多台设备同时故障的最优维修次序

1、数学建摸竞赛论文题目：多台设备同时故障的最优维修次序 参赛人1： 姓名 xxx 学院 自动化与电气工程学院 班级 电气071班 参赛人2： 姓名 xxx 学院 自动化与电气工程学院 班级 电气071班 参赛人3： 姓名 xxx 学院 交通运输学院 班级 物流082班 论文编号： 多台设备同时故障的最优维修次序摘要本文是关于降低企业生产中经济损失的设计问题，即在生产中多台设备发生故障时的维修次序的优化，在同样的维修条件下，将经济损失降到最低。此题涉及到计算最小损失的问题，因此本文将实际问题转换成数组的形式，利用代数运算求得最小值建立的数学模型。模型的建立是基于将实际问题转换成数学表达式来求解，然

2、而复杂的代数式却不能直接计算出所需结果，所以进一步利用代数式化简，将其转换成分步比较的形式，观察怎样更接近实际问题所需要的结果。经过分步比较得出最优值，然后验证最优值的合理性，若合理，则经过分步比较所得的最优值就是实际问题中所需要的结果。在建立此模型后，定义，经过计算证明，当Cn越小时，对应的设备维修次序越靠前，因此计算出所有设备的Cn值，然后由小到大排列，对应的设备排序就是最优排序。题目中七台设备的维修时间以及单位时间内损失金额都已知，所以可以计算出Cn，然后从小到大排序，从而得出最优的维修顺序为：2，5，6，3，1，4，7；最小经济损失为199.9万元。在两人维修的情况下，将设备分为两组，

3、若维修次序最优，则每组设备依然遵守Cn<Cn+1(n=1,2,3)，再将两组间设备互换或者移动，然后经过互换或者移动前后的对比就能使其更接近最优排序，但依然不能确定其为最优排序，利用将一台设备分割为多台设备的方法将其计算简化，然后确定其将时间分段后的关系，各时间段的设备满足Cn<Cn+1(n=1,2,3)，由此进行排序。经过分析推理，可以证明无论维修设备的数量有多少，一人维修的情况下最优排序依然遵守Cn<Cn+1(n=1,2,3)，因此最优维修次序都会计算出来。多台设备同时故障的最优维修次序1 问题的提出在企业生产中避免不了因生产设备的故障而造成的经济损失，为了将经济损失降到

4、最低程度，要求及时地对故障设备进行维修，使其尽快地投入生产，但如果发生多台设备同时出现故障时，由于维修工人的数量有限，就只能按照一定的次序进行维修，由于不同设备停工给企业造成的经济损失不同，维修所需的时间也不同，所以设备的维修次序就很重要。不同的维修次序对企业造成的经济损失是不同的。因此，如果出现多台设备同时发生故障，维修工人的数量少于受损设备数量时，就要寻求一种最优的维修次序，把企业的经济损失降到最低。现有七台设备需要维修，分别求解在一人维修和两人维修的最优排序，并且将设备增加到n台时，求在一人维修情况下的最优排序。2 问题的分析在一名工人维修的情况下，尽可能地先维修单位时间内损失较大的设备

5、，但由于维修的时间不等，维修单位时间内损失较大的设备可能会需要大量的时间，因此需要进一步的考虑。不妨尝试将排序相邻的设备进行顺序对换，若对换后的损失少于对换前，则将两设备对换，否则不对换，这样就使两设备在相邻情况下有最优排序，现将每两相邻设备的对换前后进行对比，使得它们的排序最优，直到所有相邻设备之间的排序都达到最优，此时观察和分析对换所满足的数学关系，讨论能否再进行某种对换，如果不能，则所得的排序就是最优的维修次序。在分析对换满足的数学关系时，不难发现两相邻设备的存在一定的关系，因此我们令Cn=( ALn为第Ln个维修设备的所需维修时间，BLn第Ln个维修设备停工一小时所造成的损失)，利用它

6、进行分析求解。另外，一人维修的情况下可已将一台设备分割为多台设备来维修，两者所得的差值可以计算出，因此在计算两人维修的情况下，可以将设备分割成多个设备进行计算，这样便简化了计算难度。3 模型假设与符号假设(1)每台设备在预定的时间内恰好完成维修；(2)每台设备在维修完毕后都能正常运行；(3)当一台设备维修完毕后，立即维修下一台设备。Ln：维修次序的编号ALn：第Ln个维修设备的所需维修时间BLn：第Ln个维修设备停工一小时所造成的损失4 模型的建立每台设备所需维修时间，以及停工每小时造成的损失已知，因此利用它们的数值进行运算。首先将各数值转换为数学表达式，即各设备的维修时间用正数集合A表示，各

