重难点专题15 空间中的五种距离问题（五大题型）（原卷版）

重难点专题15空间中的五种距离问题【题型归纳目录】题型一：点线距题型二：异面直线的距离题型三：点面距题型四：线面距题型五：面面距【方法技巧与总结】空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．【典型例题】题型一：点线距【例1】已知正方体的棱长为1，则点B到直线的距离为_________．【变式1-1】（2025·高二·山东济南·期末）如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P为直线DE上的动点，则P到直线AB距离的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2025·高二·重庆·期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（

）

A． B． C． D．题型二：异面直线的距离【例2】（2025·高一·江苏镇江·期末）棱长为的正四面体的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为；直线与之间的距离为.【变式2-1】（2025·高一·全国·课后作业）边长为1的正方体中，直线和之间的距离为.【变式2-2】（2025·高一·全国·课后作业）四面体中，，，，则异面直线与的距离为．【变式2-3】（2025·高一·全国·课后作业）正方体中，边长为4，则异面直线与的距离为．题型三：点面距【例3】（2025·高一·广西玉林·期中）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．【变式3-1】（2025·高一·江苏常州·期末）如图，在三棱锥中，，，．(1)求三棱锥的体积；(2)求点到平面的距离．【变式3-2】（2025·高一·陕西渭南·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，面，是的中点，，.(1)证明：平面(2)证明：平面平面；(3)求点到平面的距离.【变式3-3】（2025·高一·安徽亳州·期末）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，点在线段上，且为的重心，点在棱上，且，点在棱上，且.(1)证明：平面平面；(2)若，，求点到平面的距离.题型四：线面距【例4】（2025·高一·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是的中点．(1)求证：∥平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【变式4-1】（2025·高一·全国·课后作业）如图，长方体的棱、的长分别为3、4、5，求下列距离：(1)点B到平面的距离；(2)直线到平面的距离．【变式4-2】（2025·高二·全国·课后作业）已知正方体中，E为的中点，F为的中点.(1)求证：∥平面；(2)若正方体的棱长为1，求到平面的距离.【变式4-3】（2025·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线到平面的距离.题型五：面面距【例5】（2025·高二·全国·课后作业）已知正方体的棱长均为1.(1)求到平面的距离；(2)求平面与平面之间的距离.【变式5-1】（2025·高二·内蒙古赤峰·阶段练习）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，EF与相交于H．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求平面EGF与平面的距离．【变式5-2】（2025·高一·全国·课后作业）已知是长方体，且，，.（1）写出点A到平面的距离；（2）写出直线AB到平面的距离；（3）写出平面与平面之间的距离.【变式5-3】（2025·河北衡水·一模）如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且平面，点是的中点．

（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的距离．

【过关测试】1．（2025·高一·全国·课后作业）边长为1的两个正方形和构成大小为的二面角，则异面直线和之间的距离为．2．（2025·高一·全国·课后作业）空间四边形中，，，延长到，使得，为中点，则异面直线和的距离为．3．（2025·高一·云南丽江·期中）在三棱锥中，，.(1)求证：；(2)若，，求点到平面的距离.4．（2025·高一·四川成都·阶段练习）正三棱柱的底面正三角形的边长为为的中点；．(1)求证：；(2)求到平面的距离.5．（2025·高一·宁夏吴忠·期末）如图，四边形与四边形均为等婹梯形，，为的中点．(1)证明平面平面；(2)求点到的距离．6．（2025·高一·广东·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，P分别为，的中点．(1)求证：直线平面；(2)求点A到平面的距离．7．（2025·高一·四川宜宾·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．8．（2025·高一·四川眉山·期末）如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，，是中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．9．（2025·高一·山西吕梁·期末）如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面，点为线段的中点，(1)证明：平面平面；(2)设，求点到平面的距离.10．（2025·高一·重庆长寿·期末）如图，正方体中，E，F分别是的中点.(1)求证：平面(2)若正方体的边长为2，求点A到平面的距离.11．（2025·高二·山西·阶段练习）在直三棱柱中，，，.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求直线与平面的距离.12．（2025·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.

(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面间的距离.13．（2025·高二·全国·课后作业）在棱长为的正方体中，、、、分别为、、、的中点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面之间的距离．14．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图所示的斜三棱柱中，是正方形，且点在平面上的射影恰是AB的中点H，M是的中点．(1)判断HM与面的关系，并证明你的结论