超越复数的三元数

1、超越复数的三元数 从复平面到三维数空间河北省武安市骈山中学白烁星韩江燕摘要：本文通过引入空间直角坐标系，从清晰、简明的解析原理出发，利用数形合一的数学思想，建立了空间数系的理论。作者在文中阐述了三元数运算的一般法则及重要性质，并给出以下有趣结论：一、一般地，一个三元数的n次方根有n个，分布在空间中与复平面成某一角度的一个圆上。二、任一给定三元数可求其指数函数。特别地，欧拉公式是三元数理论中的一个特例。关键词：三元数；数平面；数空间；根；方程中图分类号：0153.5   泛代数 一、引言 自从认识到复数运算等同于平面上一种点的演算体系，就有数学家提出这一问

2、题：能不能找到一种空间数系，其中每一个三元数对应于空间中的一个点？首先数学家们希望新数系能尽可能多地保留复数的优美性质，并与原有代数理论保持和谐一致，同时，人们自然也期望在新数系中能发现一些以前不曾有的东西。本篇论文恰好回答了上述问题。 二、三元数的概念与表示法 1.三元数的概念1.1 定义      1.2 三元数  形如的数叫做三元数。三元数通常用一个字母来表示，即全体三元数构成的集合叫做三元数集，用字母A来表示。1.3 三元数相等的条件若（）则特别地，1.4 三元数空间建立了空间直角坐标系来表示三元数的空间叫做三元数空间，简称数

3、空间。于是：实数一一对应实轴上的点；复数一一对应复平面内点；三元数一一对应数空间内点2.三元数的表示2.1 三元数的代数形式三元数叫做三元数的代数形式。2.2 三元数的几何表示三元数的点表示   三元数空间内的点表示三元数。三元数的向量表示   三元数可以用向量来表示，三元数集A与三元数空间内所有以原点O为起点的向量所组成的集合一一对应（实数0与零向量对应），即三元数一一对应空间向量2.3 三元数的三角形式 三元数的模  与三元数对应的向量的模（即有向线段OP的长度）r叫做三元数的模（或绝对值）。记作或，易知三元数模的几何意义是：三元

4、数在数空间内对应的点到原点的距离。三元数的辐角与倾角   数空间可看作复平面绕x轴旋转而成，x轴与空间点可唯一确定一个平面，该平面与复平面的夹角称三元数的倾角，平面称倾角为的数平面，特别地，复平面是倾角为O的数平面，无数个数平面形成了数空间。当点落在x轴上时，倾角值不定，也就是说：实数的倾角值不定。以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线（起点是O）为终边的角，叫做三元数的辐角，记做。辐角的主值   在区间内的辐角的值，叫做辐角的主值，记作,即0arg p。非0三元数的辐角有无限多个值，但辐角的主值只有一个，三元数0的辐角不定。三元数的三角形式 &

5、#160; 三元数可以表示成叫做三元数的三角形式。说明:三元数的代数形式是唯一的,但三角形式不是唯一的。代数形式与相对应的三角形式的互化公式：；求r：；求：一般地，时，；时，值不定；求：由点的所在象限及共同确定（一般取最小正角）。例1：求的三角形式解：；由知角位于第一象限，又，,得；所以数的三角形式为： 三、三元数的运算 三元数的代数形式的运算    说明：三元数的加法与乘法满足交换律以及乘法对加法的分配律。一般地，当且仅当三个三元数在同一个数平面上时，它们的乘法满足结合律。由于复平面是倾角为0的数平面，所以同在复平面上的三个数总是满足结合律。

6、在复平面上成立的结论，在其它数平面上也成立。关于两个三元数如何作除法运算，可依三元数相等的定义及乘法公式求得。例1：已知，求解：依定义，例2：已知，求：解：令则有 即联立方程组得：  对方程组求解得所以 这显然与例1的结论一致。例3：已知，求的倒数=？解：依倒数的定义，设是的倒数，则有 即联立方程组得：对方程组求解得：所以的倒数为注意到，不难发现在复数理论中的倒数显然是，这里，三元数理论与复数理论也保持了惊人的一致。三元数加减法的几何意义三元数的加法满足平行四边形法则，减法满足三角形法则。一个向量对应的三元数，等于终点对应的三元数减去起点对应的三元数。三元数与复数及实数的联系与区别。

