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文档简介
1、导数的计算【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式,并掌握其推导过程。2. 熟记八个基本初等函数的导数公式,并能准确运用。3. 能熟练运用四则运算的求导法则, 4. 理解复合函数的结构规律,掌握求复合函数的求导法则:“由外及内,层层求导”【要点梳理】知识点一:基本初等函数的导数公式(1)(C为常数),(2)(n为有理数),(3),(4),(5),(6),(7),(8), 。要点诠释:1常数函数的导数为0,即C=0(C为常数)其几何意义是曲线(C为常数)在任意点处的切线平行于x轴 2有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的(n1)次幂的乘积,即(nQ)特别地,。 3正弦函数的导数等于余弦函
2、数,即(sin x)=cos x 4余弦函数的导数等于负的正弦函数,即(cos x)=sin x5指数函数的导数:,6对数函数的导数:,有时也把 记作: 以上常见函数的求导公式不需要证明,只需记住公式即可 知识点二:函数的和、差、积、商的导数运算法则:(1)和差的导数:(2)积的导数:(3)商的导数:()要点诠释: 1. 上述法则也可以简记为: ()和(或差)的导数:, 推广: ()积的导数:, 特别地:(c为常数) ()商的导数:, 两函数商的求导法则的特例 , 当时, 这是一个函数倒数的求导法则 2两函数积与商求导公式的说明(1)类比:,(v0),注意差异,加以区分 (2)注意:且(v0)
3、 3求导运算的技巧 在求导数中,有些函数虽然表面形式上为函数的商或积,但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简(可能化去了商或积),然后进行求导,可避免使用积、商的求导法则,减少运算量知识点三:复合函数的求导法则 1复合函数的概念 对于函数,令,则是中间变量u的函数,是自变量x的函数,则函数是自变量x的复合函数 要点诠释: 常把称为“内层”, 称为“外层” 。2复合函数的导数 设函数在点x处可导,函数在点x的对应点u处也可导,则复合函数在点x处可导,并且,或写作3掌握复合函数的求导方法 (1)分层:将复合函数分出内层、外层。(2)各层求导:对内层,外层分别求导。得到(3)求积并回代:求出
4、两导数的积:,然后将,即可得到 的导数。要点诠释: 1. 整个过程可简记为分层求导回代,熟练以后,可以省略中间过程。若遇多重复合,可以相应地多次用中间变量。2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量,逐层求导,不遗漏。求导后,要把中间变量转换成自变量的函数。【典型例题】类型一:求简单初等函数的导数例1. 求下列函数的导数: (1) (2) (3)(4)(5)【解析】(1) (x3)=3x31=3x2; (2) ()=(x2)=2x21=2x3(3) (4);(5);【点评】(1)用导数的定义求导是求导数的基本方法,但运算较繁。利用常用函数的导数公式,可以简化求导过程,降低运
5、算难度。(2)准确记忆公式。(3)根式、分式求导时,先将根式、分式转化为幂的形式。举一反三:【变式】求下列函数的导数:(1)y = (2)y = (3)y=2x33x2+5x4 (4); 【答案】 (1) y=()=(x3)=3x31=3x4(2(3)(4),.类型二:求函数的和、差、积、商的导数例2. 求下列函数导数: (1) y3x2xcosx; (2)y; (3)ylgxex;(4)y=tanx.【解析】 (1)y6xcosxxsinx.(2)y.(3)y(lgx)(ex)ex.(4)=tanx+.【点评】(1)熟记基本初等函数的导数公式和灵活运用导数的四则运算法则,是求导函数的前提。(
6、2)先化简再求导,是化难为易,化繁为简的基本原则和策略。举一反三:【变式1】函数在处的导数等于( )A1 B2 C3 D4【答案】D法一: .法二:.【变式2】 求下列各函数的导函数(1)y=(x+1)(x+2)(x+3)。 (2)y=x2sinx; (3)y=【答案】(1)y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,y=3x2+12x+11。(2)y=(x2)sinxx2(sinx)=2xsinxx2cosx(3)=【变式3】求下列函数的导数.(1) y (2 x25 x 1)ex; (2);(3) y 【答案】(1) y(2 x25 x 1)e x (2 x25 x 1)
7、(e x )(4 x 5)e x (2 x 25 x 1)e x (2x 2x 4)ex(2),.(3)y(sin x x cos x)(cos x x sin x)(sin x x cos x)(cos x x sin x)(cos x cos x x sin x) (cos x x sin x)(sin x x cos x) (x cos x)类型三:求复合函数的导数例3求下列函数的导数:(1); (2);(3); 【解析】 (1)设=1-3x,则 。 (2)设,y=cos,则 。(3)设【点评】 把一部分量或式子暂时当作一个整体,这个整体就是中间变量。求导数时需要记住中间变量,注意逐层求
8、导,不能遗漏。求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数。举一反三:【变式】 求下列函数导数. (1); (2); (3).【答案】(1), (2),.(3),.例4 求下列函数导数. (1); (2); (3)【解析】 (1) 令,(2) 。(3)设,=sinv,则 在熟练掌握复合函数求导以后,可省略中间步骤: 【点评】 (1)复合函数求导数的步骤是:分清复合关系,适当选定中间变量,正确分解复合关系(简称分解复合关系);分层求导,弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数(简称分层求导);将中间变量代回为自变量的函数。简记为分解求导回代,当省加重中间步骤后,就没有回代这一步了,即分解(复合关系)求导
9、(导数相乘)。(2)同一个问题可有多种不同的求导方法,若能化简的式子,则先化简,再求导。举一反三:【变式1】 求y sin4x cos 4x的导数【答案】解法一 y sin 4x cos 4x(sin2x cos2x)22sin2cos2x1sin22 x1(1cos 4 x)cos 4 xysin 4 x解法二 y(sin 4 x)(cos 4 x)4 sin 3 x(sin x)4 cos 3x (cos x)4 sin 3 x cos x 4 cos 3 x (sin x)4 sin x cos x (sin 2 x cos 2 x)2 sin 2 x cos 2 xsin 4 x【变式2】求下列函数导数:(1); (2)求函数的导数()。【答案】 (1)设u=12x2,则。 。(2)方法一: 。方法二:, 。类型四:利用导数求函数式中的参数例5 (1),若,则a的值为( )A B C D(2)设函数,若是奇函数,则=_。【解析】 (1),故选A。(2)由于,若是奇函数,则,即,所以。又因为,所以。【点评】 求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则,转化为常
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