二次函数解答题201511.25

1、二次函数解答题 2015.11.25一选择题（共1小题）1（2015绥化）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A10B8C5D6二填空题（共1小题）2（2008罗田县校级自主招生）已知点A（1，3），B（4，1），在x轴上找一点P，使得AP+BP最小，那么P点的坐标是三解答题（共13小题）3（2016贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的

2、最大值（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标4（2015枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC为直角三角形时点P的坐标5（2015酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于

3、点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由6（2015内江）如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NPx轴于点P，设点N的横坐标为t（t2），求ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若t2且t0时OPNCOB，求点N的坐标7（2015凉山州）如图，已知抛物

4、线y=x2（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点（1）求m的值（2）求A、B两点的坐标（3）点P（a，b）（3a1）是抛物线上一点，当PAB的面积是ABC面积的2倍时，求a，b的值8（2015遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（2，0），B（4，0），C（0，3）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点M，使ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与ABC围成的图

5、形面积为S，试确定S与t的函数关系式9（2015东营）如图，抛物线经过A（2，0），B（，0），C（0，2）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求点D的坐标；（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足AMH=90°？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由10（2015漳州）如图，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题（1）填空：点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）设点P的坐标为（a，0），当|PDPC|最大时，求的值并在图中标出点P的位置；

6、（3）在（2）的条件下，将BCP沿x轴的正方向平移得到BCP，设点C对应点C的横坐标为t（其中0t6），在运动过程中BCP与BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？11（2015衢州）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a10，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a20，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”求函数y=x2+3x2的“旋转函数”小明是这样思考的：由函数y=x2+3x2可知，a1=1，b1=3，c1=2，

7、根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”请参考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y=x2+3x2的“旋转函数”；（2）若函数y=x2+mx2与y=x22nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2015的值；（3）已知函数y=（x+1）（x4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分布是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=（x+1）（x4）互为“旋转函数”12（2015云南）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于

8、点C，直线y=kx+n（k0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由13（2015杭州模拟）已知经过原点的抛物线y=2x2+4x（如图所示）与x的另一交点为A现将它向右平移m（m0）位，所得抛物线与x轴交于C、D点，与原抛物线交于点P（1）求点P的坐标（可用含m式子表示）；（2）设PCD的面积为s，求s关于m关系式；（3）过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E，交平移后的抛物线于点F请问是否存在m，

9、使以点E、O、A、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由14（2015重庆模拟）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：我们把它们称为根与系数关系定理如果设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1x2|=请你参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然AB

10、C为等腰三角形（1）当ABC为等腰直角三角形时，求b24ac的值；（2）当ABC为等边三角形时，b24ac=；（3）设抛物线y=x2+kx+1与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且ACB=90°，试问如何平移此抛物线，才能使ACB=60°？15已知点A（1，3）、B（5，2），在x轴上找一点P，使（1）AP+BP最小；（2）|APBP|最小；（3）|APBP|最大二次函数解答题 2015.11.25参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1（2015绥化）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（） A10

11、B8C5D6【考点】轴对称-最短路线问题菁优网版权所有【分析】过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB于F点，EF就是所求的线段【解答】解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB于F点，AC=5，AC边上的高为2，所以BE=4ABCEFB，=，即=EF=8故选B二填空题（共1小题）2（2008罗田县校级自主招生）已知点A（1，3），B（4，1），在x轴上找一点P，使得AP+BP最小，那么P点的坐标是（，0）【分析】只有当A、B、P这三点共线时AP+BP=AB，这时就有最小值，根据这个求出AB的解析式，再求它和x轴的交点即可【

12、解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，所以，解得k=，b=，所以解析式为y=x+，当y=0时，x=，所以P点的坐标是（，0）【点评】主要考查了三角形三边关系和最短线路问题；解题的关键是根据“三角形两边之差小于第三边”得到AP+BP=AB时有最小值，所以利用函数的知识即可求解三解答题（共13小题）3（2016贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断

13、有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标【考点】二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式（2）设出M点的坐标，利用S=SAOM+SOBMSAOB即可进行解答；（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a0），将A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点代入函数解析式得：解得，所以此函数解析式为：y=；（2

14、）M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，M点的坐标为：（m，），S=SAOM+SOBMSAOB=×4×（m2m+4）+×4×（m）×4×4=m22m+82m8=m24m，=（m+2）2+4，4m0，当m=2时，S有最大值为：S=4+8=4答：m=2时S有最大值S=4（3）设P（x，x2+x4）当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQOB，且PQ=OB，Q的横坐标等于P的横坐标，又直线的解析式为y=x，则Q（x，x）由PQ=OB，得|x（x2+x4）|=4，解得x=0，4，2±2x=0不合题意，舍去如图，当BO为对角线时，知