7、设备停工单位时间所造成的损失金额用正数集合B表示，因此有A=a1，a2，a3a7和B=b1，b2，b3b7，A中的元素与B中的元素一一对应，即an与bn相对应，对应关系如表1所示：列号L1L2L3L4L5L6L7Aa1a2a3a4a5a6a7Bb1b2b3b4b5b6b7表1表1中AL1 =a1，BL1 =b1，第一台设备的损失就为：AL1 BL1= a1 b1，在维修第一台设备这段时间内，各设备的损失总和为AL1(BL1+BL2+BL7)，因此在整个维修过程中各设备总损失为AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ AL7BL7，要解决设备的排序问题，就要求保持所有

8、的an与bn对应关系不变，将数组A和数组B中的元素重新排序，使得S=AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ AL7BL7的值最小，此时的排列次序就是所要求解的设备最优排列次序。5 模型的简化与求解将问题转换为求S=AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ AL7BL7的最小值，所得排列数组A和数组B的元素排序就是所要求解的设备最优排列次序。但是S的最小值不易解出，因此需要进一步的简化，将A中相邻两元素进行对换(B中所对应的元素也随之对换)，然后分别求出S值再进行比较，这样就能使其更接近最小值。5.1 一人维修时的简化及其最优排序的求解由

9、以上模型的建立，可以得出在任意的一种排序中：Sn=AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ALn(BLn+BLn+1+BL7)+ALn+1(BLn+1+BL7)+AL7BL7，当第Ln列与Ln+1列对换后：Sn1=AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ALn+1 (BLn+BLn+1+BL7)+ALn (BLn +BLn+2+BL7)+AL7BL7，则 SnSn1= AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ALn(BLn+BLn+1+BL7)+ALn+1(BLn+1+BL7)+AL7BL7AL1(BL1+BL

10、2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ALn+1 (BLn+BLn+1+BL7)+ALn (BLn +BLn+2+BL7)+ AL7BL7解得：SnSn1=ALn BLn+1ALn+1 BLnALn BLn+1ALn+1 BLn的结果有以下三种取值：1ALn BLn+1ALn+1 BLn=0即Sn=Sn1，则Sn与Sn+1同样接近最小值，因此Ln与Ln+1对换前后的S值相同，所以不需要对换。此时由ALn BLn+1ALn+1 BLn=0可得：；2ALn BLn+1ALn+1 BLn<0即Sn< Sn1，则Sn更接近最小值，因此Ln与Ln+1对换前的S更接近最小值，所以不需

11、要对换。此时由ALn BLn+1ALn+1 BLn<0可得：； 3ALn BLn+1ALn+1 BLn>0即Sn> Sn1时，则Sn1更接近最小值，因此对换后的S更接近最小值，所以对换前的排序必定不是最优排序，只有排序后才能使其接近最小值。此时由ALn BLn+1ALn+1 BLn>0得：由以上推理可知，如果第Ln列与Ln+1列的元素有关系时，则这种排序所得的S必定不是最小值，因而当S取最小值时第Ln列与Ln+1列的元素必满足：；所以当S取最小值时，；当所有的都不相等时，则，因此只有一种排序；当其中有一项或者多项的值等于其后一项的值时：由于可得出Sn=Sn1，因此不论他

12、们相邻之间如何排列，所得的S值都相同，从而它们的排序都是最优排序。现将七台设备进行排序，即求出Cn=，如表2所示：编号1234567A58784913B0.61.81.20.80.81.71.0Cn8.334.445.831055.2913表2由表2可以得出：C2<C5<C6<C3<C1<C4<C7；因此最优的维修排序为：2，5，6，3，1，4，7；将此排序下的各设备参数代入S=AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ AL7BL7；计算出最小经济损失S=199.9(万元)。5.2 将各设备分割为多台设备的求解过程假设保持设备的最

13、优的维修排序不变，将每一台设备都分割为若干个设备，这些设备所需维修时间都为一小时，即将第n个设备分为ALn个设备，每个分割后的设备停工单位时间所造成的损失为，例如将2号设备分割成8个设备，每一台设备停工单位时间所造成的损失为1.8/8，如此将所有设备共分为(AL1+AL2+AL3+ALn)个设备，下面分析分割后与分割前的区别。分割之后，在每一小时结束后都有设备投入运行，当这ALn个设备都维修完毕后，它们都投入运行，此时与分割前的运行相同。而分割前只有在ALn小时后设备才能投入运行，因此分割后减少了一部分损失，下面求解减少的损失：将第n个设备分为ALn个设备，则各设备备停工单位时间所造成的损失为

14、，分割后每台设备工作时间如图1所示。图1 设备的分割示意图由图1可以看出分割后的第一台设备挽回的损失为(ALn1 )×，第二台设备挽回的损失为(ALn2)×，第ALn1个设备挽回的损失为1×，因此它们挽回的损失之和为：S1=(ALn1 )×+(ALn2)×+2×+1×解得S1=(ALn1 )BLn；则将所有设备进行分割后，损失金额的减少量为：S=(AL11 )BL1 +(AL21 )BL2 +(ALn1 )BLn因为S是定值，因此无论设备的排序如何，S的值都不变，且分割后的设备之间也满足，因此此排序依然最优。当把设备再分割为

