一元二次方程的解法--公式法

1、教学设计（教案）模板基本信息学 科数学年 级九年级教学形式启发式教 师刘诚单 位无为县古楼初级中学课题名称一元二次方程的解法-公式法学情分析分析要点：本章是继一元一次方程和二元一次方程组的学习之后,引导学生学习和研究一元二次方程的知识.本节在学生了解一元二次方程的基本概念,理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元二次方程的联系,掌握了用直接开平方法、因式分解法、配方法的基础上,经历探索求根公式的过程,熟练地运用求根公式解一元二次方程,为进一步运用一元二次方程解决实际问题打好基础.在教学中,引导学生复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a0）求根的推导公式，学生反

2、思解题过程，归纳得出：当b2-4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0 时，方程没有实数根;公式法是解一元二次方程的万能法,激发学生学习数学的热情.     探索求根公式和运用求根公式解一元二次方程是本节课的重点和难点,所以教学中使用多媒体课件演示,主要是用配方法推导求根公式和运用求根公式解一元二次方程的展示,培养学生学习数学的兴趣,增强学生的直观感受,深刻理解求根公式的内涵和运用求根公式解一元二次方程的方法.因此,在教学时,教师要善于从学生的生活经验和已有的知识背景出发,注

3、意适时复习和应用相关的知识(方程变形、一元一次方程解法等),为学生提供充分的数学实践活动和交流机会,在动手实践中,要注意引导学生加深对转化思想的认识和应用,并及时对探索所得结果进行比较、验证和归纳,以培养和提高学生获取知识的能力. 教学目标分析要点：(一)教学目标： 知识与技能目标：学生能理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练运用公式法解一元二次方程     过程与方法目标：学生经历用配方法探索求根公式   ( b24ac0 ) 的过程，体验用根公式解一元二次方程的方法.培养学生抽象思维能力. 

4、;    情感与态度目标：学生在探索和应用求根公式中，进一步认识特殊与一般的关系，培养学生抽象思维能力,渗透辩证唯物主义观点。  （二）教学重点： 一元二次方程的求根公式（三）教学难点：  求根公式的条件：b2 -4ac 0 教学过程一.复习旧知,激趣导入                   1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方

5、法”，比如，方程 （1）x2=4       (2)(x-2) 2=7 提问1  这种解法的（理论）依据是什么？ 提问2  这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。） 2面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。）     （课件演示）用配方法解方程 4x212x1=0     

6、;                          3x2+12x3=0      (老师点评）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）           &

7、#160;                                        (1)将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，

8、使左边配成一个完全平方式；（5）变形为 （x+p）2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-p±q 如果q0,方程无实根 通过复习旧知,与学生已有的知识经验联系起来,激发学生的学习兴趣,由问题引出课题. 展示课题、复习旧知的内容、学生活动的内容、配方法的步骤,为本节课做好铺垫. 二、自学探索活动   如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题   分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推

9、下去     解：移项，得：ax2+bx=-c     二次项系数化为1，得x2+bax=- ca    配方，得：x2+ba x+（ b2a）2=- ca +（b2a ）2     即（x+ ba ）2 = b2-4ac4a2    4a2>0， 当b2-4ac0时 b2-4ac4a2 0       （x+ ba ）2

10、 =( )2     直接开平方，得：         由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：     （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六种运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)   &

11、#160; （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法     （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根                                

12、60;                                         教师点拨 由以上研究的结果,得到了一元二次方程 的求根公式： （ ）   

13、; 这个公式说明方程的根是由方程的系数所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。   思考：这里为什么要强调? ，如果方程有实数根吗？                                

14、                通过学生自己观察、讨论、交流理解一元二次方程求根公式的推导过程,用配方法探索出求根公式    ( b24ac0 )                       

15、;   学生又一次复习了配方法,能更进一步调动学生学习数学的热情.师生共同探讨,归纳出运用求根公式解一元二次方程的方法. 呈现过程，掌握方法，体会数学的美，感受数学的趣，领悟数学的理。课件展示,快速省时,能为学生快速掌握求根公式提供帮助,突破教学重点和难点. 三.实际运用 (一)解下列方程：   1、 x2-2x+1=0；     2、x2 -4=3x；   3. x2-2x-1=0 ；      4、3

16、x2-2x=3 教师点拨：                                           （1）对于方程（2）和（4），首先要把方程化为一

17、般形式； （2）强调确定 a、b 、c 值时，不要把它们的符号弄错； （3）先计算的b24ac 值，再代入公式。  因为负数不能开平方，所以原方程无实数根 展示学生活动的内容、教师点拨内容, 师生互动,鼓励学生 发表自己的见解,共同分享成功的喜悦,补充内容是为了拓宽学生的知识面. 课件展示学生练习题,醒目、省时.能调动学生做数学练习题的热情. 四、反思总结 让学生反思以上解题过程，归纳得出： 当b2-4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根

18、； 当 b2-4ac<0时，方程没有实数根。 通过归纳得出的结果 有大于零、等于零、小于零三种情况,有利于学生用求根公式   ( b24ac0 )  正确解一元二次方程 课件展示 有大于零、等于零、小于零三种情况,眉目清楚,利于对比,有利于学生理解和掌握. 五.知识的升华                      

19、0;                               某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）x2 +（m-2）x-1=0提出了下列问题     （1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程   &

20、#160; （2）若使方程为一元一次方程,m是否存在？若存在，请求出     你能解决这个问题吗？ 六、谈收获 本节课掌握了：     （1）求根公式的概念及其推导过程；     （2）公式法的概念；     （3）应用公式法解一元二次方程的步骤:  1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.  2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。 3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解， 4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。 (4)初步了解了一元二次方程根的情况 谈收获是为了让学生敢想、敢说,检验学习效果,培养学生能力,老师针对学生的回答,及时疏导,有利于的成长. 用课件展示应用公式法解一元二次方程的步骤,条理清楚,学生掌握本节知识会更加准确、深入. 板书设计3.2一元二次方程的解法-公式法1.对一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0（a0）2.配方法求解。3.判断b24ac与0的大、小关系。4.求根公式：作业或预习七、课后作业 （一）P28 练习(1) (2) (3) (4)