高等数学常数项级数的概念和性质

1、1北京工业大学北京工业大学高等数学教程高等数学教程2为什么要研究无穷级数为什么要研究无穷级数是进行数值计算的有效工具是进行数值计算的有效工具( (如计算函数值、如计算函数值、出它的威力出它的威力. . 在自然科学和工程技术中在自然科学和工程技术中, ,也常用无穷也常用无穷无穷级数是数和函数的一种表现形式无穷级数是数和函数的一种表现形式. .因无穷级数中包含有许多非初等函数因无穷级数中包含有许多非初等函数, ,故它在积分运算和微分方程求解时故它在积分运算和微分方程求解时, ,也呈现也呈现如谐波分析等如谐波分析等. .造函数值表）造函数值表）. .级数来分析问题级数来分析问题, ,3引例 一人骑车

2、从距家一人骑车从距家a公里处以每小时公里处以每小时b公里的公里的速度回家速度回家. 一只苍蝇以每小时一只苍蝇以每小时2b公里的速度在公里的速度在车的前轮和家门之间往返飞行车的前轮和家门之间往返飞行. 问：骑车人到问：骑车人到家时，苍蝇飞行了多少公里家时，苍蝇飞行了多少公里. 第一个往返，人与苍蝇通过的路程之和是第一个往返，人与苍蝇通过的路程之和是2a公里公里. 苍蝇速度是人的苍蝇速度是人的2倍倍. 所以苍蝇飞行了所以苍蝇飞行了34a公里公里, 人走了人走了32a公里公里, 距家距家3a公里公里.4a34a132a次数次数 距家距家 人人 苍蝇苍蝇3a23494aa 292a9a334274aa

3、 3272a13 nana34nna325.23111343434343432aaaaaan 骑车人走了骑车人走了a公里公里, 苍蝇速度是人的苍蝇速度是人的2倍倍, 飞了飞了2a公里公里.67.1 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质第七章第七章 无穷级数无穷级数7.1.1 常数项级数的概念常数项级数的概念给给定定一个一个常数列常数列称为称为(常数项常数项)无穷级数无穷级数, 简称简称级数级数. ,321nuuuu nuuuu321 nnnuuuuu3211记为记为,1 nnu即即其中第其中第 n项项 称为级数的称为级数的一般项一般项, 或或通项通项.nu则表达式则表达式7 nnnuu

4、uuu3211(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项如如 ;1031003103 n;1)1(41312111 nn.)1(11111 n以上均为以上均为(常常)数项数项级数级数.(1)8这样这样, 级数级数(1)对应一个部分和数列对应一个部分和数列: nnuuus21称无穷级数称无穷级数(1)的的,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 按通常的加法运算一项一项的加下去按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数为级数(1)的的,无穷级数定义式无穷级数定义式(1)的含义是什么的含义是什么?也算不完也算不完,永远永远那么如何计算那么如何计算?前前n项之和项之和第第n

5、部分和部分和. niiu1部分和数列可能存在极限部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限也可能不存在极限.9nnuuus 21定义定义7.1 级数级数 的前的前n 项和项和 1nnu称为级数的称为级数的部分和部分和. 1nnus,ssn有有极极限限如如果果数数列列记为记为,limssnn 即即则称级数则称级数 收敛收敛, 1nnu极限极限s 称为级数的称为级数的和和,则称级数则称级数 1nnu发散发散.注注: 如果级数发散如果级数发散, 只是形式上的和只是形式上的和, 无数值无数值 1nnu意义意义.如果部分和数列如果部分和数列 的极限不存在的极限不存在,ns nuuu2110 21nnnnu

6、ussr, 0lim nnr称为级数称为级数的的余项余项.显然有显然有当当n充分大时充分大时,当级数收敛时当级数收敛时, 其部分和其部分和 是级数和是级数和s的近似值的近似值.nss 误差为误差为ns注注常数项级数收敛常数项级数收敛(发散发散).nns lim(不存在不存在)存在存在11解解, 1 q如果如果12 nnaqaqaqasqaqan 1例例 讨论讨论等比级数等比级数(又称又称几何级数几何级数)的收敛性的收敛性, 其中其中q 叫做级数的叫做级数的公比公比.)0(20 aaqaqaqaaqnnn,1时时当当 q, 0lim nnqqasnn 1lim收敛收敛;,1时时当当 q,lim

7、nnq nnslim 发散发散;12，如果如果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn发散发散; aaaa,lim不不存存在在nns 发散发散. 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn级数变为级数变为 综上所述综上所述重要结论重要结论:. 1,1 q公比公比首项首项例例._) 1(_,11121 nnnnnqqq时时当当231qq qq 1公比为公比为q的几何级数的和的几何级数的和13讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性.)0(ln31 aann解解例例因为因为 1ln3nna为公比的等比级数为公比的等比级数,是以是以aln故故,1时时当当eae , 1|ln| a级数级数

