数学 八年级下 北师大版 第二章 分解因式 章末复习 知识讲解(精品学案)

1、第二章 分解因式 章末复习知识讲解一、分解因式的概念（一）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。（和差化积）易错点注意：1、被分解的代数式（等式的左边）是多项式；2、分解后的因式（等式的右边）是整式；3、结果是积的形式；4、结果的因式必须分解彻底。（二）例：1、计算下列各式：(1) = _ _ _. (2) = _ _ _.(3) = _ _ _. (4) = _ _ _.根据上述算式填空：(5) =( )( ) (6) =( )( )(7) =( )( ) (8) =( )( )小结：(1)(4) 是初一所学的整式的乘法运算，而(5)(8)的过程就叫分解

2、因式，故分解因式与整式的乘法运算互为逆运算关系。2、下列由左到右的变形，哪一个是分解因式（）A、 B、C、 D、分析：等式的左边必须是一个多项式（是用加减号连接的式子）；右边的结果应当是几个整式的、积的形式 即不能出现分式（分母含字母的式子）和加减号 ，而且结果的每个因式都不能再被分解为止。A、是积化和差，右边是减式；B、右边是和式；D、右边含有分式，故选C 。3、下列由左到右的变形，属分解因式的是（）A、 B、C、 D、分析：A、左边是单项式，不是多项式；B、分解不彻底，右边结果的分式还能再被分解为，正确的结果是，C、结果应当是，故选D 。4、已知关于x的二次三项式分解因式的结果为,求m，n

3、的值。解：5、甲、乙两个同学分解因式，甲看错了n，分解结果为；乙看错了n，分解结果为；请你分析一下m、n的值，并写出正确的分解过程。解： ；又 ；故正确的分解过程为：6、k为何值时，多项式有一个因式是？解：设另一个因式为则：故有：，即，故：7、已知，求的值。解： ， （由已知等式的两边同时乘以x得到）故：8、已知，求的值。解：， 9、求证能被24整除。解：因为 ；所以，能被24整除。10、试说明，一个三位数的百位数字与个位数字交换位置后，则新数字与原数之差能被99整除。解：这原三位为：，依题意，得：故原命题成立。（三）练习1、下列由左到右的变形,属分解因式的是( )A、 B、C、 D、2、若多

4、项式可以分解为，则的值为 二、提公因式法分解因式（一）公因式：系数取最大公约数；相同字母取最低次幂。（二）提取公因式的方法：每项都从左到右寻找，先考虑系数（取最大公约数，第一项若是负数则需提取负号，提取负号后各项要变号）、再到字母（把每项都有的相同字母提取出来，以最低次幂为准）。例：分解因式 （三）练习：分解因式 （四）作业：分解因式 (五)、习题1、a47，b32，c21，求的值。2、已知ab13，ab40，求的值。3、已知，求代数式的值。4、不解方程组，求的值。5、利用因式分解说明能被7整除。6、已知可分解因式为，求m的值。7、计算的结果为（）A、 B、 C、 D、 8、分解因式。三、运用

5、公式分解因式（一）（1）平方差公式：特点：左边：有二项；符号相反；两项均为完全平方项。右边：左边平方项底数的和与差的积。例、（2）完全平方公式：特点：左边：有三项；有两项分别是两个数的完全平方，且符号相同；有一项是平方项底数的积的2倍。右边：是左边平方项底数的和或差的平方。例、 (二)其他方法，参考附页提高篇部分。(三)练习： (四)作业：分解因式 (五)习题1、已知ABC的三边a、b、c满足，那么ABC是 三角形。2、求方程的整数解。3、已知，且均为正整数，求代数式的值。4、已知ab7，ab2，求的值。5、已知，求，的值。6、请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行分解因式。，1

6、，9b2ab7、右图是四个形状，大小完全相同的长方形拼成的图形，利用面积的不同表示法，写出一个代数恒等式：。8、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如：，因此4,12,20都是“神秘数”。28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？设两个连续偶数分别为2k2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？9、已知，求的值。10、请观察下列等式：根据前面各式的规律，请猜想1111222的值是多少？并说明你猜想的正确性。11、在日常生活中，如取款、上网等都需要密码。有一种用“分解

7、因式”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式，分解因式的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是： 。（写出一个即可）aaabbb12、已知，如图1，现在的正方形纸片和的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在图2的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为，并标出此矩形的长和宽。13、若整式，是完全平方式，请你写出一个满足条件的单项式Q是 。14、计算： 15、当，求代数式的值。16、已知，求代数式的

8、值。17、已知，都是自然数，且满足方程，求的值。18、试说明两个连续奇数的平方差是8的倍数。19、填空：+( ) （ ）2 ( )（ ）2 ( )=（ ）2 （ ）（ ）2 （ ）=（ ）2 ( )（ ）220、是一个完全平方式，那么k应为（）A、2B、4C、2y2 D、 4y421、若是完全平方式，则m的值等于（）A、5B、3C、7D、7或122、分解因式，若，则m的值等于（）A、2B、2C、1D、123、若是一个完全平方式，则k。24、如果是一个完全平方式，则m的值是（）A、b2 B、 2b C、 16b2 D、 ±4b25、已知，求的值。26、已知，求ab的值。27、若ab1，

