数学建模 模型辅导

1、 微分方程模型车间空气清洁问题、单种群增长问题与多物种相互作用问题等数学模型的建立过程与所使用的方法1进一步理解建模基本方法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的用法。2理解种群的相互关系模型的建立原理与结论。3会建立较为简单的相关实际问题的数学模型。所谓平衡原理是一、车间空气清洁问题某生产车间内有一台机器不断排出CO2，为了清洁车间里的空气，用一台鼓风机通入新鲜空气来降低车间空气中的CO2含量，那么，上述做法的清洁效果如何呢？这一问题是利用平衡原理来建模，即建立其微分方程模型请注意，平衡原理在建立微分方程模型时常表现为区间上的微元形式：某个量在该区间上的增加量等于该区间段内进入量与迁

2、出量的差1问题分析与假设 上述清洁空气的原理是通过鼓风机通入新鲜的空气，其CO2含量尽管也有但较低新鲜空气与车间内空气混合后再由鼓风机排出室外，从而降低CO2含量为讨论问题方便，假设通入的新鲜空气能与原空气迅速均匀混合，并以相同风量排出车间.此问题中的主要变量及参数设为：车间体积：V（单位：立方米），时间：t（单位：分钟），机器产生CO2速度：r（单位：立方米/分钟），鼓风机风量：K（单位：立方米/分钟）新鲜空气中CO2含量：m%，开始时刻车间空气中CO2含量：x%，t时刻车间空气中CO2含量：x(t)%，2模型建立 考虑时间区间t, t+t，并利用质量守恒定律：t, t+t内车间空气中CO2

3、含量的“增加”等于t, t+t时间内，通入的新鲜空气中CO2的量加上机器产生的CO2的量减去鼓风机排出的CO2的量，即CO2增加量=新鲜空气中含有CO2+机器产生的CO2排出的CO2数学上表示出来就是Vx(t+t)% - x(t)%=Km%t +rt Kx(s)%ds 其中t0. 于是令，取极限便得其中3模型求解与分析 此问题是一阶线性常微分方程的初值问题. 解之得这就是t时刻车间空气中含CO2的百分比.显然，否则CO2含量只能增加. 令则有这说明了，车间空气中CO2的含量最多只能降到.由此可见，鼓风机风量越大（K越大），新鲜空气中CO2含量越低（m越小），净化效果越好.4模型的优缺点分析及改

4、进方向：优点：模型简洁，易于分析和理解，并体现了建立微分方程模型的基本思想，而且所得到的结果与常识基本一致.缺点：建立数学模型时所作出的假设过于简单.改进方向：（1） 考虑新鲜空气和车间内的空气的混合扩散过程重新建模；（2）若要使得车间空气中的CO2含量达到一定的指标，确定最优的实施方案. （3.2） 二、单种群增长问题类似于人口增长模型，对单种群增长模型我们讨论以下几种情形情形1 马尔萨斯模型1模型假设（1）初始种群规模已知（设为N0），种群数量非常大，世代互相重叠，因此种群的数量可以看作是连续变化的；（2）种群在空间分布均匀，没有迁入和迁出（或迁入和迁出平衡）；（3）种群的出生率和死亡率为

5、常数，即不区分种群个体的大小、年龄、性别等.（4）环境资源是无限的.确定变量和参数 自变量，时刻的种群密度， 出生率，死亡率.2模型的建立与求解由上述假设，单种群增长模型与马尔萨斯人口模型极为类似，于是使用完全相同的建模过程易得 （3.3）满足初始条件的解为于是有在种群生长的初期，种群规模较小，有足够的生存空间、足够的食物，彼此间没有利益冲突.但随着种群规模的逐渐扩大，对有限的空间、食物和其他生存必须条件的种内竞争越来越激烈，这必然影响种群的出生率和死亡率，从而降低实际增长率，因而在上述模型中假设出生率、死亡率为常数，资源无限不尽合理.情形2 罗捷斯蒂克模型1模型假设（1）与情形1相同，但有一

6、个理想条件下的最大种群值K，种群密度达到K时，不再增长；（2）与情形2相同（3）不区分种群个体的大小、年龄、性别等；（4）环境资源是有限的，且对每个个体的分配是均等的.2模型建立与求解完全类似于人口模型的分析知道，种群的增长模型为 （3.4）其中r是种群的固有（N=0时）增长率，K是环境的最大容纳量.(需要正确理解上式，并作推广)方程（3.4）既是变量可分离方程，又是贝努利型方程.容易求得其解为 （3.5）3模型分析这里的分析与人口的罗捷斯蒂克模型又是完全类似的，模型解的再分析与检验对上式求二阶导数可得： （1.19)由此我们来分析种群总数的规律（如下图）： (a) ,即无论种群初值如何，种群