15、A与P应该重合，OP=4四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=x得出Q为（4，4）由此可得Q（4，4）或（2+2，22）或（22，2+2）或（4，4）4（2015枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC为直角三角形时点P的坐标【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点

16、坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值（3）当PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解【解答】解：（1）B（4，m）在直线y=x+2上， m=4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，解得，抛物线的解析式为y=2x28x+6（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n28n+6）

17、，PC=（n+2）（2n28n+6），=2n2+9n4，=2（n）2+，PC0，当n=时，线段PC最大且为（3）PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则APC=90°由题意易知，PCy轴，APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则PAC=90°如答图31，过点A（，）作ANx轴于点N，则ON=，AN=过点A作AM直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，AMN为等腰直角三角形，MN=AN=，OM=ON+MN=+=3，M（3，0）设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，直线AM的解析式为：y=x+3 又抛物线的解析式为：y=2x28x+6

18、 联立式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）C（3，0），即点C、M点重合当x=3时，y=x+2=5， P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则ACP=90°y=2x28x+6=2（x2）22，抛物线的对称轴为直线x=2如答图32，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）当x=时，y=x+2=P2（，）点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，综上所述，PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识5（2015酒泉）如图，在直角坐

19、标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点A关

20、于对称轴的对称点A的坐标为（6，4），连接BA交对称轴于点P，连接AP，此时PAB的周长最小，可求出直线BA的解析式，即可得出点P的坐标（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0t5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），把点A（0，4）代入上式得：a=，y=（x1）（x5）=x2x+4=（x3）2，抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为（3，）理由如下：点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，点A

21、关于对称轴的对称点A的坐标为（6，4）如图1，连接BA交对称轴于点P，连接AP，此时PAB的周长最小设直线BA的解析式为y=kx+b，把A（6，4），B（1，0）代入得，解得，y=x，点P的横坐标为3，y=×3=，P（3，）（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0t5），如图2，过点N作NGy轴交AC于G；作ADNG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=x+4，把x=t代入得：y=t+4，则G（t，t+4），此时：NG=t+4（t2t+4）=t2+4t，AD+CF=CO=5，SACN=S

22、ANG+SCGN=AD×NG+NG×CF=NGOC=×（t2+4t）×5=2t2+10t=2（t）2+，当t=时，CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2t+4=3，N（，3）【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用6（2015内江）如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NPx轴于点P，设点N的横坐标为t（t2），求ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若t2且t0时OPNCO

23、B，求点N的坐标【考点】二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，然后只需运用待定系数法就可解决问题；（2）当t2时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；（3）根据相似三角形的性质可得PN=2PO由于PO=，需分t0和0t2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可解决问题【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题可得：，解得：，抛物线的函数关系式为y=x2+x+1；（2）当t2时，yN0，NP=|yN|=

24、yN=t2+t+1，S=ABPN=×（2+）×（t2+t+1）=（t2+t+1）=t2+t+；（3）OPNCOB，=，=，PN=2PO当t0时，PN=yN=t2+t+1，PO=t，t2+t+1=2t，整理得：3t29t2=0，解得：t1=，t2=0，0，t=，此时点N的坐标为（，）；当0t2时，PN=yN=t2+t+1，PO=t，t2+t+1=2t，整理得：3t2t2=0，解得：t3=，t4=10，012，t=1，此时点N的坐标为（1，2）综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，需

25、要注意的是：用点的坐标表示相关线段的长度时，应先用坐标的绝对值表示线段的长度，然后根据坐标的正负去绝对值；解方程后要检验，不符合条件的解要舍去7（2015凉山州）如图，已知抛物线y=x2（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点（1）求m的值（2）求A、B两点的坐标（3）点P（a，b）（3a1）是抛物线上一点，当PAB的面积是ABC面积的2倍时，求a，b的值【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）抛物线的顶点在x轴的正半轴上可知其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式等于0可求得m的值；（2）由（

26、1）可求得抛物线解析式，联立一次函数和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；（3）分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，可先求得ABC的面积，再利用a、b表示出PAB的面积，根据面积之间的关系可得到a、b之间的关系，再结合P点在抛物线上，可得到关于a、b的两个方程，可求得a、b的值【解答】解：（1）抛物线y=x2（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，方程x2（m+3）x+9=0有两个相等的实数根，（m+3）24×9=0，解得m=3或m=9，又抛物线对称轴大于0，即m+30，m=3；（2）由（1）可知抛物线解析式为y=x26x+9，联立一次函数y=x+3，可得，解得或

