(完整版)有限元第二章课后题答案

1、2 弹性力学问题的有限单元法思 考 题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏， 则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时， 则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，

2、 故只能求解位移边值问题和混合边值问题。而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。 因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。计算：设半带宽为 B，每个结点的自由度为 n，各

3、单元中结点整体码的最大差值为 D，则 B=n(D+1) ，在平面问题中 n=2。2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元， 这样便于网格计算， 还可以通过增加结点数提高单元精度。在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。答：有限元处于弹性力学问题的方法是离散法。 它将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体， 单元

4、之间只在结点上相互联系， 即只有结点才能传递力。 所以在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点和单元边界。2.8 为什么说三角形三结点单元是常应变单元，如果在每边中点增加一个结点，那么单元内应力如何分布？答：应变矩阵B中的参数 b、b、 b、c、 c、c由坐标变量x、 之差(1)ijmijmy确定。当单元的坐标差确定之后，这些参数与坐标变量x、y 无关，因此 B 为常量阵。当单元的结点位移 a 确定后，由B 转换求得的单元应变都是常量，也就是说在荷载作用下单元中各点具有统一的x、 y、 xy 值。因此三结点三角形单元称为常应变单元。(2)如果在每边中点增加一个结点，单元内的应力为线性分布。

5、习题2.1 试证明 x、y 与面积坐标的关系证明 :设 P 点坐标为（ x,y）1xyA pij1 1x iy i2x jy j11xi y jyi x x j y xi y x j yixy j21xi y jx j yiyi y j x x jxi y21a mbm x cm y2同理可求得：1xyApjm1 1x jy j1aibi xci y由面积坐标定2xmym211xy义得：Apmi1 1xmym1a jb j xc j yLiAPjm1bi x ci y2xiyi2Aijmai12ALjAPmi1a jbj xcj yAijm2ALmAPij1ambm xcm yAijm2A由此

6、推出坐标 x、y 与面积坐标的函数关系：2 A c j Lici L ja j ciai c jxbi c j bj ci2A bmL jbj Lmambjbma j式（ 2.1）ybj cmbmcj面积：2A ai aj ambi cjbj cibj cm bmcjbmci bi cm代入式（ 2.1）有：xc j L ia jc ia i c jci L jc jb j cibiyb j L ma m b ja j bmbm L jb j c mbm c j其中形状参数由下式确定：aix jy jx j ym xm y jxmymbi1y jy jym1ymci1x jx jxm1xm代入

7、上式（ 2.1）可转化为：x xi Lixj L jxm Lmy yi Liy j L jym Lm再加上1LiLjLm所以用面积坐标表示直角坐标矩阵形式如下：1111LixxixjxmL jyyiy jymLm2.2 试证明两相似三角形的单元刚度矩阵相同。A1证明：由于两个三角形相似，故设h ， h 为一常数。A2三角形： A11bi1c ji b j 1 ci 12bi 1y j1 ym1b j 1 ym1 yi 1ci 1xj 1 xm1cj 1xm1 xi1参数 bi 、bj、 ci、c j，只与坐标差有关，所以bi11ci11bi 2hci 2h单元刚度矩阵通式为：br bs1cr

8、csbr cs1Et2cr bsK rs24 12 A11cr bsbr cscr cs2br bs2br 1bs11A11br 2bs 2hA2h故 K rs 1K rs 2所以KiiK eB T DB tAK jiKmiK e1K e2因此两相似三角形的单元刚度矩阵相同。KKKijKimjj K jm mj K mm2.3 直角三角形固定在刚性基础上，受齐顶的水压力和自重作用，如图 2.14 所示。若按一个单元计算，水的容重 g ，三角形平面构件容重 g ,取泊松比 v =1/6，试求顶点位移和固定面上的反力。解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3建立坐标 xoy :1 2a

9、,02(0,3a)3(0,0)（1）求形函数矩阵：a10a20a36ab13ab20b33ac10c22ac32a图（ 2.14）形函数 :Ni1( aib xc y)2AiiA12a3a3a22所以：NN12x2 a y3 aN 3xy13 a2 a形函数的矩阵为：x0y01xy0N N i N j N m2ax3ay2a3axy00012a3a2a3a（2）刚度矩阵KeKK112131KKK122232KKK132333brbs1br cs1Etcr cscr bsK rs222 A114 1cr bscr csbr csbr bs2216t1Et3E4 12A35a215212可得：KK

10、K1122133E903E3273235015K 334357313E50243E0133504K 12355023E91K 233E553235515352214900191015505154222e3E055055K23323510041495513272332115547312224（3）位移列向量和右端项由边界条件可确定：a e00u2200T水压力和构件厚分别为：p0ght 1q0hq0hTRe0001036q0l t12T0 000233自重为 W 与支座反力：TR e2Rx1 Ry1W0WRx3 Ry 3W333所以：ReRx1Ry1Wq0 hW36Rx 33由 K e a eR

11、 e 得到下列矩阵方程组：900191001550515422203E055055u2e2332K3510041429551327023321155473102224化简得：3E5u2q0 h063534W02q hRy3W T033Rx1WRy13q0 h6W3Rx3q0 h3WRy 333可得：u27q0 h6E235W36Eu2将代入下式：201Rx150Ry1W3E2u233551Rx3q0 h32354Ry 3W23固定面上的反力： q0gh 3 gah 3a从而可得支座反力为：R x 1W12R y 1q 0 hW43R x 3Wq 0 h122R y 32 Wq 0 h342.4

12、 试从式（ 2.69）说明对角线元素改1 法只能用于给定零位移的情形，而对角元素充大数法可以适用任意指定位移的情形。解：（1）在式（ 2.69）中， K ' aa a'a K ' ab a'bR'a K 'ba a'a K ' bb a'bR'b采用对角线元素改一法，则： K ' aa a'aa'a所以在式（ 2.69a）中可改为：a'a K 'ab a'ba 'a需满足： a'ba 'a因为 ： K 'ab 为非零矩阵所以 ： a&#

13、39;b 应需为向量则这种方法只能用于给定零位移。（2）同上在式（ 2.69a）中RaK aa a（其中可取 1020 左右甚至更大的量级）根据主元充大数： K ' aa a'a K 'ab a'bK aa aK ' aa a'a K ' ab a'b由于所以右边近似等于 K ' aa a'a 所以左边等于右边即主元充大数法满足任何给定位移（零值和非零值）2.5 仿照例 2.3，试证明矩形单元是完备协调元。.证明：在平面问题中，场函数为位移场函数，4 结点矩形单元的位移插值函数为：u12 x3 y4 xy平面问题的

14、泛函数中所包含的物理量的最高导数为2 阶，而位移插值函数中包含的位移场函数（考虑到对称性， 位移插值函数中只取了 xy 项）及其直至 2 阶的完全多项式，所以是完备的。要证明协调性，只需考虑单元边界上的连续性。为此，参考上图，对于 j-m 边的公共结点j，m 的位移 u j ， um 完全确定，所以在边界上是协调的。2.6 仿照例 2.3，试证明图 2.15 所示任意四边形单元在选取位移模式u12 x3 y4 xy是完备的但不是协调的。证明：完备性证明同2.5；协调性：对于边i-j ，直线方程为yABx所以代入上式，得 :u12 x3 ( ABx )4 x ( ABx )12 x3 A3 Bx4 Ax4 Bx 2(13A)(23 B4 A ) x4 Bx 2AB xC x2公共边 i-j ，i，j两