面直线BC与OD所成角的余弦值为4.【点拨】 解题(1)的关键是选取合适的点作出异面直线的平行线.解题(2)时应注意异面

8、直线所成的角归结到一个三角形里.特别为直角三角形.方法【总I结求异面直线所成角的方法(1)作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条、平移一 条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上.(2)证：证明作出的角为所求角.(3)求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角.«注意两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.考向3线面平行的判定与性质直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语百图形谛言符号谛言判止止理不在平面内的一条直线与 此平间内的一条直线平行， 则该直线与此平面平

9、行(简 记为线线平行？线向平行)l?a a? a > ? l / al / a一条直线与一个平面平行,a II aa? B > ? a / b a A B = b则过这条直线的任一平面 与此平面的交线与该直线 平行（简记为线面平行？线 线平行）4注意直线与平面平行的判定定理和性质定理中的三个条件缺一不可；线面平行的性质定理可以作为线线平行的判定方法.E!国幻©1 （2014北京，17, 14分）如图，在三棱柱 ABC-AiBiCi中，侧棱垂直于底面，ABXBC, AAi = AC=2, BC=1, E, F 分别是 AiCi, BC 的中点.求证：平面 ABEL平面BiB

10、CCi;（2）求证：CiF/平面 ABE;（3）求三棱锥E-ABC的体积.KB【思路导引】（1）利用已知条件转化为证明 ABL平面BiBCCi； （2）取AB的中 点G,构造四边形FGECi,证明其为平行四边形，从而得证；（3）根据题中数据代入 公式计算即可.【解析】（1）证明：在三棱柱ABC-AiBiCi中，BB底面ABC.所以 BBiXAB.又因为ABXBC,所以AB，平面BiBCCi.所以平面ABE，平面BiBCCi.(2)证明：如图，取AB中点G,连接EG, FG.因为G, F分别是AB, BC的中点，所以 FG/ AC,且 FG = ；AC.因为 AC/A1C1,且 AC=AiCi,

11、 E 为 A1C1 的中点, 所以 FG/ ECi,且 FG=ECi.所以四边形FGECi为平行四边形.如§EG?EG面 ABE, CiF?平面 ABE, 所以CiF /平面ABE.(3)因为 AAi = AC = 2, BC=i, ABXBC, 所以 AB=AC2BC2=，3.所以三棱锥E-ABC的体积V="abc - AAi = ixixA/3xiX2=. 33 23i.证明线面平行问题的思路(一)(i)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线;(2)证明线线平行；(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行.2.证明线面平行问题的思路(二)(i)在多面体中作出要证线面平

12、行中的线所在的平面;(2)利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面 平行；(3)证明所作平面与所证平面平行；(4)转化为线面平行.SE9K1E3 (20i3江苏，i8, i3分)如图，在边长为i的等边三角形ABC中， D,E分别是AB,AC上的点，AD = AE,F是BC的中点，AF与DE交于点G.AABF沿AF折起，得到如图所示的三棱锥 A-BCF,其中BC = y2.(1)证明：DE /平面BCF;(2)证明：CF，平面ABF;2-(3)当AD = 2时，求二棱锥F-DEG的体积. 3AD解：(1)证明：在等边三角形 ABC中,AD AE . 一.AD- = AE，

13、在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,DB EC:;DE?厮. BCF, BC?平面 BCF, DE / 平面 BCF.(2)证明：由图，在等边三角形ABC中，F是BC的中点,.AFXBC,在三棱锥中仍有 AFXCF,-1BF=CF = 2.4,2二.在二棱锥 A-BCF 中，BC = ¥，.BC2=BF2+CF2,.CFXBF.又BFnAF = F,.CF，平面 ABF.(3)由(1)可知GE/CF,结合(2)可得GEL平面DFG.二 Vf-deg= Ve-dfg1 1_=&x - dg fg - eg 3 21111313X2X 3X Q 2 J* 33324.考向4面面平

14、行的判定与性质平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语百图形谛言符号谛言判止止理一个平闻内的两条相交直 线与另一个平间平行，则这 两个平间平行(简记为线面 平行？闻闻平行)a? a 、b? aan b= P> ? a / Ball §b/ B性 质 止 理如果两个平行平闻同时和第三个平向相交，那么它们的交线平行a §a A Y=a>?a/b0C尸b £4注意平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法，注意一定是第三个平面与两平行平面相交，具交线平行.口国E国2如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面 中