27、，A（1，4），B（6，9）；（3）如图，分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b），AR=4，BS=9，RC=31=2，CS=63=3，RS=61=5，PT=b，RT=1a，ST=6a，SABC=S梯形ABSRSARCSBCS=×（4+9）×5×2×4×3×9=15，SPAB=S梯形PBSTS梯形ABSRS梯形ARTP=（9+b）（6a）（b+4）（1a）×（4+9）×5=（5b5a15），又SPAB=2SABC，（5b5a15）=30，即ba=

28、15，b=15+a，P点在抛物线上，b=a26a+9，15+a=a26a+9，解得a=，3a1，a=，b=15+=【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数与一元二次方程的关系、函数图象的交点及三角形的面积等知识点在（1）中由顶点在x轴的正半轴上把问题转化为二元一次方程根的问题是解题的关键，在（2）中注意函数图象交点的求法，在（3）中用P点坐标表示出PAB的面积是解题的关键本题涉及知识点较多，计算量较大，有一定的难度8（2015遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（2，0），B（4，0），C（0，3）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点M，使

29、ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）把A（2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c，求解即可；（2）作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1，则AM1C是等腰三角形，然后求出OM1得出M1的坐标，当CA=CM2时，则AM2C是等腰三角形，求出OM2得出M2的坐标，当CA=AM3时，则AM3C是等腰

30、三角形，求出OM3得出M3的坐标，当CA=CM4时，则AM4C是等腰三角形，求出OM4得出M4的坐标，（3）当点P在y轴或y轴右侧时，设直线与BC交与点D，先求出SBOC，再根据BPDBOC，得出=（）2，=（）2，求出S=SBPD；当点P在y轴左侧时，设直线与AC交与点E，根据=（）2，得出=（）2，求出S=SABCSAPE=9，再整理即可【解答】解：（1）把A（2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c得：，解得：，则抛物线的解析式是：y=x2+x+3；（2）如图1，作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1，则AM1C是等腰三角形，AC=，CN=，

31、CNM1COA，=，=，CM1=，OM1=OCCM1=3=，M1的坐标是（0，），当CA=CM2=时，则AM2C是等腰三角形，则OM2=3+， M2的坐标是（0，3+），当CA=AM3=时，则AM3C是等腰三角形， 则OM3=3， M3的坐标是（0，3），当CA=CM4=时，则AM4C是等腰三角形，则OM4=3，M4的坐标是（0，3），（3）如图2，当点P在y轴或y轴右侧时，设直线与BC交与点D，OB=4，OC=3，SBOC=6，BP=BOOP=4t， =，BPDBOC =（）2， =（）2，S=SBPD=t23t+6（0t4）；当点P在y轴左侧时 设直线与AC交与点E，OP=t，AP=t+2

32、， =，=（）2， =（）2， SAPE=，S=SABCSAPE=9=t23t+6（2t0） 【点评】此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，注意分类讨论，数形结合的数学思想方法9（2015东营）如图，抛物线经过A（2，0），B（，0），C（0，2）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求点D的坐标；（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足AMH=90°？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明

33、理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；（2）根据图形的割补法，可得面积的和差，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据余角的性质，可得AMN=NKM，根据相似三角形的判定与性质，可得=，根据解方程组，可得H点坐标【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A（2，0），B（，0），C（0，2）代入解析式，得，解得抛物线的解析式是y=2x2+5x+2；（2）由题意可求得AC的解析式为y=x+2，如图1， 设D点的坐标为（t，2t2+5t+2），过D作DEx轴交AC于E点，E点的坐标为（t，t+2），DE=t+2（2

34、t2+5t+2）=2t24t，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，SDAC=SCDE+SADE=DEh+DE（2h）=DE2=DE=2t24t=2（t+1）2+22t0，当t=1时，DCA的面积最大，此时D点的坐标为（1，1）；（3）存在点H满足AMH=90°，由（1）知M点的坐标为（，）如图2：作MHAM交x轴于点K（x，0），作MNx轴于点N，AMN+KMA=90°，NKM+KMN=90°，AMN=NKMANM=MNK，AMNMKN， =， MN2=ANNK，（）2=（2）（x+）， 解得x= K点坐标为（，0）直线MK的解析式为y=x，把代入，化简得48x

