函数章节知识点总结

1、精选优质文档-倾情为你奉上知识点一：函数的定义域求法1、 分母不为02、 根号下大于等于零3、 无意义，例：的定义域为4、 对数函数的定义域为5、 正切函数的定义域为习题1:求下列函数的定义域 6、 抽象函数定义域的求法（重点）（1） 例：的定义域为，求函数的定义域为： 解：一般性总结，直接代入法：已知的定义域，求的定义，直接代入即可，根据不等式解出，即是的定义域。习题1：若函数的定义域是，则的定义域为_（2） 例：的定义域为，求函数的定义域为_解：一般性总结，值域法：已知的定义域为，求的定义域，只需求出的值域即可，即为的定义域。习题1：若函数的定义域为，则函数的定义域为_（3） 已知函数的定

2、义域为，求函数的定义域为_解：总结：已知函数，求函数，只需要将上述（1），（2）的两种方法综合一下即可。即使找进行一次过度。由求出，按照（2）的步骤求出，然后再由求出，按照（1）的步骤即可。知识点二：函数值域的求法1、 直接代入法：已知，求的值解：将直接代入的表达式计算结果即可。2、 计算区间法：区间的计算法则（1）的倒数区间为 （2）的倒数区间为 （3）的倒数区间为 （4）的倒数区间为 （5）的倒数区间为 （6）的倒数区间为 （7）的区间等价于的倒数区间为 例题：求的值域解：3、 一元一次函数和一元二次函数求值域例题：上的值域_总结，对于一次函数来说，利用单调性求值域，即直接代入端点值即可。

3、例题：上的值域 上的值域 上的值域对于上述三种一元二次函数求值域，首先要判断对称轴的位置是否在定义域内，若不在定义域内即可以利用单调性直接代入端点即可，如的形式，如果对称轴在定义域内，一定在对称轴处取得最值，再其中一个端点处取得值域的另外一端。4、分离常数法：（1）例：求函数的值域为_解：，由此可知的值域为总结：分离常数法适用于齐次式（齐次式即为因式的分子和分母的最高次幂一样高，常见的有一次比一次式和二次比二次式。）如例题所示为一次比一次的分式，按照分离常数后的结果，全部根据得出定义域和值域。的定义域为，值域为，根据的对称中心，横坐标即为定义域取不到的点，纵坐标即为值域取不到的点。的对称中心可

4、以由的图像向右移动一个单位并向上一个单位平移得到，所以对称中心也依次平移到了点处，所以定义域为，值域为。习题1：求下列函数的值域 ，（特殊的齐次式）注：换元法将设为t之后，就可以变为齐次式了。根据区间计算法求值域就可以了 ，仍然是特殊的齐次式，换元之后之后改变取值范围。根据区间计算法求值域就可以了。补充知识点：对勾函数的性质（1）当时，对勾函数有最低点（最小值），其横坐标为，上单调递减，上单调递增。（2） 当时，对勾函数有最高点（最大值），其横坐标为，上单调递增，上单调递减。（3） 其图像如图所示 （2） 例1：求的值域_分析：分式的分子与分母都是二次式，依然符合齐次式的特征，所以需要通过分离

5、常数求解解：然后按照对勾函数性质求出分母的值域，再按照区间计算法求出函数的值域即可。例2：求的值域_判别式法，适用于定义域为R的函数求值域接总结：若函数可以转化为一个系数含有的二次方程，则在时，若，则，从而确定函数的最值，并验证时对应的x的值是否在函数定义域内，以决定时，的值的取舍。5、对勾函数法，适用于一次比二次或者二次比一次的非齐次式。例题1：的值域为解：转换成了对勾函数，按照对勾函数的性质进行求解.例题2：求的值域_解：然后利用对勾函数求出值域即可6、换元法求值域（1）适用于的形式例题：方法一：利用单调性，因为函数和均在定义域内单调递增，所以函数在定义域内单调递增，所以代入断电之即可。方

6、法二：换元，将的形式设为新参数t解：，然后按照一元二次函数的形式求值域即可。例题2：求的值域分析，因为函数是单调递增的，而是单调递减函数，所以在定义域内无法判断其单调性，所以只能通过换元的方法求值域，即然后将函数转化成一元二次函数的形式，最后按照一元二次函数的形式就值域。（2） 三角换元求值域例题1：求的值域分析，对于形如的形式，按照三角换元的形式进行求解。解：，由此可知值域为例题2：求的值域同样利用三角换元的形式解：，所以可知值域为7、 利用几何意义和函数图像的性质求值域例题1：求的值域分析，这样的函数求值域比较难，而且形式比较复杂，所以，当不符合以上上面的任何一种形式的求值域方式时，需要考