9、ab2，则。28、已知a、b、c是ABC的三边的长，并且有成立，则ABC是（）A、等边三角形B、等腰三角形C、直角三角形D、锐角三角形29、已知，求ab的值。30、若的值为0，则的值为（）A、11B、11C、7D、731、计算：。32、观察下列各式：，请你猜想到的规律用自然数n（n1）表示出来：。33、请先观察下列算式，再填空：72528×（）； 92( )2=8×4； ( )2928×5； 132( )28×（）通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论：。34、请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式来分解。你编写的三项式是，分解因式的结果是35

10、、多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是。（填上一个你认为正确的即可）ba 图1ab图236、如图1，在边长为a的正方形挖掉一个边长为b的小正方形（ab），把余下的部分剪拼成一个矩形如图2，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A、 B、 xxxyyyxyC、D、 37、请你观察图，依据图形面积间的关系，不需添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是。38、若是一个完全平方式，则m，n的关系是。ab39、如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则的值为。40、已知多项式加上一个单项式后，所得的三项式是一

11、个完全平方式，则这个单项式是。41、若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则代数式的值（）A、一定是正数B、一定为负数C、可能为正数，也可能为负数D、可能为042、先分解因式，再求值：，其中a3，。提高部分：（二）其他方法：因式分解的四种常用方法分别是：提公因式法、运用公式法、分组分解法、形如x2+（p+q）x+pq的二次三项式的因式分解（也就是十字相乘法）。1、因式分解时要注意四种方法的使用次序：先提公因式再运用公式再用十字相乘法最后考虑分组分解法。2、三项式通常用公式法或十字相乘法分解因式；四项或四项以上的式子通常用分组分解法。3、因式分解一定要彻底，分解到各个因式都不能再分解为止。4、因

12、式分解最终结果一定要进行整理：如果有同类项，应当合并；如果在相同因式，如：（x+y）（x+y）（xy）应当写成（x+y）2（xy）；如果有中括号应当去掉中括号总之应当满足最简原则！（1）十字相乘法：不能直接用完全完全平方公式分解的，形如x2+（p+q）x+pq的二次三项式，可以考虑十字相乘法。（不熟悉这法的同学可以不看）例1、若x2+y24x6y+13=0，求x+y的值。 此题要用到拆项的思想解：x2+y24x6y+13 不熟悉这法的同学可以不看=（x24x + 4）+（y26y + 9） 将13拆成两项4、9=（x2）2+（y3）2 分别形成两个完全平方式（x2）2+（y3）2=0解得x+y

13、=2+3=5例2、分解因式：x2+xy12y2 解：原式=（x3y）（x+4y）此题易错把结果写成（x3）（x+4），所以建议你在每一例的顶部写上此列所代表的项中的字母例3、分解因式：x2x解：原式=（x）（x+）此题的系数是分数，如果你不习惯分数形式的十字相乘，也可先提出此分数，解题过程如下：解：原式=（6x2x1）=（2x1）（3x+1）例4、分解因式：（x24x）22（x24x）15解：原式=（x24x）+3 （x24x）5 把（x24x）看成一个整体，整个式子看成一个二次三项式=（x24x+3）（x24x5）因式分解一定要彻底，这两个式子可分别用十字相乘法分解=（x1）（x3）（x+1

14、）（x5）（2）分组分解法：分组分解法是综合性较强的一种方法，也是学生们不易掌握的一种方法。它有以下几种情形：、分组后直接提公因式，再进一步提取公因式例1 ：把a2ab+ac-bc因式分解解：原式（a2ab）+(ac-bc) =a(a-b)+c(a-b) =(a-b)(a+c)、分组后直接运用公式法，此种方法又可分为三类1、分组后直接运用公式法，再进一步提取公因式例2.：把a2-b2+a-b因式分解解：原式（a+b）(a-b)+(a-b) =(a-b)(a+b+1)2、分组后直接运用公式法，再进一步运用公式法例3：把a2-2ab+b2-c2因式分解解：原式(a2-2ab+b2 ) -c2=（a

15、-b）2-c2=(a-b+c)(a-b-c)3、分组后直接运用公式法，再进一步用十字相乘法例4：把a2-2ab+b2 a+b-2 因式分解解：原式(a2-2ab+b2 )-(a-b)=（a-b）2-(a-b)-2 =(a-b)+1(a-b)-2 =(a-b+1)(a-b-2)、分组后直接运用十字相乘法，此种方法又可分为二类1、分组后直接运用十字相乘法，再进一步提取公因式例5：把a2-2ab-3b2+2a-6b因式分解解：原式(a+b)(a-3b)+2(a-3b) =(a-3b) (a+b)+2 =(a-3b)(a+b+2)2、分组后直接运用十字相乘法，再进一步运用十字相乘法例6： 把a2-ab-2b2+a+4b-2因式分解解：原式(a+b)(a-2b)+2a-a+2b+2b-2 =(a+b)(a-2b)+2(a+b)-(a-2b)-2 =(a+b)-1 (a-2b)-2 =(a+b-1)(a-2b-2)练习1、填空题