三角恒等式证明9种基本技巧

1、三角恒等式证明9种基本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。1 .化角观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。例1求证:tan 3x - tan1 2sin xx =2 cosx cos2x思路分析：本题的关键是角度关系:31x= x - x，可作以下证明:2 22化函数三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三

2、角 变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式， 这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。tan(A B) + sin2 Ctan A sin2 A=1,求证:tanA、tanC、tanB顺次成等比数列。思路分析：欲证tan 2C = tanA tanB ,将条件中的弦化切是关键。3 .化幂应用升、降幕公式作幕的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式 证明的一种技巧。例 3 求证 cos4 a -4cos2 a +3=8sin 4 a思路分析：应用降幕公式，从右证到左：4. 化常数将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需

3、要，这方面的例子效多。女口1=sin 2 a +COS2 a =SeC? a -tan 2 a =CSC2 a -cot 2 a =tan a cot a =sin a CSC a =COS a Sec a ， 仁tan45°=sin90 °=cosO°等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。例4求证1 2 Si n cos 1 tan2 2 =- cos sin 1 tan思路分析：将左式分子中“ 1 ”用“ Sin 2a +cos2 a”代替，问题便迎刃而解。5. 化参数用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。2 2 2

4、 2 2 2 2 2例 5 已知 acos a +bs in a =mcos 3, as in a +bcos a =nsin 3, mta n a =ntan 3 ( 3 n n ) 求证：(a+b)(m+n)=2mn6. 化比一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。2 2I2例 6 已知(1+ cos a )(1-cos 3 )=1- ( 丰 0, 1)。求证：tan = tan 2 1 21思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将分离出来，以结论中1一为向导，应用合

5、比定理1即可达到论证之目的。7化结构观察等式左右结构上的差异，立足于统一结构形式也是三角恒等式的一种技巧。例7设A+B+Cn，求证:sin A+si nB+si nC=4cosABC一 cos cos 一2 2 2思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。&化拆项这一类恒等式可与数学求和结合起来，常拆项相消法。n 1 n cos xsin x 例 8 求 cosx+cos2x+ +cosnx=22.x sin 2思路分析：左边同乘以sin -,去括号，积化和差可得29.数学归纳法与自然数有关的命题，还可以用数学归纳法解决。上述例题可用数学归纳法证明。三角恒等式的证明【考点

6、回顾】1 三角公式在恒等变形中的应用；2. 常规恒等变形方法、定义法、分析法、综合法、比较法、切割化弦等方法.例 1.求证：3 tanA 60)tanA 60) tanAtanA 60) tanAtanA 60) 0.1例2 .求证：2 coscos2cos3cos ncos n cos(n 1)2(1 cos )cossin2(cossin )例3.求证：1 sin1 cos1 sincos【基础训练】(sina +tan a )(cosa +cot a )=(1+sina )(1+C0S a ).222. 求证：(1 tan a )=(cos a -cot a )(sec a +1tan

7、a ).3. 求证：si n3sin 2 2 sin21sin 14. 求证：tan 13 x tan8 x tan5 x = tan 13 xtan8 xtan5 x.【拓展练习】1 .条件甲：3sin a cos( a + 3 )=sin(2 a + 3 )，条件乙：tan( a + 3 )=2tan a ,则甲是乙的( )A.充分条件B.必要条件24 cos( )2.等于cottan2 2A1.A.sin cos2B. sin2 a3.已知a、3均为锐角，且sin- sin(2A.a > 3B.a < 34.求证:C.充要条件D.即不充分也不必要条件C. sin2 a1 D.

8、sin 216),则a、3的大小关系是()C.a<3D.a与3的大小不确定tan 5x tan 3xcos2x cos4x4(tan5x tan 3x).5.求证：(cscA+cotA)(1 si nA) (secA+ta nA)(1-cosA)=(cscA secA)2 (1 cosA)(1 sin A).6.求证:1 secx tan x 1 sin x1 secx tan xcosx7.求证： cot cot 2 cot 42 2 cos2 3cos4sin 48 8& 求证：cossincos21sin 4 sin 2a.49.求证：tantan 2 2；tan4A co

9、t2n 12n12cot210.求证：（1） cosCn cos 2Cn cos 3nn nCn cos( n 1)2 cosn 2 cos 2 2(2)sinC，1 sin2C3 sin3Cn sin(n 1)2ncosn-si n 口2 211.在矩形ABCD中,P为时间线BD上一点,API BD PE丄 BC，PF丄 DC.2求证：（H）32PF -(-PF)3 1.BD三角恒等式证明答案2si n(3x 11.右式=222cosxcosx2 231x) sin xcos-x223. 1cos xsin x2 231cos xcosx2231=tan x - tan x。222.sin

10、2C=ta n2 C21 tan Csin 2A=tan2 A1 tan2 Asin2 Csin2 Atan2C(1 tan2 A) tan2 A(1 tan2 C)由已知可得2 2sin C _ tan(A B) _ tan B(1 tan A)2 1- ，2tan C = tan B tan A21 tan C 1 tan Atan Bsin Ata nAtan A(1 tan Ata nB)tan B(1 tan2 A) = tan2 C(1 tan2 A) tanA(1 tan Ata nB) tan2 A(1 tan2C)2 _ .即tan C = tanA tanB 命题成立。3思

11、路分析：应用降幕公式，从右证到左:右边=8( 1_)2=2(1-2cos2 a +cos22 a )= 2(1-2cos2 a +1)=COS4 a -4cos2 a +3=左边。24思路分析：将左式分子中“ 1”用"sin 2 a +cos2a ”代替，问题便迎刃而解。左边=(sn cos )2(cos sin )(cos sin )(sin cos ) _ 1 tancos sin=右边tan5.思路分析：消去参数，当m=0时，由mtan2 a =ntan23得n=0，显然成立。当 mr 0时,只须消去2222a、3 即可。由 acos a +bs in a =mcos 3, a

12、sin a +bcos=nsin 2 3 得22asinbcos22acosbsin= tan 2 3 , 再由 mtan2 a =ntan 2 m2 2a sin bcos 丄 2 =ta n2 2a cos bsina即可得ata n2 b 22=tan aa bta n2解得 tan 2 a =1,所以 sin 2 a =cos2a2求得 cos2 3 = _b ,2msin 23 =，又由 cos2 3 +sin23 =1 不得。电丄+邑丄=1 ,2n2n2m即(a+b)(m+n)=2mn6思路分析：综观条件与结论,可考虑从条件中将分离出来，以结论中11一为向导，应用合比1定理即可达到

13、论证之目的。由已知得 1+ cos a2cos 3 - cos a cos 32 2=1-, (cos a cos 3-1)= (COS a -COS 3 )，-coscos依合分比定理得cos cos 1cos cos cos cos 1 = (1 cos )(cos cos cos 1 cos cos (1 cos )(cos4cos2 sin21) 4cos2sin2 2 222212=ta n cot tan = tan 2 2 2 1 27.思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。A+B+C= nsinC=sinn -(A+B)=sin(A+B)左边=2sinBcosAB + si n(