高考文科一轮第二章函数概念及其初等函数2.3函数的奇偶性与周期性试题

1、03兼练提升，陪实习过果.高寿提分物障A组专项基础训练(时间：35分钟)1. (2017安徽合肥一中期中)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意xi, X2C R,有f(xi+ X2)= f(xi) + f(X2)+ 1,则下列说法一定正确的是 ()A. f(x)1为奇函数B. f(x)1为偶函数C. f(x)+1为奇函数D. f(x)+1为偶函数【解析】:对任意 x1 , x2C R 有 f(x1 + x2)= f(x1)+f(x2)+ 1 , .,.令 x1= x2= 0,得 f(0)=一1 .令 x1 = x, x2=- x,彳导 f(0) = f(x) + f(x)+ 1. .f(x)

2、+1= f( x) 1 = f(x)+1, . .Kx) + 1为奇函数.故选C.【答案】C1 一2. (2016湖南常德一中第五次月考)若f(x)=ex-ae x为奇函数，则f(x1)v e的解集e为()A. ( 8, 2)B. (-oo, 1)C. (2,)D. (1 ,)【解析】因为f(x) = ex ae-x为奇函数，所以f(0) = 1 a=0,即a=1,则f(x)=exex在R上单调递增，且f(1) = e1.则由f(x1)ve； 得f(x1) vf(1),即x1v1,解得ee 11,x<2,所以不等式f(x1)v e-的解集为(8 2).故选A. e【答案】A3. (201

3、7湖南岳阳平江一中期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期、，-3 为 4,且 xC 。时，f(x)=log2(3x+1),则 f(2 017)=()A. 4B. 2C. 2D. log27【解析】二函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为 4, .-.f(2 017)=f(4X504 + 1) = f(1) = - f(-1).331C 2, 0 ,且 xC 2, 0 时，f(x)=log2(-3x+1), .-.f(-1)=log2-3X(- 1) +1 = 2,. f(2 017)=- f(- 1)=- 2.【答案】C4. (2017福建三明一中第一次月考 )函数

4、y=f(x)是R上的奇函数，当xv0时，f(x)=2x,则当 x>0 时，f(x)=()B. 2A. 2xC.D. 2x【解析】x>0 时，一xv 0, xv。时，f(x)=2x,当 x>0 时，f(-x) = 2 x.f(x)是 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)=f(x)=2一x.故选 C.【答案】C5. (2016四川)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0vx1时，f(x) =54x,则 f -2 +f(1) =.【解析】 二函数 f(x)为奇函数，且周期为2, .-.f(2) = f(0) = 0, .-.f(1)=-f(-1) = -f(

5、-11511-+ 2) = -f(1), .-.f(1)=0, .f -2 =f -2 =-f 2 =-42=-2,5. f £ +f(1) = - 2.【答案】26. (2017山东东营广饶一中诊断)若f(x)=2x+2x.ig a是奇函数，则实数a=.【解析】 二,函数 f(x)=2*+ 2 xlg a 是奇函数，f(x)+f(-x)=0, .-.2x+2 xlg a+2-x +12xlg a=0,即 2x+2 x+lg a(2x+ 2 x)= 0, ，lg a=- 1, 总=行.【答案】47. (2017长春质检)已知定义在 R上的偶函数f(x)在0, +8 )上单调递增，且f

6、(1)=0, 则不等式f(x 2)> 0的解集是.【解析】由已知可得x 2>1或x 2W 1,解得x>3或xW1, .所求解集是(8, 1U3, +8).【答案】( 8, 1U3, +8 )8. (2017南通二模)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x) + f( x)=0;f(x)135= f(x+2);当 0WxW1 时，f(x) = 2x-1,则 f 2 +f(1)+f 2 +f(2) + f 2 =.【解析】依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为 2,13511111，f 2+f(1)+ f 2+f(2)+f 2=f 2+f(1)+ f -+f(o)+

7、f 万=f-+f(1)f 万+f(o)11-+ f 2 =f 2 +f(1) + f(0) = 221+211 + 2°1=72.【答案】.2-x2 + 2x, x> °,9.已知函数f(x)= °, x=°,是奇函数.x2+ mx, x< °求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1, a2上单调递增，求实数 a的取值范围.【解析】(1)设x< °,则x>°,所以 f( x) = (x)2+ 2( x)= x2 2x.又f(x)为奇函数，所以 f(-x)=- f(x).于是 xv° 时，f

