1平行线的概念

1、1.平行线的概念在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。注息：(1)在平行线的定义中，“在同一平面内”是个重要前提；(2)必须是两条直线；(3)同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合的直线视为同一条直线。两条直线的位置关系是以这两条直线是否在同一平面内以及它们的公共点个数m进行分类的。名称公共点个数m在同一个平囿内重合直线m 2相交直线m 1平行直线m 0小在同一个平囿内异向直线m 02.平行线的表示方法C D图7平行用“/”表示，如图7所示，直线AB与直线CD平行，记彳AB/CD,读作AB平 行于CD。3 .平行线的画法4 .平行线的基本性质(1)平行公理：经过直线外一点

2、，有且只有一条直线与已知直线平行。(2)平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。5 .平行线的判定方法：(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。(4)两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。(5)在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。6 .平行线的性质：(1)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线平行，同位角相等。(2)两条平行线被第三条直线所截，内

3、错角相等。简记：两直线平行，内错角相等。(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线平行，同旁内角互 补。范例1如图，已知/ AMF= /BNG=75° , / CMA=55 ° ,求/ MPN的大小答案：50°解析：因为/ AMF= /BNG=75° ,又因为/ BNG= / MNP ,所以/ AMF= / MNP,所 以 EF / GH,所以/ MPN=/CME ,又因为/ AMF=75 ° , / CMA=55 ° ,所以/ AMF+ / CMA=130 ° ,即/ CMF=130 ° ,所以

4、/ CME=180 ° 130° =50 ° ,所以/ MPN=50 °范例2如图，/ 1与/ 3为余角，/ 2与/ 3的余角互补，/ 4=115° , CP平分/ ACM ,求 ZPCMP M答案：57.5°解析：因为/ 1 + /3=90° , / 2+ (90° -Z 3) =180° ,所以/ 2+/1=180° ,所以 AB1/DE,所以/ BCN=/4=115° ,所以 / ACM=115 ° ,又因为 CP 平分/ ACM ,所以/ PCM= 21ZACM= 2

5、 X115° =57.5° ,所以/ PCM=57.5 °范例3如图，已知：/ 1 + 72=180° , / 3=78° ,求/ 4的大小答案：102°解析：因为/ 2=/CDB,又因为/ 1+72=180° ,所以/ 1 + /CDB=180° ,所以得到AB/CD,所以/ 3+Z 4=180° ,又因为/ 3=78° ,所以/ 4=102°范例4如图，已知：/ BAP与/ APD 互补，/ 1 = 72,说明：/ E=Z F解析：因为/ BAP与/APD互补，所以 AB/CD,所

6、以/ BAP= Z CPA,又因为/ 1 = 72, 所以/ BAP-Z 1=ZCPA-Z 2,即/ EAP= / FPA,所以 EA / PF,所以/ E=Z P范例5如图，已知 AB / CD, P为HD上任意一点，过 P点的直线交HF于O点，试问: / HOP、/ AGF、/ HPO有怎样的关系？用式子表示并证明答案：/ HOP= / AGF -Z HPO解析：过O作CD的平行线 MN ,因为AB / CD,且CD / MN ,所以AB / MN ,所以 /AGF= / MOF= / HON ,因为 CD/ MN , / HPO= / PON ,所以/ HOP= / HON / PON=

7、 / HON / HPO ,所以/ HOP= / AGF / HPO范例6如图，已知 AB /CD,说明：/ B+Z BED +Z D=360分析：因为已知AB /CD,所以在/ BED的内部过点 E作AB的平行线，将/ B+Z BED+Z D的和转化成对平行线的同旁内角来求。解：过点E作EF / AB ,则/B+/BEF=180° （两直线平行，同旁内角互补） AB II CD （已知）EF/AB （作图）EF/ CD （平行于同一条直线的两直线平行）D+Z DEF=180 ° （两直线平行，同旁内角互补）. B+Z BEF + Z D + Z DEF=360 °

8、;/ B+Z BED + Z D=/B+/ BEF + Z D+Z DEF. B+Z BED + Z D=360°范例7.小张从家（图中 A处）出发，向南偏东 40°方向走到学校（图中 B处），再从学 校出发，向北偏西 75°的方向走到小明家（图中 C处），试问/ ABC为多少度？说明你的 理由。解：AE / BD （已知）/ BAE= / DBA （两直线平行，内错角相等）./BAE=40° （已知）/ ABD=40 ° （等量代换） / CBD= / ABC + / ABD （已知）/ ABC= / CBD / ABD （等式性质）/ABD

9、=40° （已知），/ABC=75° -40° =35°范例 8如图，/ ADC=/ABC,/1+/ 2=180° , AD 为/ FDB 的平分线，说明： BC为/ DBE的平分线。分析：从图形上看，AE应与CF平行，AD应与BC平行，不妨假设它们都平行，这时 欲证BC为/ DBE的平分线，只须证/ 3=7 4,而/ 3=/C=/6 , /4=/5,由AD为/ FDB 的平分线知/ 5=/6,这样问题就转化为证 AE/CF,且AD / BC 了，由已知条件/ 1 + Z 2=180°不难证明 AE / CF,利用它的平行及/ ADC

10、= / ABC的条件，不难推证 AD /BC。证明：. / 1 + Z 2=180° （已知）Z2+Z 7=180° （补角定义）.Z 1 = /7 （同角的补角相等）.AE/CF （同位角相等，两直线平行）丁./ ABC + / C=180° （两直线平行，同旁内角互补）又/ADC=/ABC （已知），CF/AB （已证） / ADC + / C=180 ° （等量代换） .AD / BC （同旁内角互补，两直线平行），/6=/C,/4=/5 （两直线平行，同位角相等，内错角相等）又/3=/C （两直线平行，内错角相等）3=7 6 （等量代换）又AD为

11、/ BDF的平分线/ 5=7 63=7 4 （等量代换）BC为/ DBE的平分线范例9如图，DE, BE分别为/ BDC,/DBA 的平分线，/ DEB= Z1 + Z 2（1）说明：AB / CD（2）说明：/ DEB=90 °分析：（1）欲证平行，就找角相等与互补，但就本题，直接证/CDB与/ABD互补比较困难，而/ 1 + /2=/DEB,若以E为顶点，DE为一边，在/ DEB内部作/ DEF=/2, 再由DE, EB分别为/ CDB, /DBA的平分线，就不难证明 AB / CD 了，（2）由（1）证 得AB / CD后，由同旁内角互补，易证/ 1 + Z 2=90° ,进而证得/ DEB=90 °证明：（1）以E为顶点，ED为一边用量角器和直尺在/DEB的内部作/ DEF=/2 DE为/ BDC的平分线（已知），/2=/EDC （角平分线定义）/ FED= / EDC （等量代换） .EF/DC （内错角相等，两直线平行）DEB= Z 1 + Z 2 （已知） / FEB= / 1 （等量代换），/ EBA= / EBF= / 1 （角平分线定义），/FEB=/EBA