35、2+104x+55=0=10424×48×55=64×4=2560，x1=，x2=，将x2=代入y=x，解得y=直线MN与抛物线有两个交点M、H，抛物线上存在点H，满足AMH=90°，此时点H的坐标为（，）【点评】本题考察了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用图形割补法求面积是解题关键，（3）利用相似三角形的判定与性质得出=是解题关键，解方程组是此题的难点10（2015漳州）如图，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题（1）填空：点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4

36、）；（2）设点P的坐标为（a，0），当|PDPC|最大时，求的值并在图中标出点P的位置；（3）在（2）的条件下，将BCP沿x轴的正方向平移得到BCP，设点C对应点C的横坐标为t（其中0t6），在运动过程中BCP与BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）根据抛物线与坐标轴交点坐标求法和顶点坐标求法计算即可；（2）求|PDPC|的值最大时点P的坐标，应延长CD交x轴于点P因为|PDPC|小于或等于第三边CD，所以当|PCPD|等于CD时，|PCPD|的值最大因此求出过CD两点的解析式

37、，求它与x轴交点坐标即可；（3）过C点作CEx轴，交DB于点E，求出直线BD的解析式，求出点E的坐标，求出PC与BC的交点M的坐标，分点C在线段CE上和在线段CE的延长线上两种情况，再分别求得N点坐标，再利用图形的面积的差，可表示出S，再求得其最大值即可【解答】解：（1）y=x2+2x+3=（x1）2+4，C（0，3），D（1，4），故答案为：0；3；1；4；（2）在三角形中两边之差小于第三边，延长DC交x轴于点P，设直线DC的解析式为y=kx+b，把D、C两点坐标代入可得，解得，直线DC的解析式为y=x+3，将点P的坐标（a，0）代入得a+3=0，求得a=3，如图1，点P（3，0）即为所求；

38、（3）过点C作CEx，交直线BD于点E，如图2，由（2）得直线DC的解析式为y=x+3，由法可求得直线BD的解析式为y=2x+6，直线BC的解析式为y=x+3，在y=2x+6中，当y=3时，x=，E点坐标为（，3），设直线PC与直线BC交于点M，PCDC，PC与y轴交于点（0，3t），直线PC的解析式为y=x+3t，联立，解得，点M坐标为（，），BCBC，B坐标为（3+t，0），直线BC的解析式为y=x+3+t，分两种情况讨论：当0t时，如图2，BC与BD交于点N，联立，解得，N点坐标为（3t，2t），S=SBCPSBMPSBNB=×6×3（6t）×（6t）t&#

39、215;2t=t2+3t，其对称轴为t=，可知当0t时，S随t的增大而增大，当t=时，有最大值；当t6时，如图3，直线PC与DB交于点N，联立，解得，N点坐标为（，），S=SBNPSBMP=（6t）××（6t）×=（6t）2=t2t+3；显然当t6时，S随t的增大而减小，当t=时，S=综上所述，S与t之间的关系式为S=，且当t=时，S有最大值，最大值为【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形三边关系、平移的性质和二次函数的性质等知识点在（1）中掌握二次函数的顶点式是解题的关键，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用t分别表示出E

40、、M、N的坐标是解题的关键，注意分类讨论思想的应用本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大11（2015衢州）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a10，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a20，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”求函数y=x2+3x2的“旋转函数”小明是这样思考的：由函数y=x2+3x2可知，a1=1，b1=3，c1=2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”请参考小明的方法解决下面

41、问题：（1）写出函数y=x2+3x2的“旋转函数”；（2）若函数y=x2+mx2与y=x22nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2015的值；（3）已知函数y=（x+1）（x4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分布是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=（x+1）（x4）互为“旋转函数”【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出a2，b2，c2，从而得到原函数的“旋转函数”；（2）根据“旋转函数”的定义得到m=2n，2+n=0，再解方程组求出m和n的值，然后根据乘方的意义计算

42、；（3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定A（1，0），B（4，0），C（0，2），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到A1（1，0），B1（4，0），C1（0，2），则可利用交点式求出经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=（x1）（x+4）=x2+x2，再把y=（x+1）（x4）化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断【解答】（1）解：a1=1，b1=3，c1=2，1+a2=0，b2=3，2+c2=0，a2=11，b2=3，c2=2，函数y=x2+3x2的“旋转函数”为y=x2+3x+2；（2）解：根据题意得m=2n，2+n=0，解得m=3，n=2，（m+n）2015=（3+2）

