第1章 1.2 第2课时 利用排列数公式解应用题

1、.第2课时利用排列数公式解应用题1能用排列数公式解决一些简单的应用问题重点2掌握无限制条件的排列问题的解法重点3掌握几种有限制条件的排列问题的解法难点、易错点小组合作型无限制条件的排列问题1有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？2有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【精彩点拨】1从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；2给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书互相之间没有联络，要用分步计数原理进展计算【自主解答】1从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不

2、同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A5×4×360，所以共有60种不同的送法2由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5125，所以共有125种不同的送法1没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可2对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解再练一题11将3张不同的购物券分给10人中的3人，每人1张，共有_种不同的分法2从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，不同的

3、选法共有_种【解析】1问题相当于从10人中选出3人排列起来，故不同分法的种数为A10×9×8720.2从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，应有A5×4×360种【答案】1720260有限制条件的排列问题7名师生站成一排照相纪念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在以下情况下，各有多少种不同站法？1老师甲必须站在中间或两端；22名女生必须相邻而站；34名男生互不相邻；4假设4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站【精彩点拨】解决此类问题的方法主要按“优先原那么，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，假设一个位子安排的元素影

4、响另一个位子的元素个数时，应分类讨论【自主解答】1先考虑甲有A种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：AA2 160种22名女生站在一起有站法A种，视为一种元素与其余5人全排，有A种排法，所以有不同站法A·A1 440种3先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔含两端处插入男生，每空一人，那么插入方法A种，所以共有不同站法A·A144种47人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·420种解决排队问题时应注意的问题1对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的元素作为一个整体进展排列，但

5、是要注意这个整体内部也要进展排列2对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的元素，再将不相邻的元素以插空的方式排入3对于顺序给定的元素的排列问题只需考虑其余元素的排列即可4“在与“不在的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原那么是谁“特殊谁优先再练一题23名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种1甲不站中间，也不站两端；2甲、乙两人必须站两端【解】1分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A种站法，然后再排其他位置，有A种站法，所以共有A·A2 880种不同站法2甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有

6、A种站法，其余5人全排列，有A种站法故共有A·A240种不同站法探究共研型数字排列问题探究1偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？【提示】偶数的个位数字一定能被2整除先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×48个不同的偶数探究2在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？假如在09这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?【提示】在一个三位数中，百位数字不能为0，在详细排数时，从元素0的角度

7、出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位或十位位置；从“位置角度出发可先从19这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置探究3如何从26,17,31,48,19中找出大于25的数？【提示】先找出十位数字比2大的数，再找出十位数字是2，个位数字比5大的数即可用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的1六位奇数？2个位数字不是5的六位数？【精彩点拨】这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原那么另外，还可以用间接法求解【自主解答】1法一：从特殊位置入手直接法分三步完成，

8、第一步先填个位，有A种填法，第二步再填十万位，有A种填法，第三步填其他位，有A种填法，故共有AAA288个六位奇数法二：从特殊元素入手直接法0不在两端有A种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A种排法，故共有AAA288个六位奇数法三：排除法6个数字的全排列有A个，0,2,4在个位上的六位数为3A个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A个，故满足条件的六位奇数共有A3A3A288个2法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A个，0在十万位且5在个位的六位数有A个故符合题意的六位数共有A2AA504个法二：直接法十万位数字的排法因

9、个位上排0与不排0而有所不同因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A个第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有AAA个故共有符合题意的六位数AAAA504个解排数字问题常见的解题方法1“两优先排法：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充如“0不排“首位2“分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类计数原理进展，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏3“排除法：全排列数减去不符合条件的排列数4“位置分析法：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好再练一题3用0,1,2,3,4,5这六个数取不同的数字组数1能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数

10、？2能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？3假设所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列an，那么240 135是第几项【解】1符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数，有A个；第二类，个位上的数字是5的五位数，有A·A个故满足条件的五位数的个数共有AA·A216个2符合要求的比1 325大的四位数可分为三类：第一类，形如2，3，4，5，共A·A个；第二类，形如14，15，共有A·A个；第三类，形如134，135，共有A·A个由分类计数原理知，无重复数字且比1 325大的四位数共有：A·AA·A

11、A·A270个3由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A个数，240 135的项数是A3A1193，即240 135是数列的第193项构建·体系16名学生排成两排，每排3人，那么不同的排法种数为_种【解析】由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A720种【答案】7202要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有_种. 【导学号：29440007】【解析】从5名志愿者中选2人排在两端有A种排法，2位老人的排法有A种，其余3人和老人排有A种排法，共有AA

12、A960种不同的排法【答案】9603用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，那么这样的七位数有_个【解析】先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA144个【答案】1444两家夫妇各带一个小孩一起去公园玩耍，购票后排队依次入园为平安起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，那么这6人的入园顺序排法种数为_种【解析】分3步进展分析，先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A2种排法，两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A2种排法，将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进展全排列，有A6种排法那么共有2×2×624种排法【答案】245从6名短跑运发动中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？【解】法一：从运发动元素的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三