7、复数是实数的扩充,三元数是复数的扩充,要特别注意三元数与复数及实数的联系与区别。实数与数轴上的点一一对应,复数与复平面内的点、复平面内以原点为起点的向量一一对应,三元数与数空间内的点、数空间内以原点为起点的向量一一对应。两个实数可以比较大小,有关不等式的一些性质仅限于实数集中成立。三元数的模是实数及复数绝对值的扩充,实数与复数的绝对值是三元数模的特例，因此,三元数模的所有性质对实数绝对值都成立,，而实数绝对值的一些性质对三元数模则不一定成立。，在为实数时表示两个点，在为复数时表示单位圆，在为三元数时表示单位球。实数集对加、减、乘、除、乘方运算封闭；复数集与三元数集对加、减、乘、除、乘方、开方运

8、算封闭。一元次方程在复数集中有且仅有个根，在三元数集中，一元次方程可以有多于个的根，甚至有无穷多个根存在。三元数三角形式的运算1.     三元数的乘方   三元数的次幂的模等于这个三元数的模的次幂，它的辐角等于这个三元数的辐角的倍，而倾角不变。特别地，当时得：此即复平面上的棣莫佛定理，在这里成为了三元数乘方的一个特例。2.     三元数的开方  三元数的次方根是注意：一般地（指不为实数时），三元数总有固定的倾角，这时三元数的次方根是个三元数，它们的模等于这个三元数的模的次算术根，它

9、们的辐角分别等于这个三元数的辐角与的0，1，2，-1倍的和的分之一，而倾角不变。为实数时，倾角值不定，需解参数方程：例1：求-1的平方根=？解： 设是-1的平方根，依定义，即 联立方程组得：求之得即其中。解： 先将-1化成三角形式再利用参数方程显然，不论k=0,1,均有这与解的结论一致。易知-1的平方根是它的几何意义是数空间中以原点为圆心，垂直于复平面，在平面yoz上的单位圆，其与复平面的交点恰好是i与-i两个点，-1在复平面上有且仅有两个根，在数空间中却有整整一个圆的根存在。这是给出定义，时所不曾预料的事情！需要指出的是：求一个三元数的次方根，当=2时，勉强可利用定义解代数方程求得，当n较大

10、时，用三元数的三角形式求解较为简单。三元数开方的几何意义一般地，三元数（指不为实数时）开次方的个根在数空间内所对应的个点均匀地分布在以原点为圆心，为半径，与复平面的倾角为的数空间中的一个圆上。当然，当为实数时，其次方根的几何意义依然可利用三元数的求方根公式进行讨论，读者不妨自行一试。 四、三元数与方程 1.先研究形如的一元一次方程，这里，则有依定义相乘得三元一次方程组：只需研究行列式：由线性方程组知识：当时，方程组有唯一解，从而解方程组后可求。注意到，所以只需要求，方程即可得解，详细过程在此不多述。2.再来研究形如的二项方程由于三元数运算一般不满足结合律，这里必须首先明确运

11、算顺序：应先作乘方运算，再作乘法运算，与实数的运算顺序一致。首先令问题转换为：而限制，由前面知识知唯一可求。在求得唯一解后，问题转化为：，而求解一个已知三元数的次方根，显然可利用前面所讲的三元数求方根公式予以解决之。于是当时，可以顺利解出形如的二项方程。 五、三元数函数的简单推广及综合评论 通过引入定义；现在已能对两个三元数作加、减、乘、除等四则运算，对单个三元数可进行乘方、开方的运算，这都属于初等数学中代数运算的范畴，下面对三元数函数作一简单推广，研究如何求得任一给定三元数的指数函数。定义：  先研究的指数函数，将带入并整理得   

12、                        可以给出严格的证明，在整个数空间内是收敛的。令，在中即可得到此即著名的欧拉公式，这里可以从三元数理论中推导得出，从而是三元数理论中的一个特例。当时，代入得：              