7、虑用几何意义和图像的性质求值域。所谓的几何意义，主要包括，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，斜率公式等解将该式子理解成P这个点，到点A和点B的两点间的距离和。所以求值域过程如图所示做A点关于x轴的对称点,所以PA+PB有最小值，无最大值，所以连接和B点的直线与x轴的交点为最小值点，所以函数的最小值为的距离。例题2：求的值域分析，利用斜率和圆的性质求值域解：将该式子理解成单位圆外一点与单位圆上的点所连线的斜率的2倍，所以如图所示：具体求解过程如下:，所以综上所示函数的值域为8、 忽略定义域的值域问题例题1：函数的值域为，求的取值范围。分析，若想让函数取到的值域，则必须能取到的所有值，即的必须

8、大于等于零，如果所示：如图所示，必须能取到x轴下方的部分，至于小于零的部分，虽然跟根号下大于等于零矛盾，可以通过定义域的规定，去除掉。解：例题2：已知函数的值域为R，则实数的取值范围是_分析过程如上，若的值域要为R，必须可以取到大于零的所有值，且分析可知，所以等价于能取得大于零的所有值，所以依然是大于等于零，对于小于零的部分，虽然与真数大于零矛盾，依然可以通过定义域去除掉。9、 利用导数求值域例如高次函数或者各类基本初等函数混合的复杂函数求值域，可以利用导数的方法就值域例题：，上的值域解：然后利用极值点判断出函数的单调性，根据单调性求出函数值域即可。知识点三：单调性判断单调性的方法：1、掌握所

9、有基本初等函数的单调性区间 2、单调递增 单调递减 3、导函数大于零单调递增，导函数小于零单调递减 4、取倒数和添负号均改变一次单调性 5、复合函数的单调性，同增异减 6、奇函数在对称区间内的单调性相同，偶函数在对称区间内的单调性相反 7、增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数 8、互为反函数的两个函数的单调性相同 9、观察函数图像，若图像从左下角向右上角变化，则为增函数，若函数图像从左上角向右下角变化，则为单调递减函数。 10、分段函数的单调性：例题：已知函数是上的减函数，那么的取值范围是_分析：对于分段函数，不单要讨论每个分段区间上的单调性，即，还需要注意分段点处的单调性， 11、

10、单调区间不可以用并集，若要连接两个单调区间，只能用逗号，或者“和”例题：的单调递减区间为_根据对勾函数的性质：是单调递减区间，而是单调递减区间的写法，是错误的。知识点四：奇偶性1、 奇函数：，图像关于原点对称，定义域对称，若在处有定义，则必有2、 是奇函数证明过程如下：3、 偶函数：，图像关于y轴对称，定义域对称4、 复合函数奇偶性：同奇则奇，一偶则偶。5、 函数奇偶性的运算法则：奇函数+奇函数=奇函数 偶函数+偶函数=偶函数 奇函数*奇函数=偶函数 偶函数*偶函数=偶函数 奇函数/奇函数=奇函数 偶函数/偶函数=偶函数 奇函数*偶函数=奇函数 奇函数/偶函数=奇函数总结：奇偶性相同的函数做乘

11、除等于偶函数，奇偶性不同的函数做乘除等于奇函数6、 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。7、 唯一的一个及时奇函数又是偶函数的函数是8、 一些反应奇偶性的重要表达式：（1）奇函数，偶函数 （2）奇函数 （3）奇函数 （4）奇函数知识点五：周期性1、 特殊函数的周期性：， ，2、反应周期函数的表达式（1），周期函数最基础表达式，以T为周期 （2）， 变形：依然是周期函数，周期为 （3）， （4），C为常数， （5） ， （6）， 证：，3、 利用奇偶性推导周期性：若为偶函数，为奇函数，则为周期函数， 且周期为。同理若为奇函数，为偶函数，则 依然为周期函数，且周期为4、 利用对称性和奇偶性

12、推导周期性：若是偶函数，且，则以 为周期的周期函数5、利用计算得出函数周期性：例：已知函数满足：，则分析：此题需要求的值，因为2010过于大，所以分析可知需要利用函数的周期性去求解，所以根据题的已知条件，依次计算，观察规律即可得出周期的结论。知识点六：对称性1、 反应函数对称性的式子：，均反应是函数的对称轴。2、 奇函数原点对称，偶函数y轴对称3、 与关于y轴对称 与关于x轴对称 与关于原点对称知识点七：函数图像1、 的图像，将y轴右侧的函数图像向左翻转2、 的图像，将x轴下方的图像图像向上翻转3、 函数的平移变化，左加，右减，上加，下减例题1：图像经过怎样的变化可以得到平移变化1:先平移的变

13、化：平移变化2：先拉压的变化：例题2：图像经过怎样的平移变化可以得到该题需要注意的是，在平移过程中只对x做变化，也就是说需要注意前面的负号。知识点八：求函数的表达式1、 换元法求表达式例题：已知，求函数的表达式解：2、 直接带入法求表达式例题：已知函数，求的表达式解：3、 配方法求表达式例题1：已知，求函数的表达式解：例题2：已知，求的表达式解：3、利用奇偶性求函数表达式例题1：已知是奇函数，当时，求时，的表达式解：，利用奇偶性求表达式题型1，求法固定。例题2：已知函数是偶函数，当时，求当时，的表达式。解：例题3：已知定义在R上的奇函数和偶函数，满足，求，的表达式。解：4、 利用对称性求表达式

