生活中的抛物线

1、026.1二次函数的图象与性质(1)本课知识要点会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括出图象的特点及函数的性质.MM及创新思维3我们已经知道，一次函数y=2x+1,反比例函数y=的图象分别是x,那么二次函数y=x2的图象是什么呢？(1)描点法画函数y=x2的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何?2(2)观察函数y=x的图象，你能得出什么结论?实践与探索例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？22(1)y=2x(2)y=2x抛物线，如图26.2.1.共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点.不同点：

2、y=2x2的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升.一2.y=-2x的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降.回顾与反思在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接.例2.已知y=(k+2)xk2""是二次函数，且当x>0时，y随x的增大而增大.(1)求k的值；(2)求顶点坐标和对称轴.(1)由题意，得J2k2 k -4 =2, 解得k=2 .k 2 . 02(

3、2)二次函数为 y=4x ,则顶点坐标为(0, 0),对称轴为y轴.例3.(1)(3)分析已知正方形周长为 Ccm,面积为S cm2.求S和C之间的函数关系式，并画出图象；根据图象，求出 S=1 cm2时，正方形的周长；根据图象，求出 C取何值时，S>4 cm2.此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时,自变量C的取值应在取值范围内.19解 (1)由题意，得S = C2(Ca0).16c2468s =c2 16141944列表:描点、连线，图象如图 26. 2. 2.(2)根据图象得 S=1 cm2时，正方形的周长是 4cm.(3)根据图象得，当 C>

4、;8cm时，S>4 cm2.回顾与反思(1)此图象原点处为空心点.(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成X、(3)在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分.当堂课内练习1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶 点坐标.-2(1) y =3xc 2 y = -3x1 2(3) y = x 32. (1)函数y=2x2的开口3,顶点坐标是(2)函数y1 2 ,一一x的开口4,顶点坐标是3.已知等边三角形的边长为2x,请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图.本课课外作业A组1 .在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.,、

5、2(1) y = -4x1 2(2) y = x 42 .填空:(1)抛物线y=-5x2,当x=时，y有最值，是2(2)当m=时，抛物线y=(m1)x开口向下.2.、k22k1(3)已知函数y=(k+k)x一一是二次函数，它的图象开口,当x时，y随x的增大而增大.23 .已知抛物线y=kxk"°中，当xa0时，y随x的增大而增大.(1)求k的值；(2)作出函数的图象(草图).2.一,，4 .已知抛物线y=ax经过点(1,3),求当y=9时，x的值.B组5 .底面是边长为x的正方形，高为0.5cm的长方体的体积为ycm3.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)画出函数的图象；

6、(3)根据图象，求出y=8cm3时底面边长x的值；(4)根据图象，求出x取何值时，y>4.5cm3.26. 一次函数y=ax与直线y=2x3父于点P(1,b).(1)求a、b的值；(2)写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小.1. 一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M(-2,2).(1)求出这个函数的关系式并画出函数图象；(2)写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出MON的面积.本课学习体会26.2二次函数的图象与性质(2)本课知识要点会画出y=ax2十k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.MM及创新思维同学们还记得

7、一次函数y=2x与y=2x+1的图象的关系吗？2.2，你能由此推测二次函数y=x与y=x+1的图象之间的关系吗？.2.2,那么y=x与y=x2的图象之间又有何关系？实践与探索例1.在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=2x2+2的图象.解列表.x-3-2-10123c2y=2x188202818y=2x2+220104241020描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.3所示.回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由

8、此说出函数y=2x2与y=2x2-2的图象之间的关系吗？例2.在同一直角坐标系中，画出函数y=x2+1与y=-x2-1的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线y=-x2+1得到抛物线y=-x2-1.解列表.x-3-2-101232y=-x+1-8-3010-3-82y=-x-1-10-5-2-1-2-5-10描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.4所示.fy2-可以看出，抛物线回顾与反思2y =-x -1是由抛物线2y = -x +1向下平移两个单位得至ij的.抛物线y = -x2 +1和抛物线y = -x2 -1分别是由抛物线 y = -x2向上、向下平移一个单位得到的.探索如

