习题3及其解答

1、练习题1. 假设采用库仑标准IA来代替洛仑兹标准，求电磁场的标量位和矢量位A所满足的方程。2. 电偶极矩的矢量磁位 A = jSekr，求所产生的磁场表达式。4町3. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中，假设J =0，那么E和B可完全由矢势A决定。假设取 =0，这时A满足哪两个方程？4. 电偶极子和小电流环磁偶极子是两种应用极其广泛的电磁波辐射器，电偶极子远区辐射场为j- jner，请根据对偶原理,写出小电流2入r 名02扎r环磁偶极子远区辐射场表达式。如果电偶极子和小电流环的长度相同，电流相等，电 偶极子和小电流环的辐射能力哪个强，并说明产生这一差异的物理原因。5. 设有电流元构成的天线称为

2、元天线的轴线平行于地平面，在远方有一移动接收电 台接收元天线发射的电磁波。当电台沿以元天线为中心的圆周在地平面上移动时，于正东方收到的信号对应于电场强度最强，试求：1元天线的轴线沿何方向；2移动电台偏正东方向多少角度，接收的电场强度减小到最大值的*不考虑地面的互耦？6. 上题中，元发射天线如何放置，才能使电台接收信号场强保持不变？又假设电 台的接收天线也使用电流元天线，那么两个天线如何放置，才可以使接收效果最正确？7. 长度为0.1m的电偶极矩prlOsi n2二107tazc m，求磁偶极子的电流8. 与地面垂直放置的电偶极子作为辐射天线，q。= 3 10 C，Z = 1m，f二0.5MHz

3、，分别求与地面成40角，距偶极子中心分别为6m和60km处的E和H表达式。9. 在垂直于根本电振子天线的轴线方向上，距离100km处，为得到电场强度振幅值不小于100V /m，问天线至少应辐射多大的功率？10. 某电流元的 z-10m，I35A，f -106 Hz，求它的辐射功率和辐射电阻。11. 自由空间中一半波对称振子的远区最大辐射方向上10km处的电场强度振幅为0.01V/m，辐射电磁波的工作频率为 300MHz。(1) 求该半波对称振子的单臂长度合辐射功率(2) 写出改半波对称振子的远区辐射场量的瞬时表达式及平均功率密度矢量表达式12. 设一交变电流I =l°cost通过线段

4、元dl，dl位于坐标远点O且沿z轴。试求在辐射区域内任一点在任意时刻的矢势 A、电场E，磁场B和平均功率P13. 一天线长5m,所载电流的方均根值为5A，频率为1000kHz。求单位时间内辐射能量的 平均值。14. 在二元天线阵中，阵元间距离d ='，电流振幅相同，相位差.=0，求阵函数。415. 自由空间中由两个半波对称振子构成的二元阵，间距d ，且lm2 = Im1。求此二元阵4的归一化方向图函数。16. 由三个间距为的各向同性元组成的三元阵，各单元天线上电流的相位相同，且振幅2之比为1： 2： 1,试讨论该天线阵的方向图。17. 自由空间中，等幅同相鼓励的四个电流源组成一四元均匀

5、直线阵，天线元间距为-，求该2四元均匀直线阵的归一化方向图函数。18. 五直线阵，其中心连线单元边射阵，天线元间距为一，各天线元上的电流振幅按21: 2:3: 2:1的比例分布。试确定阵因子和归一化方向图。19. 均匀直线式天线阵的元件距 d二 /2，如要求它的最大辐射方向在偏离天线阵的轴线-60的方向，问单元之间的相位差应为多少？20. 利用卡森互易定理证明紧靠在理想导体外表上的切向电流元无辐射场。参考答案1. 解：设B八 A-/p代入麦克斯韦方程' E二-ct得 'E ) =0ct所以，可设E込一'、ct即 e-ct用恒等式将以上两式代入麦克斯韦方程H=J,并利ct

6、- : A = '、C A)八 2A，得、2 A2J I c A)a显假设采用库仑标准、A=0，那么矢量位A满足方程A'、，a A _ - 'j c)a醴在均匀、线性、各向同性媒质中，将媒质本构关系代入麦克斯韦方程 D = ；E= ； E =(出 一 )二一二 A _ 2'=:-贝U l 2A = _ 假设采用库仑标准iA=0，那么标量位 '满足方程p 0 =2. 解：矢量磁位A = j 0 P ej4兀r因BA，利用恒等式'、(uF)討 F 、u FBV厂一jkr 3 eX p +/ -jkr 、 ePx-1 P-< r丿< r丿考

