第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

1、第 3 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.（2015湖北卷）11, 12表示空间中的两条直线，若 p： li, 12是异面直线；q： li,l 2 不相交，则 （）A. p 是 q 的充分条件，但不是q 的必要条件B.p 是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p 既不是 q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析 直线11, 12是异面直线，一定有11与12不相交，因此p是q的充分条件；若 11与 12不相交，那么11与 12可能平行，也可能是异面直线，所以 p 不是 q的必要条件.故选A.答案 A2 .（2017关B州联考）已知直线a和平面 % &

2、 an 0= 1, a?a , a?B ,且a在&B内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是（）A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面解析依题意，直线b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.答案D3 .给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定 1个或3个平面.其中正确的序号是（）A.B.C.D.解析 显然命题 正确 .由于三棱柱的三条平行棱不共面， 错 .命题 中，两个平面重合或相交， 错 .三条直线两两相交，可确定1 个或 3 个平面，则命题 正确.答案 B4 .（2017济南IK

3、拟）a, b, c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（）A.若直线a, b异面，b, c异面，则a, c异面B.若直线a, b相交，b, c相交，则a, c相交C.若a/b,则a, b与c所成的角相等D.若 a，b, bc,贝 a / c解析 若直线a, b异面，b, c异面，则a, c相交、平行或异面；若a, b相交，b, c相交，则a, c相交、平行或异面；若 a1b, bc,则a, c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知 C正确.故选C.答案 CCCi的中点，那么异面5 .已知正方体 ABCD AiBiCiDi中，E, F分别为BBi, 直线AE与DiF所成角的余弦值

4、为（）4- 53一 582一 3C.5一 7解析连接DF ,则AE/ DF , / DiFD为异面直线AE与DiF所成的角.设正方体棱长为a,则 DiD = a,DF_5一 2 a,DiF一 2 a，35.cos/ DiFD =答案 B二、填空题6 .如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，M, N分别为棱CiDi,CiC的中点，有以下四个结论：直线AM与CCi是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MBi是异面直线；直线MN与AC所成的角为60.其中正确的结论为（*序号）.解析 A, M, Ci三点共面，且在平面ADiCiB中，但C?平面ADiCiB, Ci?AM , 因此直线

5、AM与CCi是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，错；M , B, Bi三点共面，且在平面 MBBi中，但N?平面MBBi, B?MBi,因此直线 BN 与MBi是异面直线，正确；连接DiC,因为D1C/MN,所以直线MN与AC 所成的角就是DiC与AC所成的角，且角为60.答案7 .如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且AB/CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .解析 取CD的中点H,连接EH, FH.在正四面体CDEF中，由于CDXEH,CDXHF,且EHAFH = H,所以CD,平面EFH,所以ABL平面EFH ,则平面EFH与正方体的左右两侧面平

6、行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交答案48 .（20i4全国II卷改编）直三棱柱 ABCAiBiCi中，/ BCA=90, M, N分别是AiBi, AiCi的中点，BC=CA=CCi,则BM与AN所成角的余弦值为 解析 如图所示，取BC中点D,连接MN, ND, AD. M, N分别是AiBi, AiCi的中点,一1 一 一 i MN 统2BiCi.又 BD 统2BiCi,MN MBD,则四边形BDNM为平行四边形，因此 ND/BM, / AND为异面直线BM与AN所成的角（或其补角）.设 BC = 2,贝1JBM = ND = V6, AN = V5, AD = V5,在4ADN中，

7、由余弦定理得cos/ AND =ND2+AN2 AD2 咽2ND AN = 10 .故异面直线BM与AN所成角的余弦值为噜.答案3010三、解答题9.如图所示，正方体ABCD AiBiCiDi中，M,N分别是AiBi,BiCi的中点.问:(i)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)DiB和CCi是否是异面直线？说明理由.解(i)AM, CN不是异面直线.理由：连接 MN, AiCi,AC.因为M, N分别是AiBi, BiCi的中点，所以MN/AiCi.又因为AiA统CiC,所以四边形AiACCi为平行四边形,所以AiCi/AC,所以MN /AC,所以A, M, N, C在同一平面内，故A

8、M和CN不是异面直线.(2)直线DiB和CCi是异面直线.理由：因为ABCD AiBiCiDi是正方体，所以B, C, Ci, Di不共面.假设DiB与CCi不是异面直线，则存在平面 %使DiB?平面a, CCi?平面%所以Di, B, C, Ci &这与B, C, Ci, Di不共面矛盾.所以假设不成立，即DiB和CCi是异面直线.10.（2017成者B月考）如图所示，在三棱锥P ABC中，PAX底面ABC, D是PC的中点.已知/ bac=2，AB = 2, AC = 2小,PA=2.求:(1)三棱锥P-ABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成角的余弦值.-1-解(1)SaABC=2X

9、2X 2飙28三棱锥P ABC的体积为V= 3Saabc PA=；X 2J3x 2= 33.（2）如图，取PB的中点E,连接DE, AE,则ED/BC, 以/ ADE是异面直线BC与AD所成的角（或其补角）.在4ADE 中，DE=2, AE=2, AD = 2,cos/ ADE22 + 22 2 32X2X2 =4. .3故异面直线BC与AD所成角的余弦值为3.11以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A, B, C, D共面，点A, B, C, E共面，则点A, B, C, D, E共面;若直线a, b共面，直线a, c共面，则直线b, c共面；正确命题的个数是（）A.0B

10、.1C.2D.3依次首尾相接的四条线段必共面解析假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确.从条件看出两平面有三个公共点A, B, C,但是若A, B, C共线，则结论不正确；不正确;不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.答案 B12 .若空间中四条两两不同的直线11, 12, 13, 14,满足11112, 12113, 13114,则下列结论一定正确的是（）A.11114B.11 / 14C.11与14既不垂直也不平行D.11与14的位置关系不确定解析 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D

11、1中，记11 = DD1, 12 = DC, 13 = DA. 14 = AA1 ,满足 11-2, 1213, 1314,此时 11 / 14,可以排除选项A和C.若取C1D为14,则11与14相交；若取BA为14,则11与14异面；取C1D1为14,则11与14相交且垂直.因此11与14的位置关系不能确定答案 D13 .如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互 相垂直，且 AC=BC=2, /ACB=90, F, G分别是线段 AE,BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为 . 解析 取DE的中点H,连接HF, GH.由题设，HF所%D. / GFH为异面直线AD与GF所成的角（或其补角）.在4GHF中，可求HF=M2,gf=gh=V6,cos/ HFG =2+66亚2X 啦x= 614.如图，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA，底面ABCD, OA=2, M为OA的中点.求四棱锥O ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.解(1)由已知可求得正方形 ABCD的面积S= 4,所以四棱锥O ABCD的体积