9、果要得到抛物线y=_x2+4,应将抛物线y=-x2-1作怎样的平移？1 2.例3.一条抛物线的开口万向、对称轴与y=2x相同，顶点纵坐标是-2,且抛物线经过点(i,(1) 这条抛物线的函数关系式.解由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,-2),因此所求函数关系式可看作y=ax2-2(a>0),又抛物线经过点(1,1),所以，1=a122,解得a=3.故所求函数关系式为y=3x2-2.2回顾与反思y=ax+k(a、k是吊数，aw0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下:21y=ax+k开口方向对称轴顶点坐标a>0a<0当堂课内练习1.在同一直角坐标系

10、中，画出下列二次函数的图象:1 212o12oy=x,y=x+2,y=x-2.2 22观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线y=lx2+k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？2122.抛物线y=-x-9的开口,对称轴是,顶点坐标是,它可以412看作是由抛物线y=-x向平移个单位得到的.4一一23.函数y=-3x+3,当x时，函数值y随x的增大而减小.当x时，函数取得最值，最值y=.本课课外作业A组1 21212人1 .已知函数y=-x,y=-x+3,y=-x2.333(1)分别画出它们的图象；(2)说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；1(3)

11、试说出函数y=x2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.31 22 .不回图象，说出函数y=-x2+3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函412一.一.一.数y=-x通过怎样的平移得到的.43 .若二次函数y=ax2+2的图象经过点（-2,10）,求a的值.这个函数有最大还是最小值？是多少？B组24 .在同一直角坐标系中y=ax+b与y=ax+b（a#0,b#0）的图象的大致位置是（）5 .已知二次函数y=8x2（k1）x+k7,当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式.本课学习体会26.2二次函数的图象与性质（3）本课知识要点2会回出y=a（x-h）这类函数的图象，

12、通过比较，了解这类函数的性质.MM及创新思维22我们已经了解到，函数y=ax十k的图象，可以由函数y=ax的图象上下平移所得，1212那么函数y=5（x-2）的图象，是否也可以由函数y=x平移而得呢？回图试一试，你能从中发现什么规律吗？实践与探索例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.121212y=x,y=a（x+2）,y=-（x-2），并指出匕们的开口万向、对称轴和顶点坐标解列表.x-3-2-1012312y=-x292212012292y=l(x+2)221125252022282y=2(x-2)2252892212012描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26.2.5所示.它称

13、和是时,时,探索们的开口方向都向上；对轴分别是y轴、直线x= -2 直线x=2;顶点坐标分别(0, 0), (-2, 0), (2, 0).顾与反思对于抛物线函数值y随x的增大而减小；当函数取得最值，最值y=时，函数值y1y = 2(x 2)随x的增大而增大；当 x1O1抛物线y =_ (x+2)2和抛物线y = 1(x _2)2分别是由抛物线1 2。y = - x 向左、向右平 2移两个单位得到的.如果要得到抛物线12y= (x4),应将抛物线 y =21 2 一x2作怎样的平2移？例2.不画出图象，你能说明抛物线y =-3x2与y =-3(x + 2)2之间的关系吗？解抛物线y = -3x

14、2的顶点坐标为2 .(0, 0);抛物线y=3(x + 2)的顶点坐标为(-2, 0).因此，抛物线y=-3x2与y=-3(x+2)2形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴2.2和直线x=-2.抛物线y=T(x+2)是由y=-3x向左平移2个单位而得的.回顾与反思y=a(x-h)2(a、h是常数，aw0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下:2y = a(x - h)开口方向对称轴a > 0顶点坐标a：0当堂课内练习2一，,一一一.一1 .回图填空：抛物线y=(x-1)的开口,对称轴是,顶点坐标是,它可以看作是由抛物线y=x2向平移个单位得到的.2 .在同一直角坐标系中，画出下

