直线与圆知识点总结及例题

1、直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线1,如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线1重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线1与X轴重合或平行时，规定倾斜角为0;（2）倾斜角的范围0,。如（1）直线xcosM3y20的倾斜角的范围是（答：0,U5,）；66倾斜角的取值范围是0°&<180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示.倾斜角是90。的直线没有斜率.（2）过点P（v3,1）,Q（0,m）的直线的倾斜角的范围_,2_,那么m值的范围是33（答

2、：m2或m4）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的余率k,即k=tan（W90°）;倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点（%，h）、P2（X2,y2）的直线的斜率为ky-y2X1X2;（3）直线的方跑X1x2,一r向量a（1,k）,直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线：kABkBC。如（1）两条直线钟率相等是这两条直线平行的条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数X,y满足3x2y50（1x3）,则上的最大值、最小x值分另I为（答：2,1）33、直线的方程：（1）点斜式：已知直

3、线过点（X0,y0）斜率为k,则直线方程为yy0k（xx0），它不包括垂直于x轴的直线。直线的斜率k0时，直线方程为yy1；当直线的斜率k不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为xXi.（2）斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k,则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线。（3）两点式：已知直线经过F（x1,y1）>P2（x2,y2）两点，则直线方程为yy1XX1,它不包括垂直于坐标轴的直线。若要包含倾斜角为00或900的y2y1X2X1直线，两点式应变为（yy1）（x2X1）（xX1）（y2y1）的形式.（4）截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程

4、为-21,它不包括垂直于坐标轴的直线ab和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成AxByC0（A,B不同日寸为0）的形式。如（1）经过点（2,1）且方向向量为v=（1,J3）的直线的点斜式方程是（答：y1向x2）；（2）直线阿2）x（2m1）y（3m4）0,不管m怎样变化恒过点（答：（1,2）;（3）若曲线ya|x|与yxa（a0）有两个公共点，则a的取值范围是（答：a1）提醒：（1）直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；（2）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率

5、为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。如过点A（1,4）,且纵横截距的绝对值相等的直线共有一条（答：3）4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b,常设其方程为ykxb；（2）知直线横截距x0,常设其方程为xmyx0（它不适用于斜率为0的直线）；（3）知直线过点（x0,y0）,当斜率k存在时，常设其方程为yk（xx°）y°,当斜率k不存在时，则其方程为xx0；（4）与直线l:AxByC0平行的直线可表示为AxByC10；（5）与直线l:AxByC0垂直的直线可表示为BxAyC10.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用

6、待定系数法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：1|AXoBy。C（1）点P（x0,y0）到直线AxByC0的距离d0：;,A2B2（2）两平行线|1小* ByC1 0,l2 : Ax By CC1 C20间的距离为d ) 01A2 B'6、直线|1：AxB1yC10与直线l2：A2xB2yC20的位置关系：（1）平行AB2A2B10（斜率）且B1C2B2cl0（在y轴上截距）；（2）相交A1B2A2B10;（3）重合A1B2A2B10且B1c2B2cl0。AB1C1A1B1A1B1C1提醒：（1）、,仅是两直线平行、相交、重A2B2C2A2B2A2B2C2合的充分不必要条件！

7、为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线11:A1xByC10与直线l2：A2XB2yC20垂直AA2BB20。如（1）设直线l1:xmy60和l2：（m2）x3y2m0,当m=时l1/l2；当m=时1112；当m时I1与12相交；当m=时I1与I2重合（答：11;m3且m1;3）；（2）已知直线l的万程为3x4y120,则与l平行，且过点（一1,3）的直线方程是（答：3x4y90）;（3）两条直线axy40与xy20相交于第一象限，则实数a的取值范围是（答：1a2）；（4）设a,b,c分别是AB

8、C中/A、/B、/C所对边的边长，则直线sinAgxayc0与bxsinBgysinC0的位置关系是(答：垂直)；(5)已知点P(xi,y1)是直线l:f(x,y)0上一点，P2(x2,y2)是直线l外一点，则方程f(x,y)f(x1，yi)f(X2,y2)=0所表示的直线与l的关系是(答：平行)；(6)直线l过点(1,0),且被两平行直线3xy60和3xy30所截得的线段长为9,则直线l的方程是(答：4x3y40和x1)7、特殊情况下的两直线平行与垂直：当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°,互相平行；(2)当另一条直线的斜率

