数值分析作业答案

1、第2章插值法1、当x=1, -1, 2时，f(x)=0, -3, 4,求f(x)的二次插值多项式(1)用单项式基底。2) 用Lagrange插值基底。3) 用Newton基底。证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：(1)用单项式基底1X02X0所以：A =1X12X11X22X2设多项式为：P(x) = a。aiX a?x ，1 1 11 -1 1124a。f (Xo) X。 f(X1) X!f(X2) X2X02X02011/11114X1X1=-3-111-11=2-6X2X2424/124f (Xo)f (X1)f (X2)031141 1-1 1242Xo2X11X0f (X0)1

2、X。2xoa2 1X1f (X1)1 X12X11X2f (X2)/1 x22X22X296 2110/1111-1-31-11124/124_5-6 6lo(x)(X 1)(x-2)(1 1)(1 -2)7 35 2所以f(X)的二次插值多项式为：P(x)x x3 26(2)用 Lagrange插值基底(x -xj(x -X2)(X0 一 X1)(X0 -X2)h(x)(X - X°)(X -X2)区x°)(x1 X2)(X -1)(x -2)(-1 -1)(-1 -2)l2(x)(x x°)(x xj(X2-X°)(X2 -xj(x -1)(x1)(

3、2 -1)(2 1)Lagra nge插值多项式为：L2(X)二 f(Xo)lo(X) f(x)i(x) f(X2)l2(X)11= 0(-3) (x _1)(x -2)4 (x -1)(x1)635 237=XX6 237 35所以f(x)的二次插值多项式为：L2(x)二 x -x23 26用Newton基底：均差表如下：Xkf(Xk)一阶均差二阶均差10-1-33/22r 47/35/6Newton插值多项式为：N2(x) = f (x°) f x°, xj(x - x°) fx°,人 xK x - x°)(x - xj35=0(x -1)

4、(x -1)(x1)265 237=XX - 一6237 35 2所以f(x)的二次插值多项式为：N2(x)X x3 26由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。6、在-4乞x岂4上给出f (x) =ex的等距节点函数表，若用二次插值求 值，要使截断误差不超过IO'6，问使用函数表的步长 解：以Xi-1 ,Xi,Xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有h应取多少?ex的近似R2(x)二f ( )(xx*)(xXi)(xXi 1), (Xi，Xi1) 3!式中 Xj 丄二 xh, Xj 彳=x h.R2(x)=14e6xi丄1 4 2 max (x x*)(x xj(x 人十)兰

5、e - 童童+63h34令 e h3 <10 -得 h _ 0.006589*3-插值点个数4(4)11216 .8 乞 1217N -1是奇数，故实际可采用的函数值表步长4 _(_4)8h0.006579N -112168、 f (x) =X7 X4 3x - 1，求 f 20,21 ,，27及 f 2°,21,，28。解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：f(n)( ©fx°,X1, Xn，-; ：=a,bn!(7).017 f ( )7!,所以有：f2 ,2，,2 17!7!0 18f (8)( )0f2 ,2 , * "丁廿 015、

6、证明两点三次Hermite插值余项是R3(x)二 f (J(x Xk)2(x Xk 1)2 / 4!, 1 三(Xk,Xk .1) 并由此求出分段三次 Hermite插值的误差限。证明：利用xk， Xk+1上两点三次Hermite插值条件H 3(xQ 二 f (Xk), H 3(Xk J = f (Xk JFFH 3 (Xk)二 f (Xk), H3(Xk1) = f (Xk 1)知 R3 (x) = f ( x) - H 3(X)有二重零点 Xk 和 k+1。设2 2Rs(x) =k(x)(x Xk) (x Xk J确定函数k(x): 当X二Xk或Xk+1时k(x)取任何有限值均可;-Xk,

