高等代数李海龙习题第10章群、环和域简介

1、第十章 群、环和域简介10.1 群1 判断下列集合对于所给的运算来说哪些作成群,哪些不作成群：(1) 某一数域F上全体矩阵的加法；(2) 全体正整数对于数的乘法；(3) 对于数的乘法；(4) 对于数的乘法；(5) 对于数的乘法解：(1) 设数域F上全体矩阵的集合为，对于矩阵的加法来说作成一个加群因为对任意，有1°=(加法结合律) 2°中存在零矩阵，使得对任意的，有3°对于，有使得4°对于，有(2) 全体正整数对于数的乘法不作成群因为对于数的乘法来说，单位元是1，但是对于正整数a=2来说不存在正整数b使得a×b=1(3) 集合对于数的乘法作成阿贝

2、尔群因为1°对于，有=2°在中有，使得，有=3°对于，存在使得=14°对于，有=(4) 集合对于数的乘法来说不作成群因为中的单位元是1，而对于不存在，使得(5) 集合对于数的乘法作成群（阿贝尔群）因为对于任三个元素来说，结合律显然成立再者有单位元1对于中元素来说=，并且1的逆元是1，的逆元是2 证明群中的指数规则（1）、（2）证明：设是一个群，则，对于Z,如果，设， ，并且注意当时，对于，有于是1°当时，=；2°当时，=，当时，同理可证；3°当时，=；4°当时，=所以对任意Z,都有=,即（1）式成立其次我们先证对于

3、任意的Z，都有=再由定义=，根据中每一个元素的逆元的唯一性，=以下证明等式（2）成立1°当时，=2°当时，=当时，=3°当时，=综上所述所证，群中指数规则（1）、（2）成立3 设，的乘法由下面的表给出：证明对于所给的乘法作成一个群证明：根据的乘法表可知，所以的乘法是可换的，以下证明对于乘法作成一个群1°结合律成立由于对于所给的乘法是可换的，对于结合律我们只要验证也容易验证以下的情况即可；其它情况由的乘法可换性，立即可以证得2°中有单位元，使得对于中任意元素，都有，3°中每一个元素都有逆元，的逆元是，（因为），而的逆元是，的逆元是，（因

4、为）所以对于所给的乘法作成一个（可换）群4 证明，一个群是阿贝尔群的充要条件是：对任意的和任意的整数，都有 证明：必要性，已知群对乘法运算可换，且对结合律成立设，而是任意的整数，因为对指数规则（1）、（2）成立故有=充分性，设，而是整数，有，令，则有，即=，所以=，在此等式两边左乘以并右乘以，得=，所以 =，即 =所以是一个阿贝尔群5 证明，群的两个子群的交还是的一个子群证明：设，是群的两个子群，则（至少有一个单位元）1°对于则且，因为，是子群，所以且，所以；2°设，则且因为，是子群，所以且，所以，所以，由子群的定义可知，是的一个子群6 证明，维欧氏空间的全体正交变换作成上

5、一般线性群的一个子群，这个群称为上的正交群，用记号表示证明：一般线性群是指维欧氏空间上全体可逆线性变换的集合对上的线性变换与线性变换的乘法来说作成的群因为正交变换是可逆的线性变换，且单位变换也是正交变换所以是的非空子集任意两个正交变换的乘积也是正交变换，即乘法封闭正交变换的逆变换也是正交变换所以，维欧氏空间的全体正交变换的集合是一般线性群的一个子群7 令是群中的一个元素，令，证明是的一个子群，称为由生成的循环子群特别，如果=，就称是由生成的循环子群试各举出一个无限循环子群和有限循环子群的例子证明：显然，故非空，设，则；设，则，所以是的一个子群例1：设，运算是加法运算，则是无限循环群例2：设运算

6、是剩余类的“加法”，则是由生成的有限循环群，它只有7个元素8 令=，设，定义 就是对的行作置换所得的矩阵，令=，其中是单位矩阵，证明作成的一个与同构的子群证明：首先注意以下的几个事实：1°设，由矩阵的乘法可知=（）2°集合=中的任一元素都是由阶单位矩阵的各行所给的若干次的置换而得到，所以，每一个的每一行和每一列都是只有一个位置上的元素为1，其余位置上的元素全为0，并且而都是由的各行经过对换而得到的所以=3°容易计算，集合=共有个不同的元素，不妨设为：=；所以是群的一个非空子集现在证明与同构，由于是一个群，所以是的一个子群(1) 集合对的运算（即矩阵乘法）是封闭的设

