高考物理一轮复习讲义第四章第讲万有引力与航天含答案

1、第4讲万有引力与航天板块一主干梳理夯实基础【知识点1】 开普勒行星运动定律I1 .定律内容开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。 开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相a3等，即尸=k。2 .使用条件：适用于宇宙中一切环绕相同中心天体的运动，也适用于以行星为中心的卫星。【知识点2】 万有引力定律及应用n1.内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正 比，与两物体间距离的二次方成反比。(2)在狭义相对论中，同

2、一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是 不同的。板块二考点细研悟法培优考点1开普勒第三定律深化理解1 .微元法解读开普勒第二定律，行星在近日点、远日点时速度方向与连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b,取足够短的时间 At,则行星在 At时间内可看作匀速直线运动，由Sa=Sb知；va- ta=1Vb1Ab,可得Va=vOb。行星到太阳的距离越大，行 星的速率越小，反之越大。2 .开普勒第三定律虽然是对行星绕太阳运动的总结，但实践表明该定律也适用于其他天体 的运动，如月球绕地球的运动，卫星(或人造卫星)绕行星的运动。3 .天体虽做椭圆运动，但它们的轨道十分接

3、近圆。为简化运算，一般把天体的运动当成匀 速圆周运动来研究，椭圆的半长轴即为圆的半径。则天体的运动遵从牛顿运动定律及匀速 圆周运动的规律，如 v=cor, F = ma = mv_= mr,w 2等。r例1如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a,近日点离太阳的距离为b,过远日点时行星的速率为 Va,则过近日点时的速率为（）A. Vb=gVa该题涉及开普勒哪条定律？其内容是什么？提示：开普勒第二定律。对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等 的面积。尝试解答 选Co若行星从轨道的 A点经足够短的时间t运动到A'点，则与太阳的连线扫过的面积可看作扇形，其面积

4、$人=岁；若行星从轨道的 B点也经时间t运动到B'点，则与太阳的连线扫过的面积Sb=¥；根据开普勒第二定律得 既苴=b詈，即Vb = 7Va, C正确。222b总结升华绕太阳沿椭圆轨道运行的行星在近日点线速度最大，越靠近近日点线速度越大，线速度大 小与行星到太阳的距离成反比。跟踪训练木星的公转周期约为 12年，若把地球到太阳的距离作为1天文单位，则木星到太阳的距离约为()A . 2天文单位B . 4天文单位C. 5.2天文单位D. 12天文单位答案 C解析 木星、地球都环绕太阳按椭圆轨道运动，近似计算时可当成圆轨道处理，因此它们r 3到太阳的距离可当成是绕太阳公转的轨道半径，

5、根据开普勒第三定律3=占得r木=T朱 T拖3甲 、甚r地=5.2天又单位。拓展延伸考点2天体质量和密度的估算1 .自力更生法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径Ro(1)由GMmn mg得天体质量 M =gR-o RGM M 3g(2)天体密度p= 7=二=|。"kR3 32 .借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。, Mm43/口丁目 0 433由G r2 = m 12倚天体白质里 M = gt2 °(2)若已知天体的半径R,则天体的密度MP v4 鼻-近3 33 /GT2R3(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径 R,则天体密度

6、 p= GT2,可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。例2 2017邢台市四模为研究太阳系内行星的运动， 需要知道太阳的质量， 已知地球半径 为R,地球质量为 m ,太阳与地球中心间距为 r,地球表面的重力加速度为 g,地球绕太阳公转的周期为To则太阳的质量为(4备3A.T2R2g4 "mgr2C. r3T2T2R2gB.4/mr3D.4 "mr3T2R2g(1)知道地球绕太阳公转的周期T和太阳与地球中心间距r,能求太阳质量吗?提示:能。利用GMm 4 % r2 = m t2 roG,可以考虑用哪一信息替代?(2)太阳质量的四个选项中没有引力

7、常量提示：地球表面重力加速度g = GmT。R尝试解答选Do.-'- 一， . , 一. . GMm 4 24 T2r3地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有GMm = m4T2r,所以M=tT2,地球表面物体 mo的重力来源于万有引力， 有GmmUnmog,所以6 = 的,把G代入M=4H， Rmgi4 T2r3 4，r3m.得 M = 2= d2t2 , D 正确。gR t2 gR T m总结升华估算天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质 量，并非环绕天体的质量。(2)区别天体半径 R和卫星轨道半径r