13、0;    此即求任一三元数指数函数的公式。例1：已知，求解：先将化成三角形式代入公式得   站在更高的角度，可以观察到数学在更高层次上的统一，复数的代数形式与极坐标的统一，三元数的代数形式与球坐标的统一。丘成桐先生说的好！我们发展一个一般理论，其目的并不是为了服务于其它学科，而是基于它自身的完美以及达到和谐统一。数学公式虽然常用来进行计算，但其更根本的作用则是首先阐明了各个变量之间的关系。伟大的数学公式总是简洁、优雅而和谐，犹如数学王国中的金字塔，具有震撼人心的、雕塑般的、永恒的美！ 六、三元数数学思想的源由及重要定理&#

14、160;复数演算同化于平面上点的一种演算体系，当这个观念一出现，就有一些数学家提出这样的问题：关于空间中的点有没有类似的演算体系？许多数学家对此进行了深入的探讨，其中对数系理论贡献最大的当属19世纪英国的数学家哈密顿，哈密顿已经想到在形式上两个三元数自然应该是，令，则有由于每个复数都有模与之相联系，且复数的乘法满足“模律”：取得    实际上式是七世纪印度数学家波罗摩笈多早已发现过的东西。哈密顿进而将三元数与长度联系起来，他要求三元数也必须满足模律：即则有         &

15、#160;         经过试算验证，当然，一般地，式并不成立，于是哈密顿最终放弃了对三元数的研究，在数学史上，哈密顿是以四元数理论得以名传后世的，笔者在此不再赘述。令人遗憾的是：哈密顿其实离成功只有一步之遥。象他这样的数学家应当明白：如果一个数学命题在一般情形下不成立，那就应该进一步去研究，在某些限定的条件下，该命题是否成立，而这恰是解决问题的关键。下面对式的左边展开，进一步变形整理得：          &#

16、160;        显然，当且仅当时，式成立，也即“模律定理”成立。由、式即得到三元数理论中最重要的一个定理，称之为“模律定理”。注意到，由空间解析几何知识知，此条件表示一个经过x轴的平面的代数方程，也即三元数理论中一个数平面的方程，据此，模律定理可叙述为：两个三元数的积的模，当且仅当两个三元数在同一个数平面上时，等于两个三元数的模的积。由于所有的复数都位于倾角为0的数平面复平面上，当然复数满足“模律定理”。不仅如此，进一步的研究发现，一般地，当且仅当三元数在同一个数平面上时，它们的乘法满足结合律。新数系并不能在一般的意

17、义上满足结合律，但新数系理论正确指出了满足什么样的条件，哪一类的数就可以满足结合律。最后得出结论，只需将建立空间直角坐标系来表示三元数的数空间看作是由无数个数平面所组成，原本纷乱的局面就立即变得和谐、简单、有序。中学数学课本中对数学的介绍很容易使人产生这种印象：学生们所学的课程是理所当然的正确，逻辑清楚、叙述严密，似乎数学家在创立它时没有遇到任何困难，自然而然地建立了各种定理。初等数学作为数学大厦的外壳，似乎已足够坚固，坚固到后人已难以再在其上添加哪怕一粒的小石子，这些课程经过千锤百炼，好象完全已成定局。波澜壮阔的数学史却形成鲜明的对比，它教导我们，一个科目的发展，是由汇集不同方面的成果点滴积

18、累而成的。我们也知道，常常需要几十年，甚至几百年的努力才能迈出有意义的几步。不但这些科目并未锤炼成无缝的天衣，就是那已经取得的成就，也常常只是一个开始，许多缺陷有待填补，或者真正重要的扩展还有待创造。中学数学课本中斟字酌句的叙述，未能表现出创造过程中的斗争、挫折，以及在建立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。事实上，数学家的研究工作总是在跌跤中不断爬起，在迷雾中不断摸索前行，最后才零零碎碎地得到一份属于自己的甜美果实。数系的研究历程也正是如此。在数学史上，复数曾长时间的饱受非议，使数学家最终相信复数的不是逻辑，而是威塞尔、阿尔刚和高斯等人给出的几何表示。由于三元数也有一个直观的几何模型，且能支持函数理论的发展，所以三元数也有资格被称之为“数。尤其值得一提的是：三元数理论的研究尚远未达到顶峰，它提出了一系列棘手而迷