算法时间复杂度的计算

1、算法时间复杂度的计算 整理 基本的计算步骤 时间复杂度的定义 一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)，称O(f(n)为算法的渐进时间复杂度(O是数量级的符号 )，简称时间复杂度。根据定义，可以归纳出基本的计算步骤 1. 计算出基本操作的执行次数T(n) 基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。2. 计算出T(n)的数量

2、级 求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作： 忽略常量、低次幂和最高次幂的系数 令f(n)=T(n)的数量级。3. 用大O来表示时间复杂度 当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n)的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)。一个示例： (1) int num1, num2;(2) for(int i=0; in; i+) (3) num1 += 1;(4) for(int j=1; j=n; j*=2) (5) num2 += num1;(6) (7) 分析：1.语句int num1, num2;的频度为1；语句i=0;的频度为

3、1；语句in; i+; num1+=1; j=1; 的频度为n；语句j=n; j*=2; num2+=num1;的频度为n*log2n；T(n) = 2 + 4n + 3n*log2n2.忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数f(n) = n*log2n3.lim(T(n)/f(n) = (2+4n+3n*log2n) / (n*log2n) = 2*(1/n)*(1/log2n) + 4*(1/log2n) + 3当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log2n趋向于0所以极限等于3。T(n) = O(n*log2n)简化的计算步骤 再来分析一下，可以看出，决定算法复杂度的是执行次数

4、最多的语句，这里是num2 += num1，一般也是最内循环的语句。并且，通常将求解极限是否为常量也省略掉？于是，以上步骤可以简化为： 1. 找到执行次数最多的语句 2. 计算语句执行次数的数量级3. 用大O来表示结果 继续以上述算法为例，进行分析：1.执行次数最多的语句为num2 += num12.T(n) = n*log2nf(n) = n*log2n3./ lim(T(n)/f(n) = 1T(n) = O(n*log2n)-一些补充说明 最坏时间复杂度 算法的时间复杂度不仅与语句频度有关，还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂

5、度。这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。求数量级 即求对数值(log)，默认底数为10，简单来说就是“一个数用标准科学计数法表示后，10的指数”。例如，5000=5x10 3 (log5000=3) ，数量级为3。另外，一个未知数的数量级为其最接近的数量级，即最大可能的数量级。求极限的技巧 要利用好1/n。当n趋于无穷大时，1/n趋向于0 -一些规则(引自：时间复杂度计算 ) 1) 加法规则 T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O (max ( f(n), g(m) )2) 乘法规则 T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m)3) 一个特例

6、（问题规模为常量的时间复杂度） 在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n) O(c)， c是一个与n无关的任意常数，T2(n) = O ( f(n) ) 则有T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) )也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O(1)。4) 一个经验规则 复杂度与时间效率的关系：c log2n n n*log2n n2 n3 2n 3n n! （c是一个常量）|-|-|-| 较好 一般 较差其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2n 、n 、 n*log2n,那么这个算法时间效率比较高 ，如

7、果是 2n , 3n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。 -复杂情况的分析 以上都是对于单个嵌套循环的情况进行分析，但实际上还可能有其他的情况，下面将例举说明。1.并列循环的复杂度分析 将各个嵌套循环的时间复杂度相加。例如：for (i=1; i=n; i+) x+;for (i=1; i=n; i+) for (j=1; j=n; j+) x+;解：第一个for循环T(n) = nf(n) = n时间复杂度为(n)第二个for循环T(n) = n2f(n) = n2时间复杂度为(n2)整个算法的时间复杂度为(n+n2) = (n2)。2.函数调用的复

8、杂度分析 例如：public void printsum(int count) int sum = 1; for(int i= 0; in; i+) sum += i; System.out.print(sum);分析：记住，只有可运行的语句才会增加时间复杂度，因此，上面方法里的内容除了循环之外，其余的可运行语句的复杂度都是O(1)。所以printsum的时间复杂度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)*这里其实可以运用公式 num = n*(n+1)/2，对算法进行优化，改为：public void printsum(int count) int sum = 1; su

9、m = count * (count+1)/2; System.out.print(sum);这样算法的时间复杂度将由原来的O(n)降为O(1)，大大地提高了算法的性能。 3.混合情况（多个方法调用与循环）的复杂度分析 例如：public void suixiangMethod(int n) printsum(n);/1.1 for(int i= 0; in; i+) printsum(n); /1.2 for(int i= 0; i 忽略常数 和 非主要项 = O(n2)-更多的例子 O(1) 交换i和j的内容temp=i;i=j;j=temp; 以上三条单个语句的频度为1，该程序段的执行时

10、间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。O(n2) sum=0； /* 执行次数1 */ for(i=1;i=n;i+) for(j=1;j=n;j+) sum+； /* 执行次数n2 */解：T(n) = 1 + n2 = O(n2) for (i=1;in;i+) y=y+1; for (j=0;j=(2*n);j+) x+; 解： 语句1的频度是n-1 语句2的频度是(n-1)*(2n+1) = 2n2-n-1

11、 T(n) = 2n2-n-1+(n-1) = 2n2-2 f(n) = n2 lim(T(n)/f(n) = 2 + 2*(1/n2) = 2 T(n) = O(n2).O(n) a=0; b=1; for (i=1;i=n;i+) s=a+b; b=a; a=s; 解： 语句1的频度：2, 语句2的频度：n, 语句3的频度：n, 语句4的频度：n, 语句5的频度：n, T(n) = 2+4n f(n) = n lim(T(n)/f(n) = 2*(1/n) + 4 = 4 T(n) = O(n). O(log2n) i=1; while (i=n) i=i*2; 解： 语句1的频度是1, 设语句2的频度是t, 则：nt=n; t=log2n 考虑最坏情况，取最大值t=log2n, T(n) = 1 + log2n f(n) = log2n lim(T(n)/f(n) = 1/log2n + 1 = 1 T(n) = O(log2n)O(n3) for(i=0;in;i+) for(j=0;ji;j+) for(k=0;kj;k+) x=x+2; 解：当i=m,