7、总数均以为极限，并且是图形的水平渐近线.(b) 当时，,这说明是单调增加的；又由(1.19)式知，当时，,当时，,即是x(t)图形的拐点.这就是说，种群变化率函数在处取到最大值.根据以上分析而画出的两条曲线如上图.可见，种群总数尽管一直是增长的，但有极限值限制而不会无限增长下去，到了自然资源与环境条件等因素所能容纳的最大种群数时便会停止增长，这是合乎人类发展常识的.另外，种群总数达到极限值一半以前是加速增长时期，此后的增长率会逐渐变小，最终达到零增长. 最后，的确定要根据人口统计资料以及自然环境等因素确定，因而当条件改变时，也将随着改变.由于罗捷斯蒂克方程形式简单，且有非常深刻的实际背景，它是

8、构建更为复杂生物数学模型的基础.虽然罗捷斯蒂克模型与自然界和实验室种群的增长吻合的非常好，但人们经过长期研究发现，罗捷斯蒂克模型也存在许多不合理之处：（1）自然环境因素充分恒定，不影响生殖率和死亡率；（2）拥挤对所有种群成员的影响相同，如果个体成群出现，并不是在整个可利用的空间中均匀分布，这个假设不大可能成立；（3）种群密度的变化不延误地立即影响生殖率和死亡率；（4）种群增长率是与密度相关的，甚至在很低密度下也是如此，如果假设有一个开端密度，在这个密度之下，种群个体之间互不干扰，可能更合理一些；（5）种群具有并保持一个稳定的年龄分布；（6）在有性繁殖的生物种群中，雌性总是能够找到配偶，甚至在低

9、密度情况下也是如此；（7）种群的相对增长率是种群密度的线性函数.针对方程的上述缺陷，人们提出了各种各样的改进的单种群增长模型，这里不再讨论.情形3 单种群生物资源的开发与保护设有一可更新资源，它是由某单一生物种群组成，例如：鱼塘中的鲫鱼，其增长规律符合罗捷斯蒂克方程 （3.6）现在对该生物种群进行开发，捕获的效果是增大种群的死亡率，设捕获率为则被开发的生物种群的增长满足方程 （3.7）设开发行为只考虑产量，不考虑经济效益.生物资源开发的目标是获得最大可持续产量.方案一：固定限额捕获策略（即）令 可解得方程（3.7）有两个平衡解：图32（是导数与变量的关系图）当时，x1,x2同时存在且（图32（

10、a）而 (凹凸性)，所以x1是不稳定的，x2是稳定的.若初始种群规模则种群灭绝；若初始种群规模尽管不断进行捕获，但从长期来看，种群数量将稳定为x2.当时，初始种群规模若初始种群规模是半稳定的.当均不存在，此时种群将灭绝，资源遭到破坏.(将进行配方得 ，再进行分析即知）由上面分析可见，如果种群持续，必须有从理论上讲，是最大的收获率，它是资源管理部门所渴望达到的管理目标，但若使是半稳定的，而在自然界中，种群资源经受着各种各样的干扰，如果外界干扰不利于种群增长，且在某一时刻生物种群的数量小于，则种群就会灭绝.因此理论上可获得最大的捕获，但在实际中很难达到，可见固定限额捕获策略的实际操作性不好，必须寻

11、求其他的开发策略.方案二：固定捕获努力量捕获策略捕获努力量即是单位时间内用于捕获所付出的努力，在渔业中经常用日出动捕鱼的渔船数或渔网数来度量.在单位捕获努力量的捕获量假设下，单位时间内的捕获量为即捕获与捕获努力量与种群密度的乘积成正比，其中E是捕获努力量，q是捕获能力系数，与设备的先进程度、从业人员的技术水平有关，不失一般性，在下面的讨论中，我们假设q=1.在上述假设下，被开发的生物种群的增长满足方程 （3.8）注意到当故种群将灭绝，不可能持续.生物资源可持续开发的一个基本前提是生物种群可持续发展，因此我们研究生物资源最优开发问题时，假设E<r.令得到方程（3.8）的平衡点为容易计算得，

12、所以x0不稳定，x1稳定，即当E<r时，以捕获努力量E开发捕获时，种群密度最终维持在x1水平，此时捕获开发是可持续的.在捕获努力量E之下，单位时间内可持续的捕获是资源管理的目标是制定一种开发捕获策略，使生物资源持续的前提下为人类提供最大的利益.即求解这是一个函数极值问题.令解得最优捕获努力量为 （3.9）此时最优种群水平及单位时间的最大可持续捕获量分别为 （3.10）综上所述，将捕获努力量控制在E*，或者说使渔场鱼量保持在环境容纳量的一半时，可以获得最大的可持续产量，这就是渔业中所采用的“捕获策略”. 四、多物种相互作用问题在客观世界中单一的生物种群是不存在的，不同生物种群之间是相互作用