7、Xk 1时，x，(Xk,x)，构造关于变量t的函数2 2g(t)二 f (t) H3(t) -k(x)(x -Xk) (X -Xk 1)显然有(4)f(4)(x)XkmaXxl1(x Xk)2(x xk1)而最值 max (x - xk)2 (x - xk 1 )2xk爸兰+224=max s (s -1) h0兰丄14=h , (x = xk 亠 sh)16g (Xk )二 0, g(x) = 0, g (Xk .J = 0 g (xQ =0,g g *) =0在Xk,xx,Xk+i上对g(x)使用Rolle定理，存在.(xx)及 (x x)使得g ( i) =o,g ( 2) =o在(Xk

8、，1), ( 1, 2) , ( 2，xk .)上对 g (x)使用 Rolle 定理，存在 ki (Xk, 1),k2 * ( 1，2)和 k3.( 2，Xk 1)使得g (=g ( k2)=g '( k3)=0再依次对g (t)和g '(t)使用Rolle定理，知至少存在- (Xk,Xk J使得g(4)( )=0而g(t) = f (4)(t) -k(t)4!，将代入，得到k(t)4 宀八"1)推导过程表明依赖于Xk,Xk 1及X综合以上过程有：R3(x) = f (4)( J(x Xk)2(x Xk .1)2 /4!确定误差限:记I h (x)为f(x)在a,b

9、上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数b aXk 二 a kh, (k 二 0,1 ，n), h 二n在区间Xk，Xk+1上有(4)社2213(一xk)(x-xk+)/4丄万丁嶷进而得误差估计：f(x)-lh(x)兰1 h4max f(4)(x)384 a童直16、求一个次数不高于4次的多项式p(x)，使它满足p(0) = p 2) = 0 ，p(1) = p (1) =0，p(2) =1。运动方程为： s 二-7.85504822.253761 t(xo 二 O,X1= 1)1H 3(x)八H3(Xj)aj(x) H3(Xj)1j(x)j zO(x设 P(x) = H 3(x) Ax

10、 2(x -1)2，令 P(2) =1 得 Au14于是23122122P(x)=2x -x x(x-1)=x(x-3)44第3章 曲线拟合的最小二乘法16、观测物体的直线运动，得出以下数据:i012345时间t/s00.91.93.03.95.0距离s/m010305080110求运动方程。解:经描图发现t和s近似服从线性规律。故做线性模型s=a bt = spa门：1,匕， 计算离散内积有：5521,1 =7 1=6，1,t =' tj =0 亠 0.9 T.9 亠 3.0 亠 3.9 亠 5.0=14.7j =0j =052222222t,t 八 t；00.91.93.03.95

11、.0= 53.63j =051, s 為 Sj =010305080110 =280j =05t, s tjSj =0 00.9 101.9 303.0 503.9 805.0 110 =1078j =0求解方程组得：，Z 614.7，Z280 '=*4.7 53 .63 人b 丿 11078 /a = -7.855048， b =22.25376152平方误差：、：2 二 ：Sj _s(tj) 1 ： 2.1 102j m仃、已知实验数据如下:i01234Xi1925313844Yi19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如y =a bx2的经验公式，并计算均方差解：

12、门-span 1 ,x2 /，计算离散内积有：442 . 2 2222221,1 八 1=5，1,xXj =1925313844= 5327j =0j =0422444444x ,x | xj =1925313844 =7277699j兰41, y 為 yj =19.032.3 49.073.3 97.8 =271 .4j =04- QQQQQQQx , y- x j yj 1919.02532.3 3149.03873.34497.8 =369321.5j鱼求解方程组得:f 55327述a、271 .4=(53277277699 b /369321 .5 a - 0.972579， b =

13、0.050352所求公式为：y = 0.9725790.05035 x1均方误差:§ =任 0Xj)yj】 -0.12262J第4章数值积分与数值微分1确定下列求积分公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并其代数精 度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h. f(x)dx : A(-h) A°f(0) Af (h)；2h(1) f (x)dx ： A 1 f h) A0 f (0)A1f (h)；1(2) f (x)dx ： f (-1) 2 f(x1) 3 f (x2) /3 ；-1h2(4) o f (x)dx : h f (0) f (h) /2 ah