7、虑到p为常矢量，' p=0,所以»0 L -jkr e '、4 二卩0/. I JkrJ(-J)ke1 一 j 丄 '、r p .kr P一 jkekrr'、r pkre p3. 解：在线性各向同性均匀非导电介质中, 假设 =0，J = 0，那么麦克斯韦方程组为nnnna其中已利用D = E，B。假设采用洛仑兹标准A $ ' c厂0，满足的方程宀一丄牛=0c :：t2 2 c ;:t式中c1/，其平面波解为A二代ej(kr" ,，ej(kr"- -； A = i k A，- i y*a-1 _ - 1根据洛仑兹标准、* Ai

8、 (k A 2幕于)=0c dtc由于那么 B=.、A=ik A2r ABHiBHiJ aa. BHi a*BHi a* aa.AcEik i A 二-i k(k A) (k *k)Aco.:tdk B取 =0，A所满足的方程为k A =04. 解：根据对偶原理:；，；，I ?Im，H Em，E > Hm可以得到小电流环的远区辐射场为Em2r-I mimjkrH j sin e电偶极子的辐射电阻为小电流环的辐射电阻为依题意设他们的长度为L，所以2Rm 二 320二 6作为天线，L ： ，因而Rm :：:尺。因此电偶极子的辐射能力比小电流环的辐射能力强，从物理学上，因为小电流环上 的电流方

9、向不一致，导致其产生辐射场有局部互相抵消，从而削弱了整个辐射场。5解：电流元的方向性函数为f -sin 为场点到电流元中心连线与电流元轴线沿电 3T流流动方向之间的夹角，门-入垂直于轴线方向时，辐射最强；V - 0或i2平行于轴线方向时，无辐射。1由于移动电台在正东方接收到的信号场强最强，所以，元发射天线的轴线方向一定是沿南北方向。2电台在正东方向，对应-m，f 日=f0m =si n =2 2f刀二sin ，解得 '或二-此为电台偏离元天线轴线的角度，因2 6 6此可得电台偏离正东方的角度为 為或m。636max = 1 ，令6.解：由于电流元的辐射场绕其几何对称轴线旋转对称，所以，

10、使元发射天线的轴线垂直于地面可以使电台接收信号场强保持不变。2根据天线的互易定理同一天线作发射用与作接收用，其方向性相同可得，元发射天线与元接收天线的轴线平行且都垂直于地面使，效果最正确。此时,元发射天线沿电台方向辐射最强且电台的元接收天线的接收效果也处于最正确效果。7.解：由题意 p = q l =10 9 sin2二 107tezc m-97p 10 sin2二 10 t./c “7丄q10 sin2二 10 tI0.1那么 | 凹 /。皿n2二 107t =10* 2二 107cos2二 107t dtdt= 0.2 二 cos2二 107 tA8.解：此题不计地面影响，'二一二

11、3 10 6 = 600m，与地面成40角，贝U与偶极子轴角0.5 1090 -40 =501 r = 6m ： ：= 600m，采用远区场强公式I Lzk?sin j t*/ q0 sj t»Ee0e4兀国04兀国呂0e处3 10J 1 2 2sin50 ®9叫10 3460 10336兀j2：i；0.5 106t . 260 103e 600= 63.78 io笃j：102°Hoj4-rI zksij 5 e2 1 r2 600 60 103e心 0-5 咗 60 103)i 2- 0.5 106 3 10 乙：1 sin 50 冲_ %迄仙'&quo

12、t;)=eeJ7?9.解：依题意，距离r=100km,处于根本电振子的远区辐射场，场强可表示为E 二 e E。sin 九kr"r式中，二为媒质波阻抗，真空或空气时，二0=120二，E°(V/m)为电场强度振幅。根本电振子平均功率流密度“ 1 1Sav = -Re(E H )=av -Ree,sinre"" e：-E°sinejkr二E 2E0 2 -er sinr 2那么辐射功率E02240 二ITE。22 120 ：sin2 rerr2 sin 闵 闭;:er12043 一 90依题意，当二=90，r 二100km 时E =100叫/m =旦

13、r100 汇 103E0 =100 103E=100 103 100V/m =10V/m10.解：一 c=3 1/ =300m f106NNN先计算Sav = Re(E H )210=zs i n2' r1 10 = zs ink rRej0e*krej2 2 r- I"(冷 0SE那么辐射功率-12 - i 1 I ZP 二：Sav <dS( ) 0 sin2 vr2 sinrdrd02 2kr: -3= 30() si n3 日d 日/u2 2 Az 2 =40二 2丨0 ()22 2 10 2 =40 二 35(莎)= 537.35(W)由辐射电阻定义P=l02R

