椭圆综合测试题(含答案)

1、、选择题:1、离心率为(A)椭圆测试题(本大题共12小题，每小题5分，共2，长轴长为3216的椭圆的标准方程是(C)2、动点A.椭圆95x2 y213620P到两个定点F1(B)(D)(-4 , 0)、60分)3、已知椭圆的标准方程B.线段F1F22X2,10B. (0, _,10)2 2 '丄=1或955x2 y2x21或3620219212036F2 (4, 0)的距离之和为8，则P点的轨迹为(C.直线 F1F2D不能确定则椭圆的焦点坐标为A. (_ ,10,0)2 24、已知椭圆 -1上一点P到椭圆的一焦点的距离为59A.25 -32 2C.(0, -3)D.(_3,0)3，则P

2、到另一焦点的距离是(B.2C.3D.67、5、如果x1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a a +2A. ( -2, ：；匕】)B. -2, -12, -6、关于曲线的对称性的论述正确的是(A. 方程B. 方程C. 方程D. 方程 x2丿方程 22 =1 (a> b> 0,k > 0且k工1)与方程ka kbA.有相同的离心率x2 y2已知椭圆C :二 2 =1(a> b>0)的离心率为 a bA、B 两点若 AF =3FB，则 k =()(B) 、2)2xy y =0的曲线关于X轴对称 y3 =0的曲线关于丫轴对称2-xy y =10的曲线关于原点对称3-y =8的

3、曲线关于原点对称2上kb2x3x2x3xB.有共同的焦点9、(A) 1a的取值范围为(C. ( -：, -1)(2,:=)D.任意实数2 2x y22=1 (a> b > 0)表示的椭圆(a bc.有等长的短轴.长轴上3，过右焦点F且斜率为k(k> 0)的直线与C相交于2D.有相同的顶点(D) 2若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A 4a3A.B.55B.C.10、若点O和点F分别为椭圆2 2的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，则op-fp的最大值为()A. 2x2 y211、椭圆二 2 =1 a> b>0的右焦点为F,其右准

4、线与x轴的交点为 A .在椭圆上存在点 P满足线段a bB. 3C.6D.8第1页共4页AP的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是()(A) ( 0，(B) (0,( C)吋2 d , 1)(D) , 1)2 2 212 若直线y =x - b与曲线y =3 -、4x x2有公共点，则b的取值范围是()A.1 2、2,1 2.2B. 1 - .2 ,3C.-1,1 2.2D. 1 -2、. 2 ,3二、填空题：(本大题共5小题，共20分.)13若一个椭圆长轴的长度短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 2 214椭圆-1=1上一点P与椭圆两焦点F1, F2的连线的夹角为直角，贝

5、URtA PF1F2的面积为492415 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D , 且BF =2FD，贝U C的离心率为.16围为2x已知椭圆c:y2 =1的两焦点为22FhF2,点 P(x0,y0)满足 0：乂 y2 <1,则|PF1|+PF2|的取值范2三、解答题：(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.2 2XV'17. (10分)已知点M在椭圆1 上, M P垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P，并且M为线259段P P'的中点，求P点的轨迹方程2 218.(12分)椭圆x = 1(： m : 45)的焦

6、点分别是F1和F2，已知椭圆的离心率45 m于过中心。作直线与椭圆交于A，B两点，O为原点，若-ABF2的面积是20,求：(1) m的值(2)直线AB的方程第3页共4页2 2X y19 (12分)设Fi , F2分别为椭圆2 -1 (a b 0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交a b于A, B两点，直线I的倾斜角为60 , F,到直线l的距离为2 3.(I)求椭圆C的焦距；K(n)如果 AF2 =2F2B,求椭圆C的方程.2 2x y20 (12分)设椭圆C :二 2 -1(a b 0)的左焦点为F,过点F的直线与椭圆 C相交于A , B两点,a b直线I的倾斜角为60o, AF =2

7、FB .(I) 求椭圆C的离心率；15(II) 如果|AB|= ，求椭圆C的方程.4第5页共4页21 (12分)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A (-1,1 )关于原点0对称，P是动点，且直线 AP与BP1的斜率之积等于 .3(I )求动点P的轨迹方程;(n)设直线ap和bp分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点P使得 PAB与厶PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。227322 (12分)已知椭圆 刍+占=1 (a>b>0)的离心率e=、一，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的 a2 b22面积为4.(I)求椭圆的方程；(n)设直线I与椭圆相交于不同的

8、两点A、B，已知点A的坐标为(-a, 0).(i)若| AB|='，求直线I的倾斜角；5(ii)若点Q(0, y0)在线段AB的垂直平分线上，且 QAQB=4 求y0的值.椭圆参考答案1.选择题:题号123456789101112答案BBCCBCABBCDD8【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义【解析】设直线I为椭圆的有准线，e为离心率，过 A，B分别作AA i，BBi垂直于I, Ai， B为垂足，过B作BE垂直于AA i与E，由第二定义得,闷血啊|=凹ee，由，得1：，A stn-B.-VE = tan 丄BAE 二即k= 丁 -，故选B.建轴为对，焦距为则2”玄二”出任F