15、列函数的图象.一2一._、2一._、2y=_2x,y=2(x3),y=-2(x+3),并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.本课课外作业A组121,八21,八21 .已知函数y=x,y=(x+1),y=(x1).2 22(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)分别讨论各个函数的性质.122 .根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=-x2得到抛物线21 212y=(x+1)和y=-(x-1)?2 223 .函数y=-3(x+1),当x时，函数值y随x的增大而减小.当x时，函数取得最值，最值y=.2.2一4.不回

16、出图象，请你说明抛物线y=5x与y=5(x-4)之间的关系.B组2.5.将抛物线y=ax向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2,且新抛物线经过点(1,3),求a的值.本课学习体会26.2二次函数的图象与性质(4)本课知识要点1 .掌握把抛物线y=ax2平移至y=a(x-h)2+k的规律；一一22 .会回出y=a(x-h)+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.MM及创新思维由前面的知识，我们知道，函数y=2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数_222y=2x+2的图象；函数y=2x的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y=2(x3)的图象，那么函数y=2x2的图象，如何平移，

17、才能得到函数y=2(x-3)2+2的图象呢?实践与探索例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.121212y=2x2,y=2(x1)2,y=2(x1)2-2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.解列表.x-3-2-1012312y=_x2922120122921.、2y=-(x-1)2892212012212y=2(x-1)2-265203-23一20描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26.2.6所示.它们的开口方向都向,对称轴分别为、,顶点坐标分别为、.请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系.回顾与反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-h)2+k中k的值；

18、左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外，图象的平移与平移的顺序无关.探索你能说出函数y=a(x-h)2+k(a、h、k是常数，aw0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表./，、2y=a(x-h)+k开口方向对称轴顶点坐标a>0a<0例2.把抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y=x2求b、c的值.分析抛物线y=x2的顶点为(0,0),只要求出抛物线y=x2+bx+c的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值.2.2ub2b2

19、/b、2b2斛y=x+bx+c=x+bx+c=(x+一)+c-.4424b+ c - +2 ,4向上平移2个单位，得到y=(x+b)22再向左平移4个单位，得到y=(x+B2、24) cU + 2,42 .=x的顶点为(0,0),则其顶点坐标是(b4,c-b-+2),而抛物线24上一4二02c-2=04解得b=8c=14探索把抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线22,y=x,也就意味着把抛物线y=x向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线y-x2bxc.那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试.当堂课内练习221 .将抛物线y=2(x-4)-1

20、如何平移可得到抛物线y=2x()A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位B.向左平移4个单位，再向下平移1个单位C.向右平移4个单位，再向上平移1个单位D.向右平移4个单位，再向下平移1个单位322.把抛物线y=-x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关2系式为.1212工3.抛物线y=1+2xx可由抛物线y=-2x向平移个单位，再向平移个单位而得到.本课课外作业1 .在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.y=4x2,y=3(x+2)2,y=4(x+2)2-1,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.2 .将抛物线y=-x2+2x+5先向下平移1个单位，再向左平移4个单

21、位，求平移后的抛物线的函数关系式.123.一.一12_3 .将抛物线y=x+x+如何平移，可得到抛物线y=x+2x+3?222B组4 .把抛物线y=x2+bx+c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线2y=x-3x+5,则有()A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=21_2.一_2.,.一一一，.一5 .抛物线y=-3x+bx+c是由抛物线y=3xbx+1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值.6 .将抛物线y=ax2(a*0)向左平移h个单位，再向上平移k个单位，其中h>0,k<0,求所得的抛物线的函数关系式.本