8、,只有在天体表面附近的卫星才有r=R;计算天体密度时，V=4n兀R3中的R只能是中心天体的半径。3递进题组.若已知月球绕地球运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球的轨道半径为r,它绕地球运动的周期为 T,引力常量是 G,由此可以知道()A.月球的质量 m=7-lgiB.地球的质量 M =4者3GT2C.月球的平均密度p= T372gi.3兀D,地球的平均密度p' = G124，r311b 011r_ .、tm=4 ,月球质量无法求出，其密度也无GI答案 B后一口士 GMm m - 4, 日h斛析对月球有 产 =12 J可得地球质量 法计算，故B正确，A、C错误；因不知道地球自身半径，

9、故无法计算密度，故 D错误。2. 2017唐山一模美国航天局与欧洲航天局合作，发射的火星探测器已经成功登录火星。荷兰企业家巴斯兰斯多普发起的“火星一号”计划打算将总共24人送上火星，创建一块长期殖民地。若已知万有引力常量G,那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出火星密度的是()A .在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间tB.火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期TC.火星探测器在高空绕火星做匀速圆周运动，测出距火星表面的高度H和运行周期TD.观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的直径D和运行周期T答案 B解析 由GMm=mg, p= 得：p= 73

10、g,由H=gt2得出g,却不知火星半径，a错R4 34 7GR23成误。由GManm4 r, p= 六得：P= 6添。当r=R时p= G12, B正确，不知火星半径，33卡C错误。D选项中心天体是太阳，据给出的数据无法计算火星质量，也就不能计算火星密度，故D错误。考点3 人造卫星的运动规律深化理解1.人造卫星的运动规律 (1)一种模型：无论自然天体 (如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看 作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。(2)两条思路万有引力提供向心力，即 GMrm-= mao天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即GMm = mg 或 gR2= GM

11、 (R、g 分别是R天体的半径、表面重力加速度 )，公式gR2=GM应用广泛，被称为“黄金代换”。(3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)物理量推导依据表达式最大值或最小值线速度nMmmv2G-2= m-/gm v= y当r=R时后取大值，v = 7.9km/s角速度GMm- = mo 2r r2* /gm 3= N r3当r=R时有最大值周期仃臂5记2rT=2兀遥当r = R时有最小值，约85 min向心加速度MmG 2 ma 向GMa 向=-2当r = R时有最大值，最大值为a=g轨道 平面圆周运动的圆心与中心天体中心重合共性：半径越小，运动越快，周期越小2.地球同步卫星的特点(1)轨

12、道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。(2)周期一定：与地球自转周期相同，即 T = 24 h = 86400 s。(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。_ 皿 Mm4 72 m 3 /GMT2 一一一一(4)局度一'7E：据 G-r2- = m12r 得 r= 1j4 = 4.23x 10 km,卫星离地面图度 h = r R=6R(为恒量)。(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。3.极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似7.9 km/s

13、。认为等于地球的半径，其运行线速度约为(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。例3 2017广东深圳一模人造卫星a的圆形轨道离地面高度为h,地球同步卫星b离地面a恰好出现在赤道上某建筑物c高度为H, h<H,两卫星共面且运行方向相同。某时刻卫星 ; 的正上方，设地球赤道半径为 R,地面重力加速度为 g,则(a、b线速度大小之比为R+ hR+ HB.a、c角速度之比为 DR. 3R R + hR+HC.b、c向心加速度大小之比为 口R 一工I、用入/R+h 3D.a下一次通过c正上万所需时间等于t=2-gR2-(1)怎样比较人造卫星a和同步卫星b的线速度、角速度、向心加速度?提示：万有

14、引力提供向心力GmMUmja。(2)什么时候人造卫星 a会再次通过c的正上方？提示：人造卫星转过的角度与 c物体随地球自转转过的角度之差等于2兀时，a会再次通过c 的上方，即 coat 一 wct= 2 Tto尝试解答 选Co卫星绕地球做匀速圆周运动，建筑物随地球自转做匀速圆周运动，筑物转过的角度之差等于 2冗时，卫星再次出现在建筑物上空。当卫星转过的角度与建绕地球运行的卫星，万有引力提供向心力，设卫星的线速度为v,则GMmr22所以V =线速度大小之比为 田，故A错误；设卫星的角速度为3G曙2r，得coaCOcGMK所以有 cobR+ H 一 后h 3,又由于卫星b角速度与物体c的角速度相同