9、为0时，一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直.8、对称(中心对称和轴对称)问题一一代入法：如(1)已知点M(a,b)与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线xy0对称，则点Q的坐标为(答：(b,a)；(3)点A(4,5)关于直线l的对称点为B(2,7),则l的方程是(答：y=3x+3)；(4)已知一束光线通过点A(3,5),经直线l:3x4y+4=0反射。如果反射光线通过点B(2,15),则反射光线所在直线的方程是(答：18x+y510);(5)已知AABC顶点A(3,-1),AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y-5

10、9=0,/B的平分线所在的方程为x-4y+10=0,求BC边所在的直线方程(答：2x9y650);(6)直线2xy4=0上有一点P,它与两定点A(4,1)、B(3,4)的距离之差最大，则P的坐标是(答：(5,6);(7)已知Ax轴，Bl:yx,C(2,1),VABC周长的最小值为(答：而)。提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。9.(1)直线过定点。如直线(3m+4x+(5-2m)y+7m-6=0,不论mB何值恒过定点(-1,2)(2)直线系方程(1)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线的设法：Ax+By+m=0(mwC)(2)与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线的设法

11、：Bx-Ay+m=0(3)经过直线:：Ax+B1y+G=0,l2:Ax+B2y+C2=0交点的直线设法：A1x+B1y+C1+入(A2x+B2y+C2)=0(入为参数，不包括12)(3)关于对称(1)点关于点对称(中点坐标公式)(2)线关于点对称(转化为点关于点对称，或代入法，两条直线平行)(3)点关于线对称(点和对称点的连线被线垂直平分，中点在对称轴上、kk'=-1二个方程)(4)线关于线对称(求交点，转化为点关于线对称)10、圆的方程：圆的标准方程：xa2yb2r2。圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2+E2-4F0),特别提醒：只有当2222D+E4F0时，万程xyDxEyF

12、；%D2E24F的圆（二元二次方程Ax2Bxy条件是什么？（AC0,且B0且D2E2,一 一 D E0才表不圆心为（一,一）,半径为 222Cy Dx Ey F 0表不圆的充要4AF 0）;圆的参数方程：xarcos（为参数），其中圆心为（a,b）,半径为ro圆的ybrsin参数方程的主要应用是三角换元：x2y2r2xrcos,yrsin;x2y2txrcos,yrsin（0r拈。Ax1,y1,Bx2,y2为直径端点的圆方程xx1xx2yy1yy20如（1）圆C与圆（x1）2y21关于直线yx对称，则圆C的方程为（答：x2（y1）21）；（2）圆心在直线2xy3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准

13、方程是（答：（x3）2（y3）29或（x1）2（y1）21）;（3）已知P（1,J3）是圆yrsos（为参数，02）上的点，则圆的普通方程为,2P点对应的值为，过P点的圆的切线方程是（答：x2y2=4;；3xJ3y40）;（4）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是（答：0,2）;（5）方程x2+y2-x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为（2）；（6）M（x,y）|y3sos（为参数，0），N（x,y）|yxb,若MN，则b的取值范围是（答：一3,3匹）一一,、一.一22211、点与圆的位置关系：已知点Mx0,y0及圆C：x-aybr

14、2r0,(1)点M在圆C外CM|rx0a2y0b2r2；(2)点M在圆C内CMrx0a2y0b2r2；(3)点M在圆C上CMrx0a2y0b2r2。如点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则a的取值范围是12、直线与圆的位置关系：直线l : AxBy C 0和圆C：x a 2 y b 2 r2|a|r0有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0相交；0相离；0相切;（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d,则dr相交；dr相离；dr相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用

15、几何方法较简捷。如（1）圆2x22y21与直线xsiny10（R,k,222.kz）的位置关系为（答：相离）；（2）若直线axby30与圆xy4x10切于点P(1,2),则ab的值(答：2)；(3)直线x2y0被曲线x2y26x2y150所截得的弦长等于(答：4斯)；(4)一束光线从点A(1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是(答：4);(5)已知M(a,b)(ab0)是圆O:x2y2r2内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线2l:axbyr,则A.m/l,且l与圆相交B.lm,且l与圆相交C.m/l,且l与圆相离D.lm,且l与圆相离(答：C)；(6)

