第3章离散傅立叶变换

1、第3章 离散傅立叶变换3.1 离散傅里叶变换的定义 3.1.1 DFT的定义、DFT与Z变换（ZT）、傅里叶变换（FT）的关系及DFT的物理含义1、DFT的定义设是一个长度为M的有限长序列， 则定义的N点离散傅里叶变换为的离散傅里叶逆变换为，称为旋转因子，称为DFT变换区间的长度，NM例 ，求的8点和16点DFT 设变换区间N=8， 则设变换区间N=16， 则2、DFT与Z变换（ZT）、傅里叶变换（FT）的关系设序列的长度为N， 其ZT和FT分别为：比较上面二式可得关系式物理含义：序列的的DFT的物理意义是对的频谱在上的等间隔采样，采样间隔为，即对序列频谱的离散化。结论：(1):DFT变换区间

2、长度不同，变换结果不同，一旦确定，与一一对应；（2）当足够大时，的包络包络可逼近（3）表示频率点处的幅度谱线。如果是一个模拟信号的采样，采样间隔为，则与相应的模拟频率的关系为 对于模拟频率而言，点DFT意味着频率采样间隔为称为频率分辨率，为表示时域采样的区间长度或记录长度，所以，要提高频率分辨率，就必须使记录时间足够大。3.1.2 DFT的隐含周期性1、是以为周期的，就以为周期的。对于非周期序列，可以通过周期延拓得到，常取主值区间为研究对象：2、有限长序列的点离散傅里叶变换也可以定义为的周期延拓序列的离散傅里叶级数系数的主值区间。例：有限长序列及其周期延拓 3.1 离散傅里叶变换的基本性质时移

3、循环移位性质频域循环移位性质卷积定理、线性性质和分别为序列的延拓周期。2、循环移位性质(1) 序列的循环移位定义：设为有限长序列，长度为N， 则的循环移位定义为(2)时域循环移位定理 设是长度为的有限长序列 令，则有（3）频域循环移位定理： 3、 循环卷积定理时域循环卷积定理：（1）计算过程（2）线性卷积与循环卷积关系：线性卷积转化为循环卷积计算问题：实际需要: LTI系统响应（a）循环卷积（b）线性卷积结论: 两序列线性卷积的结果与将两序列周期延拓为线性卷积长度后再进行循环卷积的结果相等。循环卷积的矩阵表示线性卷积的矩阵表示频域卷积定理：4、对称性用途：3.3 频率域采样 1、频域采样定理如

4、果序列的长度为，只有当频域采样点数时， 才有即可由频域采样恢复原序列，否则产生时域混叠现象。 2、频域采样的内插函数：频域采样表示X(z)的内插公式和内插函数。 设序列的长度为M， 在频域02之间等间隔采样点，则有 内插函数：表示的的内插公式。表示的的内插公式。当 3.4 DFT的应用1、用DFT计算线性卷积将两个序列都补零延拓为并进行循环卷积时，线性卷积和循环卷积相等可以用FFT进行计算。2、长序列计算卷积直接计算的缺点(1) 信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多（2）内存要求大（3）算法效率不高解决问题方法：采用分段卷积， 长序列的线性卷积可以用分段线性卷积进行运算。分段卷积可采用重叠相

5、加法和重叠保留法；设序列长度为，为无限长序列。将均匀分段，每段长度取M， 重叠相加法：依次将均匀分段，每段长度取M，与线性卷积结果后，结果的相邻两段的N-1个重叠点相加，即得到最终的线性卷积结果。例 已知序列，试分别利用重叠相加和保留法计算线性卷积。重叠相加法，取L=5， yk=2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14重叠保留法 (1) 将长序列分段，每段长度为L； (2) 各段序列与 M点短序列循环卷积；(3) 从各段循环卷积中提取线性卷积结果。注意：保留前面的M-1个序列，首个序列补0，最终结果也是舍弃前M-1个，取最

6、后的L个；，3、用DFT对信号进行谱分析设连续信号的采样持续时间点数为，采样保持时间为，信号最高截止频率为，信号采样频率为。则、N和F满足如下关系式： 在用DFT分析信号频谱特性时，在已知信号的最高频率(即谱分析范围时)，为了避免在DFT运算中发生频率混叠现象，要求采样速率满足下式 谱分辨率，信号的观察时间和N可以按照下式进行选择 因此，例：对实信号进行谱分析， 要求谱分辨率F10 Hz，信号最高频率，试确定最小记录时间，最大的采样间隔，最少的采样点数。如果不变，要求谱分辨率增加一倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少? 为使频率分辨率提高一倍，F=5 Hz，要求用DFT进行谱分析的步骤：（1）对信号进行采样，；（2）截取有限点进行DFT分析4. 用DFT进行谱分析的误差问题DFT(实际中用FFT计算)可用来对连续信号和数字信号进行谱分析，误差来源为 (1) 混叠现象：当采样频率过低时发生。 (2) 栅栏效应：过大，会遗漏某些频率。 (3) 截断效