15、，所以R+ Ha 花RTK 3，故B错误；根据a=co2r可得弛=氏旦，故C正确；设经过时间t卫星a再 acR次通过建筑物C上方，有(3a coc)t = 2兀，彳导t =wa wc2jtGMM_rMT R + h 3 y R+ H 3总结升华2兀故D错误。gR2R+ H 3人造卫星问题的解题技巧(1)利用万有引力提供向心加速度的不同表述形式。MmV20 如。0G r2 = man= mr=mw 2r = m 1 2r= m(2 f)2r。r近似等于地球半径=7.9 km/sv =(2)第一宇宙速度是人造卫星环绕地球表面运行的最大速度，轨道半径gGi G2 G2R2 GiR2C.月球与地球的第

16、一宇宙速度之比为,:'GiRi,G2R2D.嫦娥三号环绕月球表面做匀速圆周运动的周期为GiR2G2g万有引力近似等于卫星的重力，即mg = mg v= >/Rg = 7.9 km/s R(3)同步卫星：抓住具有特定的线速度、角速度和周期。具有特定的位置高度和轨道半径。运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方特定的点上。比较卫星与地球有关的物理量时可以通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。如例题中C选项求卫星a与地面建筑物c的角速度的比值。跟踪训练2017湖北七市一模嫦娥三号携带玉兔号月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测。玉兔号

17、在地球表面的重力为Gi,在月球表面的重力为 G2；地球与月球均视为球体，其半径分别为Ri、R2；地球表面重力加速度为g。则()A.月球表面的重力加速度为B.地球与月球的质量之比为答案 D解析 玉兔号的质量为 m = p 所以月球表面的重力加速度为g'=聚=誉，A错误；根据黄金代换公式 GM =gR2,可得gR1 =GiR2, B错误；第一宇宙速度 v=JgR,所M月 g R2 G2R27以在月球上与地球上的第一宇宙速度之比为G遇，C错误；根据万有引力提供向心Vi, GiRiMm4力GMF = m4Tz2r,嫦娥三号环绕月球表面做匀速圆周运动，所以轨道半径等于月球半径R2,代入得T =

18、2、/G?' D正确。考点4航天器的变轨问题拓展延伸卫星将做离心运卫星将做近心由v=GM1 .卫星变轨原理当卫星开启、关闭发动机或受空气阻力作用时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨 运行：(1)当卫星的速度突然增加时， GM；m,即万有引力不足以提供向心力，动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由知其运行速度比原轨道时小。2(2)当卫星的速度突然减小时， G曙mr,即万有引力大于所需要的向心力,运动，脱离原来的圆轨道， 轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时，可知其运行速度比原轨道时大。卫星的发射和回收就是利用这一原理。2 .卫星变轨时一些物理量的定

19、性分析如图所示：速度：设卫星在圆轨道I、出上运行时的速率分别为vi、V4,在轨道n上过 p、Q点时的速率分别为 V2、V3,在P点加速，则V2>V1；在Q点加速，则V4>V3。又因V1>V4,故有V2>V1>V4>V3。（2）加速度：因为在 P点不论从轨道I还是轨道n上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为 apo同理，在Q点加速度也相同，设为 aQo又因Q点到地心的距离 大于P点到地心的距离，所以 aQ<apo（3）周期：设卫星在I、 n、出轨道上运行周期分别为 Ti、T2、T3,轨道半径分别为 门、2（半 r3长轴）、3,由 产=k

20、可知Ti<T2<T3。例4 （多选）如下图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图。假设“嫦娥三号”运行经过 P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道I上运动，再次经过 P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15 km ,远地点为P、高度为100 km的椭圆轨道n上运动，下列说法正确的是（）A. “嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道I上运动时速度大小可能变化B. “嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道I上运动的周期一定大于在椭圆轨道n上运动的周期C. “嫦娥三号”在椭圆轨道n上运动经过Q点时的加速度一定大于经过 P