9、 ac = 2b+= 4b： = 4<3* -c2)整理得：Q * 2ac-3a' = 0 , Ef 5e: + 2«-3 =0 n“_或疗=一1(舍丿?选 B210【解析】由题意，F （-1，0），设点P（x0, y0），则有 辽4= 3(1 -42X。），因为 FP =(x 1,y°)，OP 讥。)，所以 OP FP Wx 1) yo2=OP FP =Xo(xo 1)2 23（1 -仏）=况 Xo 3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为44瓦二一2，因为一2空Xo乞2，所以当Xo_一=2时，OP FP取得最大值2 *3 = 6，选C。4【命题意图】本题考查椭

10、圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。11 解析：由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点 F，即F点到P点与A点的距离相等2 ,2 a b 而 | FA| = c =| PF| a c, a+ c是 a c, a+ ccac - c2 岂 aa22 2-c2 2-c _ac c<1又 e (0, 1)故e答案：D12 （2010湖北文数）9若直线二x b与曲线y = 3 - . 4x - x2有公共点，贝U b的取值范围是A. 1 -2,2 ,1 2.2B.1 - 2 ,3

11、第7页共4页第#页共4页D.1-2,2 ,3C.-1,12.2久【答KD【解析】曲疑育程可化简为纾十0-掰“（1勿M孙BP衰示圈心为仁，3）半径为】的半圆，依据数形结合.当直娃+ E与此半副目切时须満足圆心2 3） 気直线r=v-5距篦等于匕解得XI+2J5動2血、因沖是下半癌故可得-i = 1+275 （舍）当直线过（山3）时，解得b赳故所以D正确*二、填空题：（本大题共4小题，共16分.）13若一个椭圆长轴的长度短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 2 214椭圆-»=1上一点p与椭圆两焦点F1, F2的连线的夹角为直角，贝U RtA PF1F2的面积为 492415

12、（2010全国卷1文数）（16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交Cuur unr于点D ,且BF二2FD，则C的离心率为【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形3结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的第9页共4页捷径【解析1】如图，|BF卜.、b2 c2 =a,uuruir作DD1 _ y轴于点Di,则由BF =2FD，得|OF| |BF| |DDi | BD |2332所以冋匸阳寸，3c即Xd,由椭圆的第二定义得2|FDe(a-3C)c 23c22a又由 |BF

13、 |=2|FD |,得 a2 2【解析2】设椭圆方程为第一标准形式笃与=1，设D x2, y2 ，F分BD所成的比为2，a bxc =0 2x2 =" X2 二1 2332 Xc - 2 c；ycb 2y2=yy2"b，代入94 a24 b216（ 2010湖北文数）2x 215.已知椭圆c:y =1的两焦点为22F2点Pg%）满足0煜上4则第#页共4页第#页共4页|PF1|+PF2|的取值范围为 【答案】|2,22,0【解析】依题意知，点P在椭圆内部画出图形,由数形结合可得，当P在原点处时(| PF1 | ' | PF2 |)max =2第#页共4页第#页共4页当

14、P在椭圆顶点处时，取到（| PF11| PF2 |）max为第#页共4页第#页共4页（2-1）（ 2 ） =2 2，故范围为12,2'2 .因为氐0）在椭圆22z y2=1的内部,则直线x Xoy y1第#页共4页上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.161.2,22 ,0填空题:13314 24155三.解答题：第#页共4页17.解：设p点的坐标为p(x, y), m点的坐标为(Xo,y°)，由题意可知x =x0y =2 yo2 2因为点m在椭圆=1上，所以有2592 2 生匹=12592 2把代入得釘話"，所以P点的轨迹是焦点

15、在y轴上，标准方程为2 2x y 1的椭圆253618.解：(1)由已知 e = E , a = 45 = 3-. 5，得 c = 5 ,a 3所以 m =b2 =a2 -c2 =45 -25 =20(2)根据题意Sbf=S¥FF2b= 20设B(x, y)，则S皆卍=£斬问y,吋2=2皆10,所以y二4，把y二4代入椭圆的方程2 2亍計1，得XV，所以B点的坐标为(土 3, 4)，所以直线4、4AB的方程为yX或yX3319( 2010辽宁文数)(20)(本小题满分12分)2 2设F1，F2分别为椭圆C：?=1 (a b 0)的左、右焦点，过F?的直线l与椭圆C相交于A,