14、f (0) _ f (h)h解：(1) f (x)dx ： Aif(_h) A°f(0)Ai f (h)；将f (x) =1,x,x2分别代入公式两端并令其左右相等，得hA t亠代亠A 1dx = 2h.hh-hA 1 亠 0 A0 亠 hAt xdx =0,h2 3 dx = h32 2h AA0 0 h A1h2x38h4h332h38h4h332h所求公式至少具有2次代数精确度。又由于4hL.f (0) - f (h)具有3次代数精确度。 33(2)2 hf (x)dx : Af (h)A0f (0) A f (h)-2hf (x) =1,x,x2分别代入公式两端并令其左右相等

15、，得2 hAA0A 二 1dx =4hL_2h2 h一hA0 A。hA1= .jdx=02(-h)A。2h2= x dx-2h16 3 =h解得:,A038h4h335令 f (x) =x3，得 x3dx = 0 =吵(_* 竺.h3 =03125125令 f (x) = X4，得2hh2 h4x dx564 h 8h 4 8h 4 (-h)h53316h125故求积分公式具有3次精确度。1(3) i f (x)dx : f (1)2 f (x1) 3f (X2) /3当f (x) =1时，易知有1f (x)dx ： f (-1) 2f (xj 3f (x2) /3 )1令求积分公式对f(X)

16、= X, X2准确成立，即11 xdx = 0 = _1 2x3x21纠2皿*洛=0.6898979x2 - -0.1265986丄33X! =0.2898979 亠 则解得1或x2 =0.5265986i厶将f(x) =x3代入已确定的积分公式，则1f (x)dx - f ( -1) 2f(x1) 3f (x2)/3故所求积分式具有2次代数精确度。h 2(3) f (x)dx : h f (0) f (h) / 2 ah f (0 f (h)当f (x) =1, x时，有h1dx : h11/2 ah20 - 0hxdx : h0 h /2 ah21 -10故令f(x) =x2时求积公式准确

17、成立，即- 2 . 2 . 2x dx : h0 h / 2 ah 0 -2h解得a - 将f (x) =x3,x4代入上述确定的求积分公式，有12hh312=h0 h / 2 h 0122-3h 0dx4X-Io-h0 h4 / 2 丄 h20 _4h412故所求积公式具有3次代数精确度2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)(2)1 '一 Xdx, n =4;(3)f6 J4 sin 2 日d8,n =61解（ 1）复化梯形公式，h二8T8J f(0)f (xQ f (1)二 0.1114024复化辛普森公式,hS8&f(0)f(xk 2)+4 送 f(Xk)+

18、f(Jk ±= 0.1115718(2) h =2T4-f (1)f(xk) - f (9)k土= 17.3060005hS463f (x4、 f(Xk)f (9)k2(3) h =36T6h f(0)S6hf (0)6 -= 16.72375052 f(xk)2=1.0356841心6f (x 羊)+4送 f (xj + f 匸)k 2心6L.03576395、b推导下列三种矩形求积公式：f Q)2=(b -a) f (a)(b -a)2 ;2f 0)2=(b -a) f (a)(b -a)；2a +bf ”()3(b - a) f ()(b _ a)。f (x)dxf (x)dx

19、f (x)dx224解：(1)左矩形公式，将f(x)在a处展开，得f(X)二 f (a) - f ( )(a)<(a,x)两边在a,b上积分，得bbbf (x)dx = f (a)dx 亠 | f ( )(xa)dxb=(b - a) f (a)亠 | f ( )( x - a)dx由于x-a在a,b上不变号，故由积分第二中值定理，有厂e (a,b)bbf (x)dx = ( -a) f (a)f ( ) (x a)dxa从而有b12f (x)dx =(b _a) f (a) f ( )( b _a) J 三(a, b)a(2) 右矩形公式，同(1)，将f (x)在b点处展开并积分，得b