13、的，存在着各种各样的关系，例如：竞争关系、捕食关系、互惠关系、寄生关系等等. 下面主要介绍两个生物种群之间的竞争关系和捕食关系情形1 竞争关系1模型假设与建立设N1（t）和N2(t)分别为t时刻种群1和2的密度（或数量），K1，K2，r1，r2分别为两种群的环境的最大容纳量和固有增长率.假设两个种群单独生长时均满足罗捷斯蒂克方程 如前所述，1-N/K可理解为尚未利用的“剩余资源项”，而N/K为已利用资源项.当考虑两个种群竞争或共同利用资源时，对种群1，除N1外还要加入N2，其中为竞争系数，它表示每个N2个体所占的空间相当于个N1个体，举例说，N2个体大，一个N2个体所消耗的食物相当于10个N1

14、个体，则=10.由此可见,竞争系数可以表示每个N2个体对于N1所产生的竞争抑制效应.若=1，则表示每个N2个体对N1种群所产生的竞争抑制效应与每个N1个体对自身种群所产生的相等; >1表示种群2的竞争抑制效应比种群1（对N1种群）的大;<1表示种群2的竞争抑制效应比种群1(对N1种群)的小.同样，对于种群2，有为种群1对种群2的竞争系数.这样，我们就得到了著名的竞争系统（LotkaVolterra） 从理论上讲,两个种群竞争的结局可能有三种:(1)种群1取胜,种群2被排挤掉;(2)种群1被排挤掉,种群2取胜;(3)两个种群在竞争中获得共存的局面.具体结果的计算与分析从略情形2 捕食

15、关系一般来说,如果一种生物攻击、损伤或者杀死另一种动物,并以其为食,称为捕食,前者称为捕食者,后者称为食饵.捕食者食饵关系是种间相互作用的一个基本关系,.本节我们主要介绍捕食者食饵关系研究中的最初的、最简单的模型,即经典的（LotkaVolterra）系统.食用鱼和软骨鱼的区别在于,软骨鱼是捕食者,而食用鱼是其食饵，软骨鱼依赖食用鱼而生存.在研究这个问题的过程中, 沃尔特拉首先把所有的鱼类分为捕食者种群y(t)和被捕食者种群x(t)在没有软骨鱼的情况下,食用鱼将遵从马尔萨斯增长规律(其中是某个正常数)而无界增长.其次,他认为,单位时间内,捕食者与被捕食者和被捕食者之间相互作用的总数为bxy，其

16、中b为正常数，亦即假设捕食作用使得被捕食者的增长率的减少与捕食者和被捕食者的种群数量的乘积成正比,因而被捕食者的增长方程为.类似的，捕食者的自然减少率与当前种群的数量成正比，即当被捕食者不存在时,捕食者种群指数衰减,即,同样的分析知，捕食作用而导致的捕食者的增长率为.从而在没有捕鱼的情况下,描述食用鱼和软骨鱼相互作用关系的数学模型为 (3.11)这就是所谓的捕食者食饵系统.系统(3.11)的在正的第一象限内的轨线是一阶常微分方程 (3.12)的解曲线,方程(3.12)是变量可分离方程,变形为两边积分得即 (3.13)其中为常数;Hmin是H的最小值且在x=d/c,y=/b时取到.因此,系统(3

17、.11)的轨线即是(3.13)所定义的曲线族.可以证明对于任何H>Hmin，(3.13)所定义的轨线是闭的.注意到前述的数据其实是捕食者每年的年平均数.这样,为了把这些数据和(3.11)所预测的结果进行比较,我们必须算出(3.13)的解x(t)和y(t)的平均值.值得注意的是,尽管我们不能精确地计算出x(t),y(t),却可以求得它们的平均值.我们有以下结果(证明从略):设x(t),y(t)是系统(3.23)一个周期解,周期为.定义x(t)和y(t)平均值为那么,.即x(t)和y(t)的平均值就是平衡值.现在，在我们的模型中，可以考虑捕鱼的影响了.注意到，捕鱼使得食用鱼的总数按的速度减少

18、，软骨鱼总数按速度减少.常数反映着捕鱼的强度：即海上捕鱼的船只的数目和水中渔网的数目.这样，真实的情况就可用修正的常微分方程组（3.14）来描述了.对于，用代替，用d代替，这个方程组就恰好与系统（3.11）相同了.所以，x(t)和y(t)的现在的平均值为 (3.15)因此，适度的增加捕获强度，实际上使得食用鱼的数量（按平均数来计算）在增加，而软骨鱼的数量（按平均数来计算）在减少.相反，如果降低捕鱼水平，那么，按平均数来计算，软骨鱼的数量在增加，而食用鱼的数量在减少，也就是说，捕获水平的降低，将有利于捕食者（软骨鱼）种群的繁殖增长.沃尔特拉所发现的这个不平凡的规律称为Volterra原理，它解释了前述的数据，并完全回答了前面所提出的问题.不仅如此，Volterra原理对某些实际问题还有着重要的指导意义.例如：Volterra原理在杀虫剂的研究中已有惊人的应用.我们知道害虫通常都有它的天敌，把天敌看