15、心，AQ，底面 ABCD, AB = AA1 = V2.(1)证明：平面ABD/平面CD1B1；(2)求三棱柱 ABD-AiBiDi的体积.【解析】证明：由题设知，BBiDDi,一四边形BBiDiD是平行四边形， .BD / BiDi.又BD?平面CDiBi,.BD /平面 CDiBi.,. AiDi 统 BiCi统 BC, 四边形AiBCDi是平行四边形， .AiB/ DiC.又 AiB?平面 CDiBi,.AiB/平面 CDiBi.又BDnAiB=B, 平面 AiBD /平面 CDiBi.(2)AiO,平面 ABCD,AiO是三棱柱 ABD-AiBiDi的高.又. AO = 1aC=1,

16、AAi=V2, . AiO=a/aA2-AO2 = i.一1 一 ,一又SaABD= a V2 X V2= 1 , .VABD-AiBiDi=&abd AiO=1.【点拨】 解题(1)需将面面平行关系转化为线面平行，再转化为线线平行，通过取特殊四边形来完成证明；解题(2)的关键是选易求高的底面，利用线面垂直的判定找高.1判定面面平行的四个方法(1)利用定义：即判断两个平面没有公共点.(2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行.(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行.2.平行问题的转化关系线线平行OSK1E3 (2014十校

17、联考，18, 12分)如图，在三棱柱 ABC-AiBiCi中，D是BC上一点，且A1B/平面ACD, D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1/平面AC1D.证明：如图，连接A1C交AC1于点E,连接ED.二.四边形A1ACC1是平行四边形， .E是A1C的中点. A1B/平面 ACD,平面 A1BCA 平面 AGD = ED, .A1B/ ED. .E是AiC的中点，. D是BC的中点. 又Di是BiCi的中点，. DiCi统BD, 四边形BDCiDi为平行四边形, .BDi / CiD.又 AiBABDi = B, DEADCi = D, 平面 AiBDi/平面 ACiD.考向5线面垂直

18、的判定与性质直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语百图形谛言符号谛言判止止理一条直线与半卸内的两a, b? a、条相交直线都垂直，则该p/aAb=O卜？ U a l±a直线与此平闻垂直l±b '性 质 止 理-ri '=匕 1 / -4- A A '7TTTM垂直于1句一个半闻的两条直线平行L7a± a:? a / b b I nn1U 1 Uv J0国©国1如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以。为中心的菱形，PO,底面ABCD, AB=2, /BAD=£, M 为 BC 上一点，且 BM=J 32(1)证明：BC，平

19、面POM;(2)若MP LAP,求四棱锥P-ABMO的体积.【思路导引】(1)由余弦定理、勾股定理等知识先证 OMLBM,再由线面垂 直的判定定理证明；(2)将底面四边形ABMO分为AABO与AMBO来求面积，根据(1)中结果，利用勾股 定理、余弦定理求出PO,代入棱锥的体积公式求解.【解析】 证明：如图，连接OB,因为四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，所以AOXOB.,一.一九因为 / BAD=一 九故 OB = ABsin/OAB = 2si嗒=1.又因为BM = 1,且/OBM=看， 23在 AOBM 中，OM2=OB2+BM2 2OB BM cos/ OBM= 12 +! 2 X 1

20、 X 2 X CO九 3叼=4.OMn po=o,p所以 OB2 = OM2+BM2,故 OMLBM.雕蛙雌歌POMOP虢九 (2)由(1)可得，OA=AB cos/ OAB = 2 8峪=43.设PO = a,由PO,底面ABCD知，zPOA为直角三角形, 故 PA2=PO2+OA2=a2+3.由APOM也是直角三角形，故 PM2=PO2+OM2 = a2+3.如图，连接 AM.在4ABM 中，AM2 = AB2+BM2 2AB BM cos/ ABM = 22+-2X2X1-X cos2= 21. 234由已知MPXAP,故4APM为直角三角形，则 PA2+PM2 = AM2,即 a2+3

21、+a2 + 3=21,4 4得 a=¥，a=一岑(舍去)，即 PO = q3.止匕时S 四边形 ABMO= SaAOb+ &OMB11-二旌 AO OB + 2 BM OM= 2x*x1 + 1x 2X 共 583.所以四棱锥P-ABMO的体积、，11 5.3. .3 5VP-ABMO = 3 4 S 四边形 ABMO , PO=3X方x二行总悌1.证明直线与平面垂直的一般步骤(1)找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直.(2)证：证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直.用：利用线面垂直的判定定理，得出结论.2.判定线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理

22、.(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”（4）利用面面垂直的性质定理.考向6面面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语百图形谛言符一万语己判一个半闯过另一个半闻J止Al? B1的一条垂线，则这两个平/ /0 /？ a _L 0止l X a面互相垂直理性两个平面互相垂直，则一力a X p1质卜l? B个平向内垂直于交线的厂灶7 ? U a止Ta C 0二a理直线垂直于另一个平闻/0 V/l±aJ圈国E1国2 （2014江苏，16, 14分）如图，在三棱锥P-ABC &

