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文档简介

1、第六章方程求根的迭代法一、教学目标及根本要求通过对本章的学习，使学生掌握方程求根的数值解法。二、教学内容及学时分配本章主要介绍方程求根的迭代法。 具体内容如下：迭代收敛性与迭代加速、 牛顿法、弦截法。三、教学重点难点1 教学重点：迭代收敛性与迭代加速、牛顿法。2.教学难点：迭代的收敛性。四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解向量范数、迭代收敛性6.1向量和矩阵的范数1、向量的范数对向量X =(X!,X2,.Xn)T ,其长度记作X 2 = , xX2Xn ,借助长度可刻 画向量的收敛性* * * *X = (Xi ,X2，Xn )亠 宀X(k)=(X(k)X

2、(k) X (k)T向量序列 X(X1 ，X2,.Xn )(k)的充要条件是除长度外，还有哪些反映收敛性的度量?X=(X|,X2,Xn)T，其范数记为X，是一个实数，满足:1)对任意向量X， X - 0，当且仅当X = 0时X =0 ；3)任意向量x，y , xr辽x y (三角不等式) 按上述定义，存在多种范数，常用范数有：n|x/(送 Xi2)1/21) 2范数：vn|x|i =迟 |Xi2) 1范数：i 4, I x = max xi3) 閃范数：co 1空inix 厂任 Xip)1/p上述都是P范数特例：V定理1对任意向量X ：哩心=|船。证：P163不同方式规定的范数，其值一般不同，

3、但在各种范数下考虑向量系列的收 敛性时，所有范数都是一致的，向量范数具有等价性。范数等价性：1X1严1冈。冈严札，称| Xljxlq等价。范数等价性保证应用具体范数分析收敛性的合法性。对向量序列LX(k)收敛到x的充分必要条件是：对于给定的 P,有:2、lim x(k) -xkr0矩阵的范数A，即:对n阶方阵A,将Ax/x (X = 0)的上确界称作矩阵A的范数，记为矩阵范数具有如下性质:1)A，当且仅当A=0时A =02) 对任意实数人和任意方阵A,有：咧二九lA3) |A+B 勻A+IB,IAB 勻ABA由于=maxx -0Ax/x 二maxxM1故矩阵范数亦可等价定义为:矩阵范数和向量范

4、数密切相关，相应于向量的范数，记n定理 2 对 n 阶方阵 A =(aj)m n，有:A ： - max aj1岂彳j _iAp二 maxAxP。aij分别称为矩阵的行范数和列范数。 6.3迭代过程的收敛性1、迭代收敛的充分条件定理3对给定方阵G，假设G ：1，那么矩阵I-G为非奇异。(反证法)定理4方程组Ax二b，迭代公式x(k =Gx(k) d，假设G 1，那么迭代 公式对于任意初值x(0)均收敛。证：P1662、对角占优方程组对角占优：矩阵A的主对角元素的绝对值大于同行其他元素绝对值之和， 即nZ aij 总，i =1,2，nj圭定理5假设A为对角占优阵，那么它是非奇异的。证：P166定理6假设线性方程组Ax=b的系数矩阵A为对角占优矩阵，那么雅克比和高斯-赛德尔迭代法收敛。证：P167使 Cond(pAQ)

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