43、2015=1；（3）证明：当x=0时，y=（x+1）（x4）=2，则C（0，2），当y=0时，（x+1）（x4）=0，解得x1=1，x2=4，则A（1，0），B（4，0），点A、B、C关于原点的对称点分布是A1，B1，C1，A1（1，0），B1（4，0），C1（0，2），设经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=a2（x1）（x+4），把C1（0，2）代入得a2（1）4=2，解得a2=，经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=（x1）（x+4）=x2+x2，而y=（x+1）（x4）=x2+x+2，a1+a2=+=0，b1=b2=，c1+c2=22=0，经过点A1，B1，C1的二次函数与

44、函数y=（x+1）（x4）互为“旋转函数【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力12（2015云南）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁

45、优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）由C的坐标确定出OC的长，在直角三角形BOC中，利用勾股定理求出OB的长，确定出点B坐标，把B与C坐标代入直线解析式求出k与n的值，确定出直线BC解析式，把A与B坐标代入抛物线解析式求出a的值，确定出抛物线解析式即可；（2）在抛物线的对称轴上不存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，如图所示，分两种情况考虑：当PCCB时，PBC为直角三角形；当PBBC时，BCP为直角三角形，分别求出P的坐标即可【解答】解：（1）C（0，3），即OC=3，BC=5，在RtBOC中，根据勾股定理得：OB=4，即B（4，0），把B与C坐标代入y=kx+n中，

46、得：，解得：k=，n=3，直线BC解析式为y=x+3；由A（1，0），B（4，0），设抛物线解析式为y=a（x1）（x4）=ax25ax+4a，把C（0，3）代入得：a=，则抛物线解析式为y=x2x+3；（2）存在如图所示，分两种情况考虑：抛物线解析式为y=x2x+3，其对称轴x=当P1CCB时，P1BC为直角三角形，直线BC的斜率为，直线P1C斜率为，直线P1C解析式为y3=x，即y=x+3，与抛物线对称轴方程联立得，解得：，此时P（，）；当P2BBC时，BCP2为直角三角形，同理得到直线P2B的斜率为，直线P2B方程为y=（x4）=x，与抛物线对称轴方程联立得：，解得：，此时P2（，2）综

47、上所示，P1（，）或P2（，2）当点P为直角顶点时，设P（，y），B（4，0），C（0，3），BC=5，BC2=PC2+PB2，即25=（）2+（y3）2+（4）2+y2，解得y=，P3（，），P4（，）综上所述，P1（，），P2（，2），P3（，），P4（，）【点评】此题考查的是二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，二次函数的性质，以及两直线垂直时斜率的关系，熟练掌握待定系数法是解本题的关键13（2015杭州模拟）已知经过原点的抛物线y=2x2+4x（如图所示）与x的另一交点为A现将它向右平移m（m0）位，所得抛物线与x轴交于C、D点，与原抛物线交于点P（1

48、）求点P的坐标（可用含m式子表示）；（2）设PCD的面积为s，求s关于m关系式；（3）过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E，交平移后的抛物线于点F请问是否存在m，使以点E、O、A、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）首先将抛物线表示出顶点式的形式，再进行平移，左加右减，即可得出答案；（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，根据当0m2，当m=2，即点P在x轴时，当m2即点P在第四象限时，分别得出即可；（3）根据E、O、A、F为顶点的四边形是平行四边形，则EF=OA=2由轴对称可知PE=PF，表示出E点的

49、坐标，再把点E代入抛物线解析式得出即可【解答】解：（1）原抛物线：y=2x2+4x=2（x1）2+2，则平移后的抛物线为：y=2（x1m）2+2，由题得，解得，点P的坐标为（，）；（2）抛物线：y=2x2+4x=2x（x2）抛物线与x轴的交点为O（0，0）A（2，0），AO=2，C、D两点是抛物线y=2x2+4x向右平移m（m0）个，单位所得抛物线与x轴的交点CD=OA=2，当0m2，即点P在第一象限时，如图1，作PHx轴于HP的坐标为（，），PH=，S=CD2（m2+2）=m2+2，当m=2，即点P在x轴时，PCD不存在，当m2即点P在第四象限时，如图2，作PHx轴于HP的坐标为（，），PH

50、=，S=CDHP=×2×=m22；（3）如图3，若以E、O、A、F为顶点的四边形是平行四边形，则EF=OA=2由轴对称可知PE=PF，PE=，P（，），点E的坐标为（，），把点E代入抛物线解析式得：，解得：m=1 【点评】此题主要考查了二次函数解析式的顶点坐标求法以及平行四边形的判定，题目综合性较强，从题目问题开始逐步分析，是解决问题的关键14（2015重庆模拟）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：我们把它们称为根与系数关系定理如果设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1x2|=请你参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，