20、 1 2f (x)dx =(b a) f (a) f ( )(b _a)厂三(a, b)a(3) 中矩形分式，将f(x)在处展开，得2a +b ” a +ba +bf (x) = f () f ()(x -2 2两边积分并用积分中值定理，ba亠bf (x) = f ()(b -a) - fa)-f)(xa b2得.a亠b b a亠b ()(x)dxa2(a，b)“艮a + b 2f ( )(x) dx2a b=f ()(b_a)22a b)dx2a b=f( )(b-a)21 3f ( )(ba) ,- (a,b)246、若分别使用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分1i edx，冋区间 i-

21、0,11-0应分多少等份才能使截断误差不超过1 10" 02解：由于 f (x)二 ex = f (x)f(4) (x), b a = 11212n21212n2由复合梯形公式的余项有:Rn f=bah2f 牡)<eJ 10°1212n21212n2解得 n _ 212.85 可取 n =213由辛普森公公式的余项有：1212n2h4 f(兰(丄)4兰丄"0玉2880 n 2解得n _3.707 可取n =48、用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过 10-(1)2a/jT(2)2 二0 :(3)30x2x dx1xe dx ； 0xdx ；Tn解：（1

22、）Tk（k）h心f (x。) f (Xn) 2、 f (Xi) ,k =02vk(k)(k J)4 I2n Tn一 77 ,k =1,2,3, 4k-kT (k)nT (k)1 0T (k)1 1T (k)T 2T (k)1 30h _门-1I=一 'MX。)+f (人)+2 瓦 f (Xj '2 170.77174331AT (0) T (0)(1)4 1 2 n InTn -'410.72806990.713512122(1)丁 (1)(2)4 1 2 n一儿Tn24 -10.71698280.71328700.713272033(2)(2)(3)4 丨2 n一 T

23、nTn-34 -10.71420020.71327260.71327170.7132717kT (k)1 0T ( k)1 103.4513132*10-618.6282830*10-7-4.4469230*10-2118、用三点公式求f(x)=在x =1.0,1.1,1.2处的导数值，并估计误差。的(1 +x)值由下表给出:X1.o1.11.2f (X)o.25ooo.2268o.2o66解：三点求导公式为f (Xo)=丄 l_3f (Xo) 4f(xJ 一 f(X2 f ( ；o)2h31h2f(X1)f (xo) f (xjf ( ；1)2h61 rn hf(X2)f(Xo) -4f (

24、xj 3f (X2)f ( ；2)2h3-i J(Xo,x2), i =o,1j 2取表中x =1.0,1.1,1.2 ，分别将有关数值代入上面三式，即可得导数近似值。由于(X)m ax4!54!5 二 0.75从而可求得误差上限与导数值如下:X1.o1.11.2三点公式-o.247-o.217-o.187误差o.oo25o.oo125o.oo25理论解-o.25-0.2159594-o.18782871X2数值积分法，令(x)二f (x),由Xk牛f (Xk+)= f (Xk) + f ®(x)dx%对积分采用梯形公式，得3f(x)=f(Xk) 3 'l，(Xk) (Xk1

25、)l4 XkL ;；( k),(Xk,Xk1)2 12令k=0,1,得2(X。)(xjf (Xj f(X。)1h"xj(X2)、f (X2)f(Xj同样对Xk 1f (Xk 1)= f (Xk 1)亠 1-'(X) dxXk 1有f (Xk 1)=3= f(X)亠 J (Xk J (Xk 1)d L.Uk),- (XkXk.J2 12从而有1（X。）（X2） f（X2） f（X。）h代入数值，解方程，即得（Xk）, k =0,1,2如下X1.01.11.2 1三点公式-0.247-0.217-0.187误差-0.25-0.2159594-0.1878287理论解-0.25-0

