正确用判别式法求值域着重点辨析

1、正确用判别式法求值域“着重点”辨析用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而经常出错，下面针对“着重点” 一一加以辨析着重点1对二次方程的二次项系数是否为零加以讨论例1求函数2x? 一 2x 3的值域。1#错解 原式变形为(2y _1)x? (2y _1)x (3y _1) = 0(*)31T X ：= R , . ： = (2y I)? 4(2y -1)(3y 1) _ 0，解得 y _ 。10231故所求函数的值域是三,丄10 2111分析 把y代入方程(*)显

2、然无解，因此y不在函数的值域内。事实上，y= 222时，方程(*)的二次项系数为0,显然用“来判定其根的存在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。正解 原式变形为(2y _1)x2 (2y 1)x * (3y -1) = 0(* )1(1)当yW时，方程(*)无解;(2 )当x R , = (2y-1)24(2y1)(3y-1) 一 0 ,解得色乞八。10 2由(1)、(2)得，此函数的值域为色，1)10 2着重点2将原函数转化为方程时应等价变形例2求函数y = x1的值域。错解 移项平方得：x2 - 2y 1 x 1 y2 = 0,3_4，由厶二

3、_(2y -1)2 -41 y2 _0解得y _,则原函数的值域是4分析 由于y _X = x -1平方得x2 _ 2y 1 X T . y2 =0，这种变形不是等价变形，实际上扩大了 x的取值范围，如果从原函数定义域x _ 1，那么y = X X 1 _ 1 ,-3显然y是错误的。4丿. f 1 f 3正解令 t =(X 1，贝y t£0，得 X =t2 +1，二 y = t2 +t +1 = t + I +-，<2丿4(13又t 30，” y =严 +t +1 工 0 +丨十一=1 ,<2丿4故原函数的值域为y ：二1, :着重点3整体换元后新旧变量的限制条件要一致寸

4、 x2 + 4、例3求函数y 2 的值域x +52t22错解 令 t = '一 x 4，则 y =二 ，二 yt -1 y = 0 ,由厶=1 - 4y - 0 及 y 0 t +11得值域为厂(0,丄。2分析 解法中忽视了新变元t满足条件t 2。正解 设 f (t)二 yt2 -t y , y 0, t ：=2,：),鼻 £0,y >022*f(2)>0或f(2)0=0cyE 。故函数得值域为(0,。551>22y着重点4力求先化简，不盲目用判别式法当用分子分母有公因式时，不能转化为二次方程再用判别式法，而应先约去公因式例4求函数y二2小x x -2的值域

5、错解2小x x -2(X = -1)2 2 2yx _y=x x -2，即 y_1x _x_y 2=0 当y 一1 =0,即卩y =1时，由得X =1 （舍去）， y =1 ；2当 y_10 即 y1 时，A x=1_4（y_1_y+2）z0 得（2y_3）启 0,二 yR。综上可述，原函数的值域为 y |y = 1且y R。分析事实上，当X2 X _2x2 -13=3时，解得X = 1，而当X = 1时原函数没23有意义，故y。错误的原因在于，当 x=1时，y-1x2-x-y，2的值为零，所以x =1是方程的根，但它不属于原函数的定义域，所以方程与方程不同解，故函数x2 x _2y =2不能转化为二次方程，用二次方程的理论行不通。x -1正解 原函数可化为 y =一2) (x 二1