22、课学习体会26.2二次函数的图象与性质(5)本课知识要点1 .能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(xh)2+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2 .会利用对称性画出二次函数的图象.MM及创新思维我们已经发现，二次函数y=2(x3)2+1的图象，可以由函数y=2x2的图象先向平移一个单位，再向平移个单位得到，因此，可以直接得出：函数y=2(x-3)2+1的开口,对称轴是,顶点坐标是.那么，对于任意一个二次函数，如y=-x2+3x-2，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？实践与探索例1.通过配方，确定抛物线y=-2x2+4x+6的开口方向、对称

23、轴和顶点坐标，再描点画图.2一一解y=-2x4x62=-2(x2-2x)62=-2(x2-2x1-1)6=-2(x-1)2-11-6x-2-101234一 2,一y = 2x +4x +6-1006860-102=-2(x-1)2 8因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1 ,顶点坐标为(1,8). 由对称性列表：描点、连线，如图 26. 2. 7所示.回顾与反思(1)列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，.(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点.探索对于二次函数y=ax2+bx+c,你能用配方

24、法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴,顶点坐标.例2.已知抛物线y=x2(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，求a的值.分析顶点在坐标轴上有两种可能：(1)顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0;(2)顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0.2解y=x2-(a+2)x+9=(x-a-)2+9-(a2)24则抛物线的顶点坐标是la29-(a+2).：2,4一a2-当顶点在x轴上时，有=0,2解得a=-2.2当顶点在y轴上时，有9-(a2)=0,4解得a=4或a=-8.所以，当抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上时，a有三个值，分别是2,4,8.当堂课内练习，一一21.(1)二次函数

25、y=-x-2x的对称轴是(2)二次函数y=2x22x1的图象的顶点是,当x时，y随x的增大而减小.(3)抛物线y=ax24x6的顶点横坐标是-2,则a=.212 .抛物线y=ax+2x+c的顶点是(一,1),则a、c的值是多少？3本课课外作业A组12八5一_1.已知抛物线y=x-3x+-,求出它的对称轴和顶点坐标，并回出函数的图象.2222.利用配方法，把下列函数写成y=a(x-h)+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y=-x2+6x+1(2)y=2x2-3x+42(3) y = x +nx/ 、2(4) y = x + px +q3.已知y=(k+2)xk2*k，

26、是二次函数，且当x>0时，y随x的增大而增大.(1)求k的值；(2)求开口方向、顶点坐标和对称轴.B组224 .当a<0时，求抛物线y=x+2ax+1+2a的顶点所在的象限.5 .已知抛物线y=x2-4x+h的顶点A在直线y=-4x-1上，求抛物线的顶点坐标.本课学习体会262二次函数的图象与性质(6)本课知识要点21 .会通过配万求出二次函数y=ax+bx+c(a#0)的最大或最小值；2 .在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值.MM及创新思维在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80

27、元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数y=10x2+100x+2000.那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗？实践与探索例1.求下列函数的最大值或最小值.(1) y =2x2 3x -5 ;2 y = x 3x+4.分析由于函数y=2x23x5和y=x23x+4的自变量x的取值范围是全体实数,所以只要确定它们

28、的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.解（1）二次函数y=2x23x5中的二次项系数2>0,因此抛物线y=2x2-3x-5有最低点，即函数有最小值.一，93o49因为y=2x2-3x-5=2（x-3）2-9,48所以当x=3时，函数y=2x23x5有最小值是29.482（2） 一次函数y=x3x+4中的二次项系数-K0,因此抛物线y=x2-3x+4有最高点，即函数有最大值.3c25因为y=-x-3x+4=_(x+)+,243o25所以当x=时，函数y=x3x+4有最大值是.24回顾与反思最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a>0有最小值，a<0有最大值

29、；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.2探索试一试，当2.5WxW3.5时，求一次函数y=x-2x-3的最大值或最小值.例2.某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表:x（元）130150165y（件）705035若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元?此时每日销售利润是多少？分析日销售利润=日销售量x每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量.解由表可知x+y=200,因此，所求的一次函数的关系式为y=-x+200.设每日销售利润为s元，则有2s=y(x-120)=-(x-