26、.2159594-0.1878287第5章解线性方程的直接方法7、用列主元消去法解线性方程组12Xt -3x2 3x3 =15< 18x<| +3x? X3 = -15Xt + x2 + x3 = 6并求出系数矩阵A的行列式的值I.A_ 1- 115 1-183-1-15-183一1-15771731-15*0-15*036186607173110022666186-77-12-33b =|-1813-1I 111722A = 18 汉 汇=6667X3 =3, X2 = 2,召=18、用直接三角分解求线性方程组的解。111X1+ x2+ _X3=94561 + x21 + X3=

27、83451洛 +x2 +2X3 =8、2解军：由公式 u1i = a1i (i =1,2，门)，丨口=2, 3，,nr丄Uri 二 ari- » IrkUki, i = r, r 1,，n;k 土111456342116045-361315r 二lir = (aV likUkr) / Urr , i = r，1,，n;r = n 知k -41 04A = LU = 132-3610 40 0116045130151 04 b = LY = 13236090 Y = 81 訂9Y =-41541UX =60451315-227.08, x2=476.92, x3日54 j-177.69

28、11/0.60.512、设A =，计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数少10.3 /n解：lA= max=1.10.330.340.3|0.11 << j 二n1A1 = maxaij=0.81住i 土/ nIAf =z2aij=丁0.71 =0.8426150i, j 士丿f A = °60.50.50.370.30.330.1 0.6，max（AT A） =0.6853407113 求证：（1）|x|詞x|L Mn|x|仁;（2）|a|f £ a|L £|a|f v n证明：（1）由定义知nn'lxlm_ax xi 兰xi 十 兰 m

29、 ax xi| 咗 |x| =小|匚1 :SSi ztim 1ii OQ|x|/|x沦 n|x 仁（2）由范数定义，有A 2 =仏（AX）空昭人） -（AX）'n（ATA）nnnn n|a|：=迟 a2 +迟 ai；i +迟 a2 =迟迟 ai2=|A2i 士i =1i=1j i =122max( ATA) _1 ATA - .2ATAr，Nat a故1 |a22第6章解线性方程的迭代法1、设线性方程组5x1 2x2 X3 - -12« 人 + 4 x2 + 2 x3 = 202Xt 3x2 +10x3 =6(1) 考察用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程组的收敛性；(2

30、) 用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程组，要求当x(k 1) -x(k ：10时迭代终止。解：(1)因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比迭代法与高斯-塞德迭代法均收敛。(2)雅可比迭代法格式为(k书2(k)1(k)12X1 X2-X3555(k 4+)1(k)1(k)+ 5X2=X1-X342(k十)1(k)3(k)3X3_X1+X2H51010取x(0)=(1,1,1)T，迭代到17次达到精度要求(0 )x(=(-4.0000186, 2.9999915,2.0000012)高斯-塞德迭代格式为(k 1)2(k)1(k)12X1X2X3555(k 十)1(k)1(k)丄-x2X!x3亠

31、 54 2x(k d lx(k) 2X(k) 3125 1010取x(0) = (1,1,1)T，迭代到8次达到精度要求x(0) =(-4.0000186,2.9999915,2.0000012)第七章0 1.用二分法求方程X J- 1 = 0的正根，要求俣差小于0.05. 解 设 /(J)= J- r - h/(1) = 1 < 0 J=1 > 0,故2为/(力的冇根区间又#(£ = “一】撤当i'< vif l时？(工)单调减:当龙>£时,<(x)单调增.而广丄= ? ” T 2I /(0) =1 由单调性知f(x) = 0的惟一正

32、根j* E 012h根据二分袪的谋差估计式(7.2)50,要求谋差小于0.05, 只需<0.05*g得虽+1為22卡故至少应二分6次具aa协计算结果见表7 4表7-4kbkfg)的符号012L51lt52L7521. 5L 751, 525T31. 51,625L 5&2 541.562 5L6251*593 755I. 593 751,62SIt60S 375即h c r = 1. 609 375 2.为求方程一/一1 =0在,=附近的一个根设将方程改写成下列等价形式李并建立相应的迭代公式.文=1 + A纺迭代公式文=】+ A*(1) .* = 1 + X2 迭代公式 rtT