15、无穷台或者任意台数时，依然比分割前的损失减少一定值，也可以将设备分割维修看作是多台设备同时维修，各设备维修结束时间点不同罢了，现在可以理解两人同时维修设备时的情形，当一人维修完一台设备时，另一人还在维修，若将两人维修合并成一人维修的情形，然后计算就比较简单。5.3 设备的分割与多人维修的联系由一人维修的最优排序可以得出Cn=越小的设备排序越靠前，现在令Pn=，则Pn越大时维修的次序越靠前，而，其含义是维修设备的效率(也可以看作是减少损失的效率)。若有等式S=P1t1+P2t2+P3t3+Pntn，0<t1< t2< t3<< tn， tn为定值，P1,P2,P3,

16、Pn的关系不确定，即Pn>Pn+1或Pn+1>Pn不确定，要使得S最小，则P1,P2,P3,Pn应满足P1>P2>P3>>Pn，下面给以证明：令P1>P2，t1< t2，x= P1t1+P2t2，y= P1t2+P2t1；则 x= (P1+ P2) t1+P2(t2-t1)，y= (P1+ P2) t1+P1(t2-t1)；所以 x-y= (P2- P1) (t2-t1)<0，因此x更接近最小值。由以上推理可以说明，工人维修时先选择维修效率较高的设备，即Pn较大的设备，两人同时维修时将两台设备的P相加，因此就可以进行排序。5.4 两人同时维

17、修的最优排序现有工人1和工人2同时维修这些设备时间设备分为1，2两组，要求他们的排序最优，则每一组中的设备都是最优排序，即第一组设备满足P11 P12 P1n，第二组设备满足P21P22P2n，如图表3所示为两工人维修设备的次序组号L1L2L3Ln1P11P12P13P1n2P21P22P23P2n表3现将两组设备都分割成多个设备，即每小时都有一个设备完成维修，因此将两工人的维修合并，则合并后的设备依然满足；如图2所示合并后P1=P11+P21，P2= P21+P12，即各段的P值等于此时间段内两设备的P之和。图2 各时间段的P值分布按照P1>P2>P3>>Pn的原则进

18、行排序，可以利用一人维修时的排序2，5，6，3，1，4，7；因为P2>P5>P6>P3>P1>P4>P7；先将2号设备和5号设备排列到最前，然后当有一人完成维修时，就选择6号设备，直到将所有设备排列完毕。排序后计算出两工人各需要的维修时间，各设备之间的关系如图3所示：图3 第一次排序示意图由于工人1需要维修23小时，而工人2需要维修31小时，在工人1维修完毕后工人2还需维修8小时，现讨论设备4和设备7的关系，分析整个排序是否达到最优：4号设备与7号设备的顺序仅有两种排序，它们维修时间差为一定值，若时间差为t，则它们对整个排序造成的损失差为：(b7-b4)t，

19、由于b7>b4，因此将7号设备与4号设备调换后损失更小。然后还需要将每两个时间点后的单位时间停工造成的损失金额相加后比较，按照4号设备与7号设备的交换原则对换，经过对换，调整后的次序如图4所示。图4 两人维修的最优排序调整后两工人的维修时间分别为28，26小时；维修时间得到了缩短，此时的排序为最优排序，所有设备的排序为：2(5)，6，3，1，7，4；工人1的维修顺序为：2，3，7；工人2的维修顺序是：5，6，1，7。5.5 一人维修多台设备的推理及计算现要求在一人维修n台设备的前提下进行排序，由以上得证，只要设备的所需维修时间和停工单位时间所造成的损失已知就可以很容易地排出它们的维修次序

20、，即将各设备的所需维修时间除以停工单位时间所造成的损失，所得结果从小到大进行排序，所对应的设备编号顺序就是最优的维修次序。为了计算方便，利用计算机编程进行运算，程序列表如下：#include<iostream>using namespace std;int main()double a21000,b21000,p,q;int i,j,m,n;cout<<" 一名工人的维修次序"<<endl;cout<<endl;cout<<"说明:请按机器编号依次输入维修所需时间(小时)和停工造成的损失(万元/小时)，&

21、quot;<<endl;cout<<endl;cout<<"然后输入一个负数结束。"<<endl;cout<<endl;cout<<endl;for(i=0;i<1000;i+)cout<<"输入第"<<i+1<<"台设备维修所需时间(小时) :"cin>>a0i;if(a0i<=0)break;cout<<"输入第"<<i+1<<"台设备停工造成的损失(万元/小时