复变试题答案

1、复变试题,选择题（30分）1. 设=部则zFz 33-2的值为（）oA. i ; B. 1; C. i ； D. 12. 方程Re（z2） = l所代表的曲线是（）。A.圆周；B.椭圆；C,双曲线；D.抛物线3. 函数0） = Lnz在2 ="'处的值为（k为整数）（）C. 2km - D. (2 k + -)mA.(2kAr + l)i ； B. (2k + l)m ；4,设函数f(z) = u + iv在区域D内解析,则"，v的雅可比（Jacob）矩阵行列式aw¥ dv5.J(X,A. |r(z)|；ay源一I8xlaB.=()o；c.2.7D.设 C

2、 :|z| = 1,则SmZ .-dz=()oA.-龙；B. m ；c. 0； d. -2m6.8'，则双边幕级数的收敛域为（” =_83 +n若 c =<4 ,=0 1 2cn = -1,-2,?8.B.4< |z| < 3 ；设函数竺与在z-i = 2内的奇点个数为2z-3 11A. 1; B. 2; C. 3;设 F/(Z) = F(to),如果当 £+8 时,C. jv|z|v+8 ； D. J < |z| < +oo()oD.4g(t)= f f(u)du 0 ,则J-8<7f(u)du=(A. -ei7o)F(-)-,2ia)

3、2B. e 2>(-);i(o 2C. e，2>(ty);2i(oD. ei7o,F(to)ito9.积分2（U+4）3（1T也的值为（）A. 2( +4); B. 8; C. -10; D. 1010.利用Laplace变换的性质，实积分 °佬一 "sinZ>W(a > 0)=()aa2-b2lab-lab(a2+b2)2'(a2+b2)2,(a2+b2)2,(a2+b2)2%1.填空题（21分）1.一复数对应的向量按逆时针方向旋转晋后对应的复数为1 + i ,则原复数是-2一2. 已知Z = 亍,则Z的辐角主值为01 + V3i3 .函数

4、 f(z) = x2+iy2,则/'(l + z) =o4.设蓦级数£ c “z"与£A（&止”的收敛半径为和，那么和之间的关系 ?=0 ?=0是o5.8（。）= 2cos3切的傅氏逆变换f（t）为o6 ,已知 Ff(t) = F(a),设 gi(t) = f(t)*= f(t)*f(t +1o),则Gi (切)=Fgi( £ =G(D)= Fg 2(t) = o%1.判断下列命题的正误，正确的在后面的括号里划错误的划X （14分）。1. 复变数的指数函数是以 2ki（k为正整数）为周期的周期函数。（）2. 设f（z） = u + iv在

5、区域D内是解析函数，如果“是实常数，那么/'（Z）在区域D内是是常数；如果 v是实常数，那么/Xz）在区域。内是常数；。（）3.若z°是函数/'(Z)的奇点，贝U /'(Z)在Z。点不可导。C:|z|=r(O<r<l)的积分等于4.被积函数/'(z)在0 v|z|v 1内解析，且沿任何圆周零, 则/'(z)在z = 0处解析5. 在Z = 0处解析且在Zn =处取下列值n1111111122446688的函数/ '(z)是不存在的。()6. 设f(z) = (z-z°ym(p(z),(p(z)在点解析，所为自然数，

6、则Z0为/'(Z)的所级极点。()7. 若z = 0为偶函数/z)的一个孤立奇点，贝iJRes/,0 = 0o() %1. 计算题(27分)1.H .2. 函数 1在有限复平面有些什么类型的奇点，如果是极点，指岀其级数，并求岀z(z-D2这些奇点处的留数。3.求函数/'(Z) =7 + 在0 <|z|< 1及1 <|z l|<+8内的洛朗展式。4.利用Laplace变换求初值问题矿+ 2)'- 3)=。”，火。)=0,y'(0) = 1的解%1. 证明题(8分)已知?/ (，)= n n (夕>0)，证明秘",t >

7、 0-,t = 0 20J < 0r /3cos (a + a ) sin ( m<°at 命 fl 2 +a ) 2“复变函数及积分变换”答案%1.选择题（共30分，每题3分）1B,2C,3A,4C,5C,6A,7D,8B,9D,1OC%1.填空题（共21分，每空3 分）5 ./ 7U1. 41e 12 ,3. 2,4- R<R25. d( t - 3 )+ 6( t + 3)6. icoFa>) ,a°(o)%1.判断题（共14分，每题2 分)1. X2. V3. X4.X5. V6. X7. V%1.计算题（共27分）1.（7分）2 （7 97

8、 + 8" | |解：被积函数 2在时=2内有两个奇点，z = 0为一级极点，Z = 1为二级极 点不相交。则（亍一9z + 8）e(f-9z +8)e 分别以z = 0, Z = 1为圆心作两个小圆G : |z|= 卜 , C2 :|z-l| = r2,使它们互不包含互一以2m-8 +2m成-9z + 80=16 万一 14 万 e2.( 7.5分（第1个积分2分，第二个Resf(z),O1分1 11_1_因为乙=1是函数Z(Z )2的二级零点，不是函数e -1的零点,f(z)二级极点。/ 2分(ez -1八Resf(z),l=lim -(z-1)2 =11)2J2分3. (5 分

9、)(1) 0<|z|<l,所以2f(Z)=弓(-土 )=(+Z 1Z Z Z n=0n=0马(-如")=-n=01<1|<+8f(Z) 2(z-l)2 | _ Z-l Z2 Z-1=£-i)；)n=0V)'=*)'=T"=V"")'Z-l=£i)"( +i)n=01原式n+2(z-l)=£(-)n=01001厂 + y (T) (n + 1)(z-1) =0(z -1)811)77顷力n=l(Z-l)4设Ly(f) = 丫(s),对方程的两边取Laplace变换，则得

10、s Y(S) sy(O) v'(0) +2sY(s) -2v(0)-将初始条件代入整理得(广 + 2s - 3)7(5)3Y(s)=5 + 1 s+ 25+3 5-1即 Y(s)=(s + l)(s + 3)(s取其Laplace逆变换得-t 1 3,3e e H e8 8%1. 证明题（8分）证明：f（ ?）'f （f）e&故=ae°再取其傅氏逆变换得ica I e- dt+8/3 + ico?3在f。）的连续点处/(O-a-竖 idcoft -ico("cosico ,.(cos 破 + Z sin + 1 cot)do) co 1cot + 刃 sin ax) + i(J3sin cot(/? cos?cos a) t