30、160)+1600.因为一x+200>0,x-120>0,所以120ExE200.所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元.回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果.例3.如图26.2.8,在Rt/ABC中，/C=90°,BC=4,AC=8，点D在斜边AB上，分另IJ作DE，AC,DFXBC,垂足分别为E、F,得四边形DECF,设DE=x,DF=y.(1)用含y的代数式表示AE;图泰.2.8(2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；(3)设四边形DECF的面积为S,求S与

31、x之间的函数关系，并求出S的最大值.解(1)由题意可知，四边形DECF为矩形，因此AE=AC-DF=8y.DEAE_x8-y(2)由DEHBC,个于=即一=BCAC48所以，y=82x,x的取值范围是0<x<4.（3） S=xy=x(82x)=-2x2+8x=2(x2)2+8,所以，当x=2时，S有最大值8.当堂课内练习21 .对于二次函数y=x2x+m,当x=时，y有取小值.一一22 .已知二次函数y=a(x-1)+b有最小值T,则a与bN间的大小关系是()A.avbB.a=bC.a>bD.不能确定3 .某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售

32、，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？本课课外作业A组1 .求下列函数的最大值或最小值.2 2(1) y=_x2x；y=2x2x+1.2,已知二次函数y=x26x+m的最小值为1,求m的值.，3 .心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0MxE30).y值越大，表示接受能力越强.(1) x在什么范围内，学生的接受能力逐步

33、增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分时，学生的接受能力是多少？(3)第几分时，学生的接受能力最强？B组4 .不论自变量x取什么数，二次函数y=2x2-6x+m的函数值总是正值，求m的取值范围.5 .如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2.(1)求S与x的函数关系式；仁a(2)如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？，丁(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.卜6 .如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,

34、线段EF在对角线AC上，EGXAD,FHXBC,垂足分别是G、H,且EG+FH=EF.(1)求线段EF的长；(2)设EG=x,力AGE与CFH的面积和为S,写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值.本课学习体会26.2二次函数的图象与性质(7)本课知识要点会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式.MM及创新思维一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式.例如：我们在确定一次函数y=kx+b(k#0)的关系式时，通常需要两个独k立的条件：确te反比例函数y=(k#0)的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定x二次函

35、数y=ax2+bx+c(a¥0)的关系式，又需要几个条件呢?实践与探索例1.某涵洞是抛物线形，它的截面如图26.2.9所示，现测得水面宽1.6m,涵洞顶点。到水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点。的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系.这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是2y=ax(a<0).此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式.解由题意，得点B的坐标为(0.8,-2.4),又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入y=ax2(a<0)

36、,得-2.4a0.82所以1515c因此，函数关系式是y=X2.4例2.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2);(2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1);(3)已知抛物线与x轴交于点M(-3,0)、(5,0),且与y轴交于点(0,-3);(4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x轴两交点间的距离为4.分析(1)根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为y=ax2+bx+c的形式；(2)根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为y=a(x-1)2-3,再根据抛物线与y轴的交点可求出a

37、的值；(3)根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为y=a(x+3)(x-5),再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；(4)根据已知抛物线的顶点坐标(3,-2),可设函数关系式为y=a(x-3)2-2,同时可知抛物线的对称轴为x=3,再由与x轴两交点间的距离为4,可得抛物线与x轴的两个交点为(1,0)和(5,0),任选一个代入y=a(x-3)2_2,即可求出a的值.解(1)设二次函数关系式为y=ax2+bx+c,由已知，这个函数的图象过(0,-1),可以得到c=-1.又由于其图象过点(1,0)、(-1,2)两点，可以得到-a+b=1=a-b=3解这个方程组，得a=2,b=-1.所以，所求二次函数的关系式是y=2x2-2