14、r尺=2p = 2 5335 =0.877()I03511.解：(1)因 f =300MHz 故：=2二f =1.89 109rad/s, k =j： / c = 6.3rad/m. =c/f =1m。因此，该半波对称振子的单臂长0.25m又因半波对称振子的远区辐射电场的复数表达式为31E .60Im kRcos2EcE厂 Je- 2si=90 时，E 厂 E；o s)n maxR_0.1210460 一 60所以半波对称振子的辐射功率为21215 2P=leRrIm Rr(一)73.1=101.53W223Im=5 =1.667 A3其中半波对称振子的辐射电阻 R =73.丁(2)半波对称振

15、子的远区辐射电场的瞬时表达式为.60l co s(cos)j.t601 m jkR 2jtEj-ReE=e =Rej - ee rsi nji60I cos(2cos°)z-sin (t-kR)Rsi ncos(：cosr)csin (1.89"09t 6.3R)V/m=100'2Rsi n 日而磁场强度瞬时式为H)1。0jicos( COS r)9sin(kR)n0.27 CO 逆COR sinsin(-6.3R)A/m以及平均功率密度为1Sav 二 2Re(E H HerJI1002COCCOS)2 3772er13.26co 罗cos)R2si n2erW/m

16、212.解：求矢势A :因为I二I0 cos t此时，有电偶极辐射，其矢势为4r式中，ejkr为推迟因子，其中,-jJdV对线电流为p = JdV 二 Idl所以p =ldl =1右 tdlA(x,t)二% 丨0 dl ej(kr)4r求磁场B :=ik A#i)%I0si nreiEe4 二 cr求电场E :E =cB n =(t)0"0 si门®4 二 cr求平均功率因为s平均二1尹班H=2%-22%' 4： ， r2PS平均dS"22c ' 4:=2I°2(dl)212二 0c313.解：在l ：(= c/v =300m)的条件下，

17、可以看成是短天线并可忽略电流沿天线的分布，因而可利用上题的结果：2 2 2 0 鬥0 dl2P 212二；0c将 I = 5m， l0=.2.|2=5. 2A，. = 2 v = 2二 106 Hz 代入上式，得P : 5.48W假设天线增长并由中心馈电，电流分布得不均匀性不能忽略，在中心点有最大值两端为0,可近似地看为峰值为|。/2的电流，即以1。/2代替上面的Io，所以14.:两个天线的相位差为所以归一化因子为N1 sin2Nsin2屮-cos cos2:cos：415.:二元阵的元因子为斤屮=日日十日| =f jicos cos 62 z其中屯-。又因为二元阵的阵因子为Fa®&

18、#174;) =1+ej屮= 2cosqcos加c；j其中* - kdcos x， cosx=sincos：:。而归一化阵因子为fa(D 二cosPsinBcosT<44丿于是，归一化方向图函数为jr-s c OSU 二 fl far,)二JI16.解：该三元阵可等效为两个间距为2的二元阵组成的二元阵，于是元因子和阵因子均为二元阵，其方向性函数均为cos才叱等幅同向二元阵阵因子，根据方向图相乘原理，可知该三元阵的方向性函数为F伴=cos止 cosd<2那么三元阵的归一化方向图函数为sin 二 cos cos： sin cos =s inTmax17.解：设电流元依次为电流元1、2、

19、3、4,采用方向图乘积原理求解可以采用不同的单元组合方法构成两个二元阵，如可以采用1、2以及3、4的组合，也可以采用1、3以及2、4的组合。采用前种组合方式，那么电流元1、3以及2、4组成的等幅同相二元阵的阵因子为Faiax|=21cos2=2 cos cos。其中'1 kd1 cosx，而 1=0， dj =2再将两个二元阵组成一个等幅同相二元阵，其阵因子为屮2Fa2ax=2cos 2二 2 cos 述 cos ： x其中 *2 二 2 ' kd2cosx，而 1=0，d2 =因为电流元的方向图函数为sin cos cos 二 sin 二 cos所以，四元阵的方向图函数为Fd = FiLFaid Fa26 =4sinr那么四元阵的归一化方向图函数为FFmaxf,二二 sin -JIcossin日 cos® |cos兀 sin 日 cos<218.解：设天线1在考察点P的辐射场为巳，由于天线2上的电流J =21代"丁 - kd cos ，那么天线2在P点的辐射场E2Eiej