8、收敛收敛.发散发散.ea10 当当, 1|ln| a 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn,时时或或ea 14证证 因因,2)1(dnnnasn 证明等差级数是发散的证明等差级数是发散的. nnslim所以所以, 该级数发散该级数发散. 0, dda且且为为常常数数例例 形如形如 的级数称为等差级数的级数称为等差级数, 其中其中 1)(nnda15解解)1(1321211 nnsn 1113121211nn例例 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性.所以所以, 该级数收敛该级数收敛, 且其和为且其和为1.,111 n1lim nns )1(1321211nn16的部分和分别为的

9、部分和分别为 .nns 及及则则nks 于是于是nnnnks limlim 证证性质性质1k是一常数是一常数, 11nnnnkuu 与与令令nnkukuku 21 所以所以, 11nnnnukku7.1.2 收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质如果级数如果级数 收敛于收敛于s, 1nnu并且其和为并且其和为ks.则则级数级数 也收敛也收敛, 1nnkunnsk lim,ks 结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, , 敛散性不变敛散性不变. .ks 17性质性质2,1sunn 且且,1 nnv.)(1 svunnn则则 1nnu若若 1nnv)(1n

10、nnvu 则则发散发散.,1 nnu若若收敛收敛,发散发散, 1nnv均均发散发散,)(1nnnvu 则则敛散性敛散性不确定不确定.证证 niiivu1)(极限的性质极限的性质 niiinvu1)(lim niinniinvu11limlim即证即证.级数的部分和级数的部分和 niiniivu11如果级数如果级数 都收敛都收敛, 11nnnnvu 与与结论结论: : 收敛收敛级数可以逐项相加与逐项相减级数可以逐项相加与逐项相减. .18 例例 11131,21nnnn 1121nn 1121nn都收敛都收敛. 131nn 2111 113131nn无穷递减等比级数的和无穷递减等比级数的和qaS

11、 11 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn 113121nnn311131 25 19性质性质3 添加或去掉添加或去掉有限项有限项不影响一个级数的敛散性不影响一个级数的敛散性.性质性质4 1nnu设级数设级数收敛收敛, 则对其各项任意加括号则对其各项任意加括号所得新级数所得新级数仍收敛仍收敛于原级数的和于原级数的和.证证 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm ,52s 93s ,nms 则则20四个相关命题四个相关命题:(1)(1)收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛. .(3)(3)收敛级数去括弧后所成的级数不一定收

12、敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. .(2)(2)加括弧后发散的级数加括弧后发散的级数, ,去括弧后仍发散去括弧后仍发散. .(4)(4)发散的级数加括弧后不一定发散发散的级数加括弧后不一定发散. .例如例如 1111 收敛收敛 发散发散 )11()11(21证证 1nnus,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssu0 ss性质性质5 (级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)若级数若级数 收敛收敛, 1nnulim0.nnu 则则所以所以0lim nnu必要条件必要条件不充分！不充分！收敛收敛 1 nnu22(1) 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件, 常用判别级数

13、发散常用判别级数发散;(3) 必要条件不是充分条件必要条件不是充分条件., 0lim nnu有有 n131211如如调和级数调和级数(2) 也可用于验证数列的极限为也可用于验证数列的极限为“0”;但级数是否收敛但级数是否收敛? 1)1(4332211nnn 发散发散注意注意:例如例如,23nnnssnn2121112 212 nn)lim(2nnnss , 0 ss nnn13121111发散发散重要结论重要结论:所以所以, 级数级数发散发散.这是不可能的这是不可能的, ),(210 n假设调和级数收敛假设调和级数收敛, 其和为其和为 s.于是于是因因有有24两个相关命题两个相关命题:收敛收敛

14、 1 )1(nnu例如：例如：. 0lim nnu发散发散 1 )2(nnu. 0lim nnu. 01lim nn但但,11发散发散调和级数调和级数 nn25例例 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性)1( 13)32)(12)(12(52nnnnnn)2( 1)1(3nnnnn 133ln31nnnn)3(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件常用判别级数发散常用判别级数发散. ., 0lim nnu解题思路解题思路26)1( 13)32)(12)(12(52nnnnnn解解 由于由于 nnulim81 发散发散0 )32)(12)(12(52lim3 nnnnnn)2( 1)1(3nnnnn解解 由于由于 nnulim nnn111lim30 发散发散e327 133ln31nnnn)3( 解解 11nn 131nn而级数而级数33ln r33ln| r所以这个等比级数所以这个等比级数 133ln31nnnn发散发散.由由性质性质2知知,由由性质性质1知知,发散发散.因调和级数因调和级数发散发散,为公比的等比级数为公比的等比级数