16、已知圆C：x2(y1)25,直线L：mxy1m0。求证：对mR,直线L与圆C总有两个不同的交点；设L与圆C交于A、B两点，若ABJ17,求L的倾斜角；求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.(答：60°或120°最长：y1,最短：x1)13、圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断)：已知两圆的圆心分别为。1,。2,半径分别为1/2,则(1)当IO1O212时，两圆外离；(2)当|。1。212时，两圆外切；(3)当12<|。1。212时，两圆相交；(4)当|。1。212|时，两圆内切；(5)当0|。1。212|时，两圆内含。如双曲线b2A A2为直

17、径的两圆位置关系为(答：内切)1的左焦点为F1,顶点为A、隧,P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PR、14、圆的切线与弦长：切线：过圆x2y2R2上一点P(x0,y。)圆的切线方程是：x/yy。R2,过圆222.(xa)2(yb)2R2上一点P(x0,y°)圆的切线方程是2(xa)(x0a)(ya)(y0a)R,一般地，如何求圆的切线万程？(抓住圆心到直线的距离等于半径)；从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求；过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知

18、圆的公共弦就是过两切点的直线方程；切线长：过圆x2y2DxEyF0(xa)2(yb)2R2)外一点P(x0,y0)所引圆的切线的长为y2Dx0Ey0F(J(x0a)2(y°b)2R2)；如设A为圆(x1)2y21上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为(答：(x1)2y22);1(2)弦长问题：圆的弦长的计算：(垂径定理)常用弦心距d,半弦长a及圆的21O半径所构成的直角二角形来解：d(-a)；过两圆C1:f(x,y)0、2C2：g(x,y)0交点的圆(公共弦)系为f(x,y)g(x,y)0,当1时，方程f(x,y)g(x,y)0为两圆公共弦所在直线方程.。15.解

19、决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!16.圆的切线和圆系方程1 .过圆上一点的切线方程：圆x2y22,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为Xox+yoy=r2(课本命题).圆x2y2r2,圆外一点为(Xo,y0),则过此点的两条切线与圆相切，切点弦方程为x°xy°yr2。2 .圆系方程：设圆C1：x2y2D1xE1yF10和圆C2：x2y2D2xE2yF20.若两圆相交，则过交点的圆系方程为2222xyDixEiyF1+入(xyD?xE2yF2)=0(入为参数，圆系

20、中不包括圆C2,入=-1为两圆的公共弦所在直线方程).设圆C：x2y2DxEyF0与直线l：Ax+By+C=Q若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2y2DxEyF+入(Ax+By+C)=0(入为参数).，一一1，一例题1经过点R2,n)和Q235)的直线的斜率等于2,则m的值是(B)A.4B.3C.1或3D.1或4变：求经过点A(2,sin),B(cos,1)的直线l的斜率k的取值范围2 .已知直线l过P(1,2),且与以A(-2,3)、B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.1点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案：一8,-2U5,+00)3 .已知坐标平面

21、内三点A(-1,1),B(1,1),C(2,g+1),若D为ABC的边AB上一©CD斜率k的变化范围.1答案：一00,-2U5,+OO)1 .求a为何值时，直线l1：(a+2)x+(1a)y1=0与直线l2：(a1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直？答案：a=-12 .求过点P(1,1),且与直线l2：2x+3y+1=0垂直的直线方程.答案：3x-2y-5=0.例2.求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例3.已知ABC勺顶点A(1,1),线段BC的中点为口3,3).2(1)求BC边上的中线所在直线的方程；(2)若边BC所在直线在两坐标轴上的截距和是9,求BC所在

22、直线的方程.例4.方程(m22m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6满足下列条件，请根据条件分别确定实数m的值.(1)方程能够表示一条直线；(答案：m1)(2)方程表示一条斜率为1的直线.(答案：m2)例5.直线l的方程为(a2)y=(3a1)x1(aCR).(1)求证：直线l必过定点；(答案：(1,3)55(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(答案：5x+5y4=0)(3)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围.(答案：分斜率存在与不存在)例1:求点A(-2,3)到直线l:3x+4y+3=0的距离d=例2：已知点(a,2)到直线l:x-y+1=0的距离为2,则a=。(a<0)例3:求直线y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线方程。类型一：圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.变式1：求过两点A(1,4)、B(3,2)且被直线y0平分的圆的标准方程.变式2：求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆上所有的点均关于直线y0对称的圆的标准方程.类型二：切线方程、切点弦方程、