23、#39;中，D, E, F分别为棱PC, AC, AB的中点.已知PAXAC, PA=6, BC = 8, DF = 5./ '求证：（1）直线FA/平面DEF;K段B（2）平面BDEL平面ABC.【思路导引】（1）利用三角形中位线的性质找到线线平行， 再运用直线与平面 平行的判定定理进行求证；（2）要证面面垂直可考虑寻找线面垂直， 要证线面垂直可 考虑寻找线线垂直，利用勾股定理可证线线垂直.【证明】（1）因为D, E分别为棱PC, AC的中点，攵MEEA?A面 DEF, DE?平面 DEF,所以直线PA/平面DEF.(2)因为 D, E, F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点，

24、PA=6, BC = 8,所以 DE/ PA,DE = ；PA=3, EF = 1bC = 4.又因为 DF = 5,故 DF2=DE2+EF2,所以/DEF = 90° ,即 DEXEF.PAC. DE / PA B(AF?平面ABC所以平面BDEL平面ABC.方I法息结1而面垂直证明的两种思路(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.2.垂直问题的转化关系判定判定判定 ,线线垂直大中线面垂直 = 面面垂直 性质性质性质考向7线面角、二面角

25、的求法1.线面角OA? a ,OB?B ,OA J OB±l,则(2)二面角 8的范围：0° < 9 <180° .0国E国3如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD =也，AD = 2, PA=PD = J5 是棱AD, PC的中点.(1)证明：EF/平面PAB.(2)若二面角 P-AD-B 为 60° ,证明：平面PBC，平面ABCD;求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.【思路导引】(1)因为E, F分别是所在棱的中点，可取,E, F分别PB的中点M,证明四边形AMFE是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理证明.

26、(2)连接PE, BE,由题意知/ PEB=60° ,在4PEB中利用余弦定理证出BELPB.又BE，AD,然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明; 平面PBC,则/EFB即为直线EF与平面PBC所成的角.【解析】(1)证明：如图，取PB中点M,AM.因为F为PC中点.1 故 MF / BC且 MF=2BC.由已知有 BC/AD, BC = AD.由知BEX又由于E为AD的中点,因而 MF / AE 且 MF = AE,故四边形AMFE为平行四边形,AB而EF?平面PAB(2)证明：如图，连接PE, BE.因为PA=PD, BA=BD,而E为AD的中点,故 PEXAD, BEXAD

27、,所以/PEB为二面角P-AD-B的平面角.在APAD 中，由 PA=PD = g AD = 2,可解得 PE = 2.在4ABD 中，由 BA=BD =，2, AD = 2,可解得 BE=1.在4PEB 中，PE=2, BE=1, / PEB=60° ,由余弦定理，可解得PB=3,从而/PBE=90° ,即 BEXPB.又 BC / AD, BEXAD,所以/EFB为直线EF与平面PBC所成的角.由PB = 3及已知，得/ABP为直角.而 MB = 1PB = ¥，可得 AM = 41,故 EF =害1.又 BE=1,故在 RtEBF 中，sin/EFB = B

28、E=4J.所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为2 ,；11111 .求空间角的三个步骤(1)找：即找出相关的角；(2)证：即证明找出的角即为所求的角；(3)计算：即通过解三角形的方法求出所求角.2 .空间角的找法(1)线面角找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足.(2)二面角二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：定义法;垂面 法.其中定义法是最常用的方法.巩固练习：1 .如图，在四棱锥 P-ABCD中底面 ABCD是矩形，PA，平面 ABCD, PA=AD=2, AB=1, BMXPD 于点 M.(1)求证：AMXPD;(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值.

29、2 .如图所示，在四棱锥 SABCD中，底面ABCD是菱形，SA，平面ABCD, M,课N分别为SA, CD的中点.堂练证明：直线MN/平面SBC;习(2)证明：平面 SBDXT面SAC.,AB=BC.把ABACO恰好落在线段ACEA，。D(1)求证：平面 OEF/平面APD;(2)求证：CD，平面POF;(3)若AD = 3, CD = 4, AB = 5,求四棱锥 E-CFO的体积1.PA1AB明:. PAL平面 ABCD, AB?平面 ABCD,nPA= A, AD?平面 PAD, PA?平面 PAD面AB,ABABM = B, AB?平面 ABM, BM?平面 ABM , . PDL平. AM?平面 ABM,AMXPD.错 题 回 顾(2)由知,AMXPD,又 PA=AD,则M是PD的中点.在 RtAPAD 中，AM：%在 RtzXCDM 中，MC = JMD2+DC2 = 73, , Sa ACM =2AM八 .6-MC=.设点D到平面ACM的距离为h,由Vd-acm = Vm-acd,/日 1_. K