14、（1） 利用对称轴求函数表达式例题：已知，且和关于对称，求的表达式解：类型是有两个函数，关于一条对称轴对称（2） 利用对称点求函数表达式例题：已知，当时，求的表达式解：5、 倒代换求表达式例题：已知，求的表达式分析：观察表达式，只有和两种形式，用倒代换求表达式解：6、 反代换就表达式例题：已知，求的表达式分析，题中只含有表达式，两种形式，所以采用反代换的形式求表达式解：知识点九：函数的凹凸性1、 凹函数：若函数上每一点的切线都在图像的下方，则函数为凹函数。（函数的鼓出方向对着x轴方向，则为凹函数）。如图所示：凹函数的性质：2、 凸函数：若函数上每一点的切线都在图像的上方，则函数为凸函数。（若函

15、数的鼓出方向背离x轴方向，则为凸函数。）如图所示：凸函数的性质：3、 函数的凹凸性：是凹函数 是凸函数 ，当时，函数为凸函数，当时，函数为凹函数。知识点十：反函数1、 反函数定义：将原函数中的自变量和因变量对换位置，也就是用原函数中的因变量去表示自变量。2、 反函数达的求法：例题：已知函数，求函数的反函数。解：3、 反函数的性质：（1）原函数的定义域即为反函数的值域，原函数的值域即为反函数的定义域 （2）原函数、反函数具有相同的单调性 （3）原函数、反函数的图像关于对称。4、 一个函数存在反函数的条件：函数在给定定义域内具有单调性。原函数与反函数的经典函数：指数函数与对数函数例：和如图所示：知

16、识点十一：函数的零点问题1、 二分法：用来判断函数根的位置。，函数在区间内具有单调性，所有函数在内有且只有一个实数根。2、 函数的零点个数：，的图像的零点个数，等于和的图像的交点个数。，的图像的零点个数，等于和的图像的交点个数。3、常见函数的交点个数：在定义域内有且仅有一个交点。在定义域内有3个交点，其中一个在y轴左侧，另外两个在y轴右侧，分别是知识点十二：观察法观察函数性质所谓的观察法即是通过观察函数表达式的形式，或者做稍微简单的化简变化而得出的函数性质的方法。观察法要求对函数的性质，尤其是对于函数的奇偶性和单调性有比较强烈的敏感性，才能比较准确的观察出函数的性质。例题1：，通过观察需要观察

17、出函数具有奇函数且定义域内单调递增的性质。例题2：，通过观察函数首先具有奇函数的性质，但是无法直接观察出函数的单调性，所有通过对函数求导，才能得出单调递增的性质。所以原函数单调递增。例题3：，且的值。通过观察可知函数是一个奇函数，且互为相反数，所以等于0。函数经典例题：（主要针对函数的零点和根的分布的问题）1、 设是周期为2的奇函数，当时，则分析：并不在题中给出定义域中，所以无法应用进行计算，所以需要应用奇偶性和周期性将转化到区间内。解：2、 对实数和，定义运算“”：，设函数。若函数的函数与x轴有两个公共点，则实数的取值范围是_分析：注意题中语句，函数与x轴有两个交点，所以判断交点个数问题应该

18、考虑函数图像，即理解为与的交点个数。其次需要读懂题中新定义的算法解：，画出函数图像可知，根据图像可知，在BD直线上方，且直线与有两个交点的地方就是所求的范围。所以总结，根据题干描述，只要涉及到交点个数的问题，基本都需要用函数的图像去解决。3、 已知函数，若互不相当，且，则的取值范围分析：由此性质可以知道，于某条直线有三个交点，才能得到此条件。再次根据求的范围可以，多变量问题一定要转化成一个变量。所以一定要将转换成一个未知量才可以。解：如图所示4、 定义在R上的函数满足，则的值为_分析：不在题中给出具体函数表达式的定义域中，且2009较大，所以必须转化到的区间内，其次根据一定反映出函数的周期性，所以根据需要根据条件导出函数的周期。将两式子相加可以得出，所以可知T=6，所以，所以5、 已知函数满足：，则_分析，求的数比较大，所以应该利用函数的周期性求解，但是无法通过题中给出的已知条件得出周期的性质，所以，我们只能多算几遍，根据算出的结果判断函数的周期性。解：周期是6，所以。上面左边是第一种方法，右边是第二种方法，但是第二种方法对于函数的性质要求比较高，而且符合条件的函数比较不好找，推荐采用第一种方法。6、 已知函数，若数列，且是递减函数，则实数的取值范围是_分析