21、点时的加速度D. “嫦娥三号”在椭圆轨道n上运动经过Q点时的速率可能小于经过 P点时的速率(1)如何比较圆轨道的周期和椭圆轨道的周 期？提示：据开普勒第三定律，比较半径与半长轴。(2)如何比较椭圆轨道不同地点的加速度？ 提示：只需看距地心的距离，a = G!MLo r尝试解答选BCo“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道上运动是匀速圆周运动，速度大小不变，选项A错误；由于圆轨道的轨道半径大于椭圆轨道半长轴，根据开普勒定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道I上运动的周期一定大于在椭圆轨道n上运动的周期，选项B正确；由于在 Q点“嫦娥三号”离月球近，所受万有引力大，所以“嫦

22、娥三号”在椭圆轨道n上运动经过 Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，选项 C正确；“嫦娥三号”在椭圆轨道上由远月点 P向近月点Q运动时，万有引力做正功，速率增大，所以“嫦 娥三号”在椭圆轨道H上运动经过 Q点时的速率一定大于经过 P点时的速率，选项D错误。 总结升华航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道 上的运行速度变化由v= yGM判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭 圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。如例题中的D选项。(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。从远地点到

23、近地点，万有引力对卫星做正功，动能 Ek增大，引力势能减小。(3)两个不同轨道的 “切点”处加速度a相同。跟踪训练2017四川宜宾一诊按照我国整个月球探测活动的计划，在第一步“绕月”工R,月程圆满完成各项目标和科学探测任务后，第二步是“落月”工程。假设月球半径为 球表面的重力加速度为 go,飞船沿距月球表面高度为 3R的圆形轨道I运动， 到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道n,到达轨道的近月点B时再次点火进入月球近月轨道出绕月球做圆周运动。下列判断正确的是()A.飞船在轨道I上的运行速率v = RB.飞船在A点处点火变轨时，动能增大C.飞船从A到B运行的过程中机械能增大答案 A解析 飞船在轨道

24、I运行时，万有引力提供向心力，RGMmR 2= mRvR,彳导v =、/GR,又因为mg0=GM2m,得GM = goR2;联立得v = g0R,故A正确。飞船在 A点点火变轨到 R2较低轨道，应向前喷气，喷气过程速度变小，动能变小，故 B错误。在n轨道上从 A到B运行的过程中只有万有引力做功，机械能守恒，故 c错误。飞船在出轨道上运行时 GMm=Rm42 R,得 T=Z4GMR"，把 GM=goR2 代入，得 T = 2Ajg,故 D 错误。启智微专题建模提能3双星模型1 .模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点 做角速度、周期相同的

25、匀速圆周运动的恒星称为双星。2 .模型条件(1)两颗星彼此相距较近。(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。3 .模型特点(1) “向心力等大反向”(2) “周期、角速度相同”两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。推导：根据两球的向心力大小相等可得,mi w2ri= m2 w2r2, 即 miri = m2r2； 等式 mm= m2r2两边同乘以角速度5 得 miri o= m2r2w,即 mivi = m2v2；由 mi co2ri= m212直接可得,miai = m2a2。(4)

26、巧妙求质量和:Gmim22 点一了= mid门Gmim22 _L-2= m2 w r2q小,心/日 G mi + m29由+得：了=co2L. m I . mi + m2=小G2013山东高考双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下,上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中,分别围绕其连线 两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。化后，两星总质量变为原来的周期为()若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的答案BB.D.(3)三个反比关系：mic = m2r2; mivi= m2v2; miai=m

27、2a2解析如图所示，设两恒星的质量分别为 Mi和M2,轨道半径分别为ri和2。根据万有引上祎田一祎r/日 GM1M2 . 2兀° GM1M2 . 2兀° i,口力7E律及牛顿第一7E律可得 一2= Mi 2ri, -2一= M2 2r2,解得G Mi+ M2r32 TT 八 _.2TT 2，当两星的总质量变为原来的k倍，它们之间的距离变为原来的n倍时，有Gk Mi+ M23nr名师点睛2兀T，2，联立两式可得 n3.k丁，故B项正确。解答双星问题应注意“两等” “两不等”“两等”它们的角速度相等。双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总 是相等的。(2) “两不等”双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双 星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。由mi32口 = m2co22知由于 mi与m2一般不相等，故 口与r2一般也不相等。（多选）宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统