7、，则和是的两个元素（矩阵）因为的第1，2，行分别是维向量，所以的第1，2，行分别是维向量，而的第1，2，行分别是维向量，由上述的事实2°可知的各列也是由一些单位向量所组成设其在第1，2，列分别是维向量，此处，是1，2，的某一个排列设=（是矩阵）由矩阵的乘法可知的第行的各个元素分别是，由上述事实1°可知，这个数中只有一个时才等于，其余各数均为0，（因为是1，2，的某一个排列），这样矩阵的第行只有一个位置的元素是1，而其余位置的元素均为0，并且当不同时，1的位置不同，令=1，2，可知矩阵的各行各列的元素都只有一个位置的1，而其余位置的元素均为0，并且=，所以，即(2) 存在着到

8、的一个同构映射如上所述，=，设是的任意一个矩阵，用右乘的各个元素，得，因为对乘法是封闭的，所以它们仍是中个不同的元素（因为若=，由的可逆性则有=），这样我们得到一个元素之间的一个置换，所以我们定义到的一个映射a） 是到的一个双射它显然是满射，现证是单射设，且，则，因为若=，=1，2，由中元素的可逆性，则有=这与矛盾，所以是到的一个一一映射；b） 是到的一个同构映射，设，依的对应法则=，=，设，则有：=所以是到的一个同构映射所以和同构，又由于是群，因而也是群且9 设是一个群，映射，叫做的一个左平移证明：(1) 左平移是到自身的一个双射；(2) 设，定义（映射的合成），则的全体左平移对于这样的定义

9、的乘法作成一个群；(3) 证明：(1) ，是到的一个双射首先是一个满射，因为对于任意的，总存在一个，使得，其次的一个单射，因为，并且则(2) 是一个群因为对映射的乘法是封闭的，且对映射的乘法满足结合律另外，设是的单位元，则是的单位元，对于都有=最后，设，因为，所以存在一个映射，使=，即中每一个元素都有逆元，所以是一个群(3) ，作到的一个映射：容易证明是双射且若，=所以是到的一个同构映射，即10 找出三次对称群的一切子群（注意：要求证明你找出的子群已经穷尽了的一切子群）解：三次对称群=共六个元素现在设是的一个非空子集，如果要做的子群，则必须对的运算是封闭的；同时有作为单位元，并且若则，而的逆元

10、是，的逆元是，的逆元是，的逆元是在的一切非空子集中，可能构成的子群的非空子集只有以下情况：=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,经检验，除,可构成的子群外，其余的子集都对乘法不封闭，所以不构成的子群10.2 剩余类加群1 写出的加法表解：略2 证明：是循环群，并与次单位根群同构证明：设是模的剩余类加群，其元素有个：，因为，这就是说中任意元皆是的倍数，所以可由生成，即=，故是循环群又设是次单位根群，则是阶群，以表示的一个单位原根，则=，作到的一个映射，则显然是到的一个双射并且对于都有1°若，则=；2°若，则，故有=所以是到的一个同构映射，即与同构3

11、找到的所有子群解：已知，依习题10.1习题10的方法，在加群中，是单位元，与互为逆元，与互为逆元，与互为逆元所以，可能构成的子群的集合有下列几个：，=，经检验，是的子群，其余子集均对运算不封闭，不能构成子群因此，的一切子群有，=，4 证明，每一个有限群含有一个子群与某一个同构证明：设是元有限群，是的单位元，是中任意的元，作元素a的非负整数幂：=,因为是群，故上列这些元均是中的元素，又因为是阶群，故上列元必有相同的设,且，不妨设，而，所以=,即我们把满足这一条件的最小正整数m称为元a的阶，显然，若a的周期为m，则，（否则G有多于n个元素，这与G是n阶群）令，因为，所以H是群G的非空子集，现证H是

12、G的子群，且1°H是G的子群首先H的元互不相同因为若，且则，（若，设，则，而这与是的阶矛盾）同时，H对G的乘法封闭设则有，若，则，若，则，则，其次有单位元，最后设，则则必有正整数，使得，这时所以中任意一元都有逆元2°为了方便我们记作到的一个映射，显然是双射设，若，则 ，若则设，则所以是到的一个同构映射，即5 设G、H是群，在中定义乘法：，证明，按照这样的乘法来说作成一个群证明：因为，G、H是两个群1°对乘法封闭设，因G、H是群，故，故2°的乘法适合结合律，设，则，又G、H是群,故，适合结合律因此=3°中有单位元，其中设，分别是G、H的单位元因为

13、对于，=，=4°中每个元都有逆元，其中，分别是，的逆元因为= ，=综上所证，对所定义的乘法作成一个群6 写出和，证明，证明：，=，=以下证明，因为是一个6阶循环群，而元素的阶是6，故可作为的生成元，在中的阶也是6，故可以作为的生成元，即=所以是6阶循环群作到的映射：，则在下，我们有，显然是双射再对的=16种情况逐一验证，知是一个同态映射，因而是到同构映射，即 7 任何一个四阶循环群或者与同构，或者与同构证明：设是任一四阶群，以下分两种情况讨论：(1) 若是任一四阶循环群，则，而做到的映射，显然是双射，现设，若，则=，若，则，则 =所以是同构映射，即(2) 若不是循环群，则作为一个群，