33、=( 1)7 ：(2) 卡= ，迭代公式：Til =1试分析每种迭代公式的收敛性并选取一种公式求出具冇四位 有效数字的近似根.分析 本题考查根据迭代公式的收敛性选取求方程解的近似值 问题.解 取花=1.5的邻域L1.3J.6来考察.(1)当工 1.3,1.6时g(jr) = 1 +-7 1.3,1 匕.I = L<1故迭代式 =1占在131.6上整体收敛.(2)当工 1.3,1.6：时Z = (1+j-2)i/3 E LI.3,1. 6；V(U 产=0. 522 < 1故心_i = (1 一卅卄在1.3丄6_上整体收敛.心=土冇&3= 2G-1）3- 2（1.6-1）1 故

34、丁I = j 1 二发散.Jg 1由于（2）的L较小，故取（2）中迭代式计算要求结果具 有四位有效数字，只需I及一疋I几一】 vx 1°亠即1i1及 一 g < 七丄 X J X 10-3 v 0 5 X 10-3 取竝=1. 5计算结果见表7-5.表7-5kXkkIk11. 481 248 03441.467 047 97391. 472 705 730b1.466 243 01031. 468 817 31461.465 876 820由于 1*6 _丁5 <X1(T“ 故可取 X* X6 = 1. 466. 6设 p(jr) = jc p(x) f(x) /2 (v

35、r).试确定函数 p(jr)和q&)，使求解/(乂)=0且以卩(工)为迭代函数的迭代法至少三 阶收敛.分析 凡是要证明迭代过程或迭代法收敛的题首选斯蒂芬森定 理.解 要求及t =32 三阶收敛到/Q)= 0的根Q 根据斯蒂 芬森收敛定理9应冇华(X ) = vf ) = 0呻"(h ) = 0.于是由jt" = jr py)jx*) qy)y) /(才)=1“(h) f (jc* ) = 0C'y)= 2py)/'($) py)y) 2qy)/)? = oh，/八i/* i丿(力)得旳)= TTg ) = Tl7yFT7 故取 = T' g)

36、 = 2化第即迭代至少三阶收敛.O 9研究求庙的牛顿公式=不（心 + 于> 1 iiE明对一切k =2刃鼻阳且序列小乜是递减的.1证明证法一用数列的办法因翫由无=* 弘|+旦 知jf心 > 0 且忑=*（ J+ 血 N石朋=I、23申.又由故文出£双即单调递减有下界很据单调冇界原理知，&门冇极限.易证其极限为证法二 设/（工）=X2 a a > 0）,易知/（工）=0在0,+ X）内有惟一实根才=掐对/（jt）应用牛顿迭代法，得当氐 > 血时* 氐爲单调递减冇下界掐种且1岛忑=賦上一 K当航G（0”掐）时.+ 7" > 賦此时从小起“m

37、J单调减冇下界且扱限仍为庙第八章1用幕法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量:73_2 3-43(a) Aj =34_ 19(b)=_463-2_ 13_ 331_当特征值冇3位小数稳定时迭代终止. 分析 本题考察了幕法的计算.解 套用幕法公式如H 0,叭=八"-5max®)取血=(1,1,1)丁 ho,将街代入上式计算结果见下表kmax(u«)1(1.0.750)82(1,0. 648 648 649. -0.297 297 297)9.254(10 608 798 347. - 0. 388 839 681)9.594 900 8506(1 .0, 605

38、776 832. 一 0. 394 120 752)9. 605 429 002(1 .0. 605 609 752 一 0. 394 368 921)9. 605 572 002即比 的主特征值儿 9.605 572,特征向量占 (1,0.605610, -0. 394 369)、将小代入幕法公式取“。=(111)丁计算结果见下表kmax( vk)1(0. 285 714 286,0.714 285 714,1)72(0. 162 790 698*1 .0. 651 162 791)6. 142 857 1435(-0. 476 667 405,1.0. 275 116 331)8. 400

