第2章 2.3 圆锥曲线的参数方程

1、.2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2抛物线的参数方程2.3.3双曲线的参数方程1.理解双曲线、抛物线的参数方程.2.理解椭圆的参数方程及其应用.重点3.可以利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.难点根底初探1.椭圆的参数方程1椭圆1的参数方程为， 0t2.2假设椭圆的中心不在原点而在点M0x0，y0，相应的椭圆的参数方程为， 0t2.2.双曲线的参数方程双曲线1的参数方程为.3.抛物线的参数方程抛物线y22px的参数方程是tR，t为参数.考虑探究1.椭圆的参数方程中，参数是OM的旋转角吗？【提示】椭圆的参数方程为参数中的参数不是动点Mx，y的旋转角，它是点M

2、所对应的圆的半径OA或OB的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角.2.双曲线的参数方程中，参数的三角函数sec 的意义是什么？【提示】sec ，其中0,2且，.3.类比y22pxp0，你能得到x22pyp0的参数方程吗？【提示】p0，t为参数，tR.自主测评1.参数方程为参数化为普通方程为A.x21B.x21C.y21D.y21【解析】易知sin x，cos ，x21.【答案】A2.方程为参数，ab0表示的曲线是A.圆B.椭圆C.双曲线D.双曲线的一部分【解析】由cos xa，cos ，代入ybcos ，得xyab，又由ybcos 知，y|b|，|b|，曲线应为双曲线的一部分.【答案】D3.点

3、M3，m在以F为焦点的抛物线t为参数上，那么|MF|等于A.1 B.2 C.3D.4【解析】由得，即y24x，p2.|MF|3314.【答案】D4.点Px，y在椭圆y21上，那么xy的最大值为_.【解析】由可得椭圆的参数方程为为参数，那么xy2cos sin sintan 2，xymax.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 类型一椭圆的参数方程及应用将参数方程为参数化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标.【导学号：62790012】【精彩点拨】根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究

4、曲线形状和几何性质.【尝试解答】由得两式平方相加，得1.a5，b3，c4.因此方程表示焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为F14,0和F24,0.椭圆的参数方程(为参数，a，b为常数，且ab0)中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上.再练一题1.假设本例的参数方程为为参数，那么如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】将化为，两式平方相加，得1.其中a5，b3，c4.所以方程的曲线表示焦点为F10，4与F20,4的椭圆.曲线C1：t为参数，曲线C2：1.1化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？2假设C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直

5、线C3：x2y70间隔 的最小值.【精彩点拨】1参数方程与普通方程互化；2由中点坐标公式，用参数表示出点M的坐标，根据点到直线的间隔 公式得到关于的函数，转化为求函数的最值.【尝试解答】1由，得，曲线C1：x42y321，C1表示圆心是4,3，半径是1的圆.曲线C2：1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.其参数方程为为参数.2依题设，当t时，P4,4；且Q8cos ，3sin ，故M24cos ，2sin .又C3为直线x2y70，M到C3的间隔 d|4cos 3sin 13|5cos13|，从而当cos ，sin 时，d获得最小值.1.从第2问可以看出椭圆的参

6、数方程在解题中的优越性.此题易错点主要有：一是在第1问中，不能将圆的参数方程化为普通方程；二是在第2问中对绝对值的函数形式变形不对或认为cos1时取最小值，从而得出错误结论.2.第2问设计非常新颖，题目的要求就是求动点M的轨迹上的点到直线C3间隔 的最小值，这个最小值归结为求关于参数的函数的最小值.再练一题2.点P是椭圆y21上任意一点，求点P到直线l：x2y0的间隔 的最大值.【解】因为P为椭圆y21上任意一点，故可设P2cos ，sin ，其中0,2.又直线l：x2y0.因此点P到直线l的间隔 d.所以，当sin1，即时，d获得最大值.类型二双曲线参数方程的应用求证：双曲线1a0，b0上任

7、意一点到两渐近线的间隔 的乘积是一个定值.【精彩点拨】设出双曲线上任一点的坐标，假设注意到三角函数有利于三角变换，可利用双曲线的参数方程简化运算.【尝试解答】由双曲线1，得两条渐近线的方程是：bxay0，bxay0，设双曲线上任一点的坐标为asec ，btan ，它到两渐近线的间隔 分别是d1和d2，那么d1d2定值.在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的间隔 公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外此题要注意公式sec2 tan2 1的应用.再练一题3.圆C：x2y221上一点P，与双曲线x2y21上一点Q，求P，Q两点间隔 的最小值.【解】双曲线x

8、2y21的参数方程为那么Qsec ，tan ，又圆心C0,2，那么|CQ|2sec2 tan 22tan2 1tan 222tan 123，当tan 1，即时，|CQ|2取最小值3，此时有|CQ|min.又因为|PC|1，所以|PQ|min1.类型三抛物线的参数方程设抛物线y22px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQl于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程.【精彩点拨】解答此题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可.【尝试解答】设P点的坐标为2pt2,2ptt为参数，当t0时，直线OP的方程为yx，QF的方程为y2tx，它们的交点Mx，y由方

9、程组确定，两式相乘，消去t，得y22xx，点M的轨迹方程为2x2pxy20x0.当t0时，M0,0满足题意，且合适方程2x2pxy20.故所求的轨迹方程为2x2pxy20.1.抛物线y22pxp0的参数方程为t为参数，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程，其根本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.再练一题4.抛物线y22px过顶点两弦OAOB，求以OA、OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹.【解】设A2pt，2pt1，B2pt，2pt2，那么以OA为直径的圆的方程为x2y22ptx2pt1y0，以OB为直径的圆方程为x2y22ptx2pt2y0，t1，t2为方程2pxt22ptyx2y20的两根.t1t2.又OAOB，t1t21，x2y22px0.另一交点Q的轨迹是以p,0为圆心，p为半径的圆.真题链接赏析教材P46习题23T1设直线的参数方程为它与椭圆1的交点为A和B，求线段AB的长.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为t为参数，椭圆C的参数方程为为参数.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.【命题立意】知识：考察直线与椭圆的参数方程、参数方程与普