14、其乘法表为显然，非循环群，的非单位元的阶都是2，即，而= ，由的运算性质可知，的每个非单位元的阶也都是2做到的映射，容易看出，映射是双射，再对的=8种情况逐一验证，知是一个同态映射，所以映射是同构映射，即10.3 环和域1 证明，在一个交换环R里，二项式定理=对于任意的和正整数n成立证明：设，我们对于正整数n用数学归纳法来证明1°当n=1时，=，命题成立；2°当n=2时，=,命题成立；3°假定当n=k时，命题成立，即有=成立，对于n=k+1时，我们有：= =,故结论成立2 设R是一个环，并且对于加法来说R作成一个循环群，证明R是一个交换环证明：由题设存在元a生成，

15、使得设，则，有=，=所以=，即R对乘法满足交换律，故R是一个交换环3 证明，对于有单位元的环来说，加法适合交换律是环定义里其它条件是结果（提示：用两种方式展示）证明：R是一个有单位元1环，则由环定义中条件（3）可知=，而=，因此 =，所以 =4 写出和的加法和乘法表解：略5 设R是一个只有有限多个元的交换环，且R没有零因子，证明R是一个域证明：因为R是一个只有有限多个元素的交换环，故可设是R的全部非零元，这意味着这n个元互不相同设是中之一，以乘以的所有元得，由于R没有零因子，故这n个元素仍是R的非零元，且各不相同（因为若，由于R没有零因子，故消去律成立，得到与元素各不相同矛盾），所以除去次序不

16、同和必完全相同因此，对于这个，必有一个存在（）使（因为如果不是这样，则中没有一个等于，这与与完全相同矛盾），因为R是一个交换环，所以1°以下我们证明是单位元设是G的任一元，由以上证明知除去次序不同和必完全相同，所以必有=，=,再由R是一个交换环，知，所以是G的单位元，记为是G的单位元2°以下证明G中的元素都有逆元，为此我们对G重新排序记为，设是G任意元，以乘以中每一个元，得，则由以上证明知除去次序不同和必完全相同，因而必有所以G是一个可换群，所以R是一个域6 设R是一个环,，如果存在一个正整数n，使得，就说a是一个幂零元证明，在一个交换环里，两个幂零元的和还是幂零元证明：设

17、是两个幂零元，则有n,m是正整数，使得，由本习题1，在交换环中二项式定理成立，故有=因为,所以=0，所以是幂零元7 证明，在一个环R中，以下两个条件等价：（i） R没有非零的幂零元；（ii） 如果，且则证明：设（）成立我们证明（）成立因为，但是R中没有非零幂零元，所以反之，设（）成立我们证明（）成立设是任一幂零元，则存在一个正整数n,使得，以下证明，假设，由（）成立，则有（否则由若则，矛盾），同理，即，如此继续下去，则有，而当时，由已知有，矛盾所以，假设不成立，即（）成立8 设与是环，是一个同态映射，证明，（i） 是的一个子环；（ii） 是的一个子环，并且对任意的，都有，如果与都有单位元，能不

18、能断定是的单位元？当是满射时，是的单位元？证明：(i) 因为与是环，是一个同态映射，所以（此处0是的零元，是的零元），所以，又，即是的非空子集所以对于，有（因为是环，所以），并且所以是的一个子环；(ii)因为与是环，是一个同态映射，所以，所以，设，则，于是，所以，且，故，因此，是的一个子环对于，则，所以如果与都有单位元，是一个同态映射，则不一定是的单位元，例如，作的映射，则显然是一个同态映射，但不是的单位元如果是满射，是的单位元9 设和是域，是同态映射，证明，或者，或者是个单射，（提示：利用第8题（）证明或者等于零，或者等于）证明：因为和是域，是同态映射，所以和是环，由上题（）知是的一个子环（

19、域），以下分两种情况讨论：（i） 若，则对于任意的，有，于是 ，所以，但，所以，所以是个单射；（ii） 若，则必有非零元素，设并且，又因为是域，所以在中必有逆元，由上题（）知，即，设是中任意元素，再由（）的结果可知：，所以，而，所以，当时，10 证明，2阶实矩阵的子集作成一个与复数域同构的域证明：首先证明是环的一个子域设，是任意两个元素，其中a,b,c,d,则=,又当时，c,d不全为零，则，所以存在，且，所以，于是=,所以是环的一个子域，现在作复数域到的一个映射，显然，是到的一个双射现在设，则=又=所以是到的同构映射，即作成一个与同构的域11 令是有理数域，是一个环，而，都是到环的环同态，证明，若对任意整