16、 Ba b两点，直线I的倾斜角为60 '，F1到直线l的距离为2、3.(I)求椭圆C的焦距；(n)如果 AF2 -2F2B,求椭圆C的方程解：(I)设焦距为2c，由已知可得F1到直线I的距离-寸3c = 2；3,故c = 2.所以椭圆C的焦距为4.(n)设 A(x1, y1), B(x2, y2),由题意知 y1 = 0,y2 0,直线 l 的方程为 y = -、3(x-2).联立y = 3(x -2),2 2x_ 2 . 2 1a b得(3a2 b2)y2 4.3b2y -3b4 =0.6分第11页共4页解得y-i七-、3b2(22a),y2 =3b2 (2 2a)2 23a b23

17、a b6分第13页共4页6分第#页共4页因为 AF2 =2F2B,所以 =2y2.日八3b2(2 2a)门- 3b2(2 -2a)即22 = 2223a +b3a +b得 a - 3而a -b? = 4,所以 b = '一 5.2 2故椭圆C的方程为=1.9520 (2010辽宁理数)(20)(本小题满分12分)X2 y2设椭圆C:二 2 =1(a b 0)的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线I a b的倾斜角为60o, AF =2FB.(III) 求椭圆C的离心率；15(IV) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.4解：设 A(X1,yJ, B(X2,y2)，由题意知

18、 y < 0, y? >0.(I)直线I的方程为ym#3(x- c)其中c = -, a2-b2.联立b2)y2 2、3b2cy-3b4 =0y = .3(x -c), x2 v2 得(3a2y 1a2b2 1解得V1f3b2(c 2a)3a2 b2，V2i、3b2(c -2a)3a2 b26分第#页共4页6分第#页共4页因为 AF =2FB，所以-y, =2y2.3b2(c 2a)_、3b2(c_2a)3a2 b2_ * 3a2 b2(n)因为y2 %，所以2 .4、3ab2 =153，3a2 b2 一 4丄 c 2?;5515由 得ba .所以一a，得a=3, b =、5 .a

19、 33442 2椭圆C的方程为y 1.,12分9521 （2010北京理数）（19）（本小题共14分）在平面直角坐标系 xOy中，点B与点A（ -1,1 ）关于原点0对称，P是动点，且直线 AP与BP的斜率之积1等于-丄3（I ）求动点P的轨迹方程；（II ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点P使得 PAB与厶PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（I）解：因为点B与A（-1,1）关于原点0对称，所以点B得坐标为（1,-1）.设点P的坐标为（x, y）由题意得y -1 y 1 _1x 1 x -13化简得2 2x 3y =4（x =二 1）.故

20、动点P的轨迹方程为x2 3y2 =4（x 二1）（II）解法一：设点P的坐标为（x0,y。），点M , N得坐标分别为（3皿），（3川）.Vc +1X。- 1则直线AP的方程为y-1二卫0（x 1），直线BP的方程为yT 0 （x-1）X。+1X。- 1令八3得 Vm =如¥ , y2y-xo 3X。+1于是-PMN得面积2S_pm2| y m y N（3 ox 丿X。洛粤：。）又直线AB的方程为x 0, | AB|= 2、2 ,点P到直线AB的距离dx。yo1V2于是 -PAB的面积6分第15页共4页PAB；|AB 回=|xo+y°|S_PAB=S_pmn时，得 | xo

21、yo | =2|x° y° | (3-Xo)|xo2-1|又 | x0 y00，所以(3-xo)2=|xo2 -1|，解得 |Xo =5。3因为xo2 - 3y。2 =4，所以y° 9故存在点P使得-PAB与-PMN的面积相等，此时点 P的坐标为（-, 卫）.3 9解法二：若存在点 P使得-PAB与-PMN的面积相等，设点 P的坐标为（xy。）11则一| PA|JPB|si n. APB | PM 甘 PN |s in. MPN 22因为 sin _APB =sin _ MPN ,所以型且|PM | PB|所以|3-x°|x-1|225即(3 -x

22、76;) :| x0 -1|，解得 x0 :322Q 33因为x0 3y0 =4，所以y。：9故存在点PS使得-PAB与-PMN的面积相等，此时点22（ 2010天津文数）（21）（本小题满分14 分）已知椭圆2 2X y a2 b2=1 （ a>b>0）的离心率e=连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（I）求椭圆的方程；（H）设直线I与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点A的坐标为（-a, 0）(i )若ABF求直线I的倾斜角;（ii）若点Q（0, y。）在线段AB的垂直平分线上，且 QAQB=4.求y。的值.4、，25第#页共4页【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与 运算能力满分14分.C J322222(I)解：由 e= '，得 3a =4c .再由 c =a -b，解得 a=2b.a 21 由题意可知一2a 2b =4，即ab=2.2a _解方程组 二，得a=2, b=1.lab = 2,2所以椭圆的方程为y1.4(n )(i)解：由