39、 967 98210(0. 598 164 195.0.155 993 744)8.855 264 59716(-0. 604 221 865.10 150 937 317)8.869 534 94717(-0. 604 288 082 10. 150 881 294)8.869 699 412故血的主特征值石& 869 699主特征向量为(一0604 288.1,0.150 881)T.2.利用反幕法求矩阵的最接近于6的特征值及对应的特征向量.分析本题考察了反幕法的计算.1解 本题应按带原点平移的反幕法计算平移量p = 6 因此先将0K = A pl =221-311 51进行三角分

40、解：卩 =其中111丄20010_001，100310_ 112_ 20275200然后利用也=(八1厂解得“=册门得计算得以下结果：vi = (1. 618 518 519,0.807 407 407,0. 185 185 185)1=(1 ,0.498 855 835 ,0. 114 416 475)丁"6 617 848 97 y2 = (0.498 855 835, - 0. 135 011 442,1. 108 009 154)T v2 = (0. 742 944 316,0. 397 406 5590 205 186 88)Tu2 = ( 1 ,0. 534 907 59

41、70 276 180 698)丁以7 345 995 896y3 = (0. 534 907 597,0. 008 726 899 0 993 018 48)Tv3 =(0. 787 588 409,0.408 053 8440 183 892 31 1 )Tu3 = (1.0. 518 105 446,0. 233 487 833)tm 7. 269 698 727 y4 = (0. 518 105 446, - 0.025 564 89 J. 020 451 912)T5 = (0. 772 837 002,0.405 513 711,0. 188 972 576)T心=(1,0.524

42、707 939,0244 518 023)T.A7. 293 933 905y5 = (0. 524 707 939, - 0.017 835 946.1.014 268 757)T= (0. 777 569 5350 406 086 226.0. 187 827 547)T= (1 ,0. 522 250 689,0. 241 557 235)丁以7 286 058 616 力=(0. 522 250 689 - 0.019 568 109-1.015 654 488)T U6 =(0. 776 020 139,0. 405 957 918,0. 188 084 164)T ue = (1,

43、0.523 128 07.0.242 370 2O9)T.A7. 288 626 351y7 = (0. 523 128 07, -0.019 193 826,1.015 355 061 )T v7 = (0. 776 528 141,0. 405 985 642,0. 188 028 715)T it： = (1.0. 522 821 544.0. 242 140 245)T.A 7. 287 783 336 可以看出A的与6最接近的特征值约为7. 288对应特征向 量为(1,0. 522 8,0. 242 1)T. 7.用带位移的QR方法计算2o'31o'(a) A =2_

44、 11.(b)B =121013011的全部持征值.分析熟练掌握带原点位移的QR方法即可得出正确结果.解 （a）记旳=A取5, = 作为平移因子來计算A的全部特征值.5j = 3畑戸2（儿-51/）= R2.828 427 12400-4. 242 604 5861. 732 050 80600. 707 106 781-0. 577 350 2680. 408 248 245_ 052 = 3.333 333 333-2.01.224 744 871.224 744 871. 666 666 6670.235 702 2600. 235 702 263.333 333 333卩23卩 2（玉

45、52 Z ） = R5.472 151 717- 1.566 698 901. 370 688 8340.052 753 495一 0.226 3010.039 502 921- 2.350 649 3450. 306 779 52600. 306 779 5261. 978 401 8220. 006 792 8310.006 792 8313.372 247 82253 = 3.372 247 822%几2（人3 -s3n = n5. 731 1 13 8230-0. 380 950 5721.375 442 8920. 000 363 6110.000 330 107000. 000 033499= UPlz P；3 + $3 J- 2.371 041 1620.073 625 7780-0.073 625 7781. 6998 760 1450_ 003.372 281 32_故A有一个特征值右=3.372 281 32对九 的子矩阵K _ "- 2. 371 041 162 0.078 625 773_'0.073 625 778 1. 998