8、(x) =x2+ 2x= x2+ mx,所以m=2.(2)要使f(x)在-1, a2上单调递增，a 2 1,结合f(x)的图象知a-2<1,所以1vaw3,故实数a的取值范围是(1, 3.1°.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有f(x+ 2)=- f(x),当xC °,2时,f(x)=2x- x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当xC2, 4时，求f(x)的解析式；(3)计算 f(°) + f(1)+f(2)+ - + f(2 °17).【解析】证明. f(x+ 2)=f(x),. f(x+4) = -f(x+ 2) =

9、f(x).f(x)是周期为4的周期函数.(2)xC2, 4, xC 4, 2,4 xC 0, 2,f(4-x) = 2(4-x)- (4 x)2= x2+6x 8,又 f(4-x)=f(-x) = - f(x),一f(x) = _ x? + 6x_ 8,即 f(x)=x2-6x+8, xC 2, 4,(3) . f(0) = 0, f(1)=1, f(2) = 0, f(3) = 1.又f(x)是周期为4的周期函数，. f(0) + f(1)+ f(2) + f(3) = f(4) + f(5) + f(6) + f(7)= =f(2 012) + f(2 013) + f(2 014) +

10、f(2 015) = 0. f(0) + f(1)+ f(2) + + f(2 017) = f(2 016)+ f(2 017)= f(0) +f(1) = 1.B组专项能力提升(时间：20分钟)11. (2016山东)已知函数f(x)的定义域为 R.当xv 0时，f(x)=x31；当一1WxW 1时，1 1.1 一f(x)=f(x);当 x>2时，f x+ 2=fx 2 .则 f(6) = ()A. 2B. - 1C. 0D. 21 .11.1 【解析】当 x>2时，f x+ 2 =f x-2 ,，f(x) = f(x+1), .当 x>2时，函数 f(x)以 T =1

11、为周期.故 f(6)=f(1).当一1WxW1 时，f(-x)=-f(x), .1.f(1) = -f(-1).又当 xv 0 时,f(x)=x3-1, .-.f(-1)= 2,.4:？.故选D.【答案】Dx2+ (4a3) x+3a, xv 0,12. (2016天津)已知函数f(x)=(a>0,且aw1)在R上单lOga (x+ 1 ) + 1 , x> 0调递减，且关于x的方程|f(x)| = 2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 .30V a< 1【解析】 由题意得1<3a<2L 2,解得 3wav3.4a3->013. (2017郑州模拟)

12、已知f(x)是R上最小正周期为 2的周期函数，且当0Wx<2时，f(x) = x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间0, 6上与x轴的交点个数为 .【解析】因为当0Wxv2时，f(x) = x3 x,又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且 f(0)=0,所以 f(6) = f(4)=f(2)=f(0) = 0.又 f(1)=0,所以 f(3)=f(5)=0.故函数 y = f(x)的图 象在区间0, 6上与x轴的交点个数为7.【答案】714. (2017湛江月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x),且在1, 0上是增 函数，给出下列关于f(x)的结论：f(x)是

13、周期函数；f(x)的图象关于直线x=1对称；f(x) 在0, 1上是增函数；f(x)在1 , 2上是减函数；f(2)=f(0).其中正确结论的序号是【解析】对于，f(x + 2) = f(x+ 1)=f(x) = f(x),故2是函数f(x)的一个周期，故正确；对于 ，由于函数f(x)是偶函数，且函数 f(x)是以2为周期的函数，则f(2-x) = f(x 2)=f(x),即f(2 x)=f(x),故函数f(x)的图象关于直线 x=1对称，故 正确；对于 ， 由于函数f(x)是偶函数且在1,0上是增函数，根据偶函数图象的性质可知， 函数f(x)在0, 1上是减函数，故 错误；对于 ，由于函数f

14、(x)是以2为周期的函数且在1, 0上为增 函数，由周期函数的性质知，函数 f(x)在1, 2上是增函数，故错误；对于，由于函数 f(x)是以2为周期的函数，所以f(2) = f(0),故正确.综上所述，正确结论的序号是.【答案】15. 函数f(x)的定义域为 D = x|xw0,且满足对于任意x1, x2 C D ,有f(x1 x2) =f(x1)+侏).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；8 )上是增函数，求x的取值范围.(3)如果 f(4)=1, f(x 1)<2,且 f(x)在(0, 十【解析】(1)二.对于任意x，x2CD,有 f(xi X2)= f(xi) + f(X2),. 令 X1 = X2=1,得 f(1) = 2f(1), ，f(1) = 0.(2)f(x)为偶函数.证明 令 X1 = X2= - 1 ,有 f(1)=f( 1)+f(1),