2014年高考数学湖北卷试题及解析

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试卷数学理科一选择题：本大题共 10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1.为虚数单位，那么1(1i2iA. 1B.C.iD.i答案C解析试题分析：因为(1 i )22i1，应选 Co1 i2i点评此题考查复数的运算，容易题。2.假设二项式2x 巧7的展开式中 的系数是84，那么实数a xxA.2 B. 5 4 C. 1 D.24答案D解析试题分析：因为 C； 2xr 27 r C；2ra7rx72r，令 7 2r 3，得 r 2， x所以C； 22 a； 284，解得a -，应选d。4点评此题考查二项式定理的通

2、项公式，容易题。3设U为全集，A,B是集合，那么“存在集合 C使得AC, B CUC 是“ A B的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析试题分析：依题意，假设 A C，那么 CUCCUA ,当B CUC，可得A B;假设A B，不能推出BCu C，应选Ao点评此题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题。4.根据如下样本数据x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回归方程为 ? bx a，那么A. a 0, b 0 B. a 0,b0 C. a 0, b 0 D. a 0.b 0答案B解析试题分析：依题意，画散点图

3、知，两个变量负相关，所以b 0 , a 0.选B。点评此题考查根据样本数判断线性回归方程中的b与a的符号，容易题。5.在如下列图的空间直角坐标系 O xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是0,0,2，2,2,0，1,2，1，2,2,2，给出编号、的四个图，那么该四面体的正视图和俯视图分别为A.和 B. 和 C. 和 D.和答案D与俯视图为，解析试题分析：在坐标系中标出的四个点， 根据三视图的画图规那么判断三棱锥的正视图为应选Db6.假设函数f (x),g(x)满足 11 f (x)g(x)dx0,那么称f (x),g(x)为区间1,1上的一组正交函数，给出三组函数: f (x)sinx,g(x)

4、 cos丄x ； f(x)2 21, g(x) x 1 ； f(x)x,g(x) x2其中为区间1,1的正交函数的组数是A.0B.1C.2D.3答案C解析试题分析:对的正交函数；对111(sin x cos x)dx122>21,x 1)(x 1)dx111d(sin x)dx cosx | 11221 311)dx (x3x)|110，那么30 ,那么 f (x)、g(x)为区间1,1上f x、gx不为区间1,1上的正1交函数；对x3dx 一x41 0，贝U fx、gx为区间1,1上的正交函数。所以满足条件的正交函数有142组，应选Bo点评新定义题型，此题考查微积分根本定理的运用，容易

5、题。7.由不等式x 0y 0确定的平面区域记为y x 20x y 1,，不等式，确定的平面区域记为x y 22，在1中随解析试题分析：依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2的概率为机取一点，那么该点恰好在2的概率为(11c37A. B.C.D. -8448答案D78，选Q点评此题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题。8?算数书?竹简于上世纪八十年代在省江陵县家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有 求“盖的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一 1该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与咼h，计算其体积V的近似公式vL2h.它实际上是将

6、圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式v36一 L h相当于将圆锥体积公式中的75近似取为()A. 22 B. 25C. 157 D. 3557850113答案B解析试题分析:设圆锥底面圆的半径为r，高为h，依题意，L (2 r)2 ,12 2 2r h(2 r) h，所以37518252，即的近似值为 ，应选B。3758点评此题考查?算数书?中的近似计算，容易题。P是他们的一个公共点，且F1PF2,那么椭圆和双曲线的离心率39.F1, F2是椭圆和双曲线的公共焦点,的倒数之和的最大值为()4、323A.B.C.3D.233答案B解析试题分析：设椭圆的短半轴为a，双曲线的实半轴为ai(

7、 a 印)，半焦距为c，由椭圆、双曲线的定义得 I PFi |IPF2I 2a，|PFi| PF21 2a2，所以 | PFi | aai，| PF21 a ai，因为FiPF2 60，由余弦定理得4c2(aai)2(aai)2(aai)(aai)，所以4c2a2 3a2 ，即2 a；2aicai 2i i 2丄)2，所以()2ce 6i84,，利用根本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒8数之和的最大值为2.33点评此题椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理与用根本不等式求最值，难度中等。1 2io.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当 x 0时，f(x) (Ix a2|2|x 2a21 3a2

8、)，假设 x R，f (x 1) f (x)，那么实数a的取值围为()B.-.6石.6C.対D.亠33答案B解析试题分析：依题意，当 x 0时，f(x)x 3a2,x 2a2a2,a2 x 2a2，作图可知，f (x)的最小值为a2，因为2x,0 x a函数f (x)为奇函数，所以当 x0时f (x)的最大值为a2，因为对任意实数x都有,f (x 1)f(x)，所以,2 24a ( 2a )1，解得.666，故实数a的取值围是6点评此题考查函数的奇函数的性质、分段函数、最值与恒成立，难度中等。二、填空题：本大题共 6小题，考生共需作答 5小题，每题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位

9、 置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分(一)必考题(11 14题) 点评 此题考查直线13. 设 a 是一个各位数I a ， 按从大到D a 851). 阅读 答案 495 解析 试题分析b 981 198 7那么 b 954 459 点评 新定义题型，14. 设 f x 是定义x 轴的交点为f (a,b)1)2)当当 fc,0(x 0)时，Mf(a,b)为a,b的几何平均数;(x 0)时，Mf(a,b)为a,b的调和平均数以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案14. H ) /J： c U) t i 或填 l I、11)耳-K'Pi-pi X|1E 羽數均口门y 0,所

10、解析试题分析：设f(x) x(x 0)，那么经过点(a, a) , (b, b)的直线方程为 y-a，令x a b a2ab2 ab以c x，所以当fx x(x 0)时，Mf(a,b)为a,b的调和平均数 上竺。a ba b点评此题考查两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等。(二)选考题15. (选修4-1 :几何证明选讲)1,CD 3,如图，P为O O的两条切线，切点分别为 代B，过PA的中点Q作割线交O O于C, D两点，假设QC那么PB 答案4解析试题分析：由切割线定理得 QA2 QC QD 1 (13)4，所以QA 2 , PB PA 4。点评此题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易

11、题。16. (选修4-4 :坐标系与参数方程)曲线G的参数方程是3t t为参数,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是2，那么G与C2交点的直角坐标为 答案(31)2 3t消去t得X1 2 3y2(x 0, y 0)，由 2得x2 y2 4，解方程组X2 x3x解析试题分析：由y(3,1)。得C1与C2的交点坐标为极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题。点评此题考查参数方程、17、本小题总分值11分某实验室一天的温度单位：随时间单位;h的变化近似满足函数关系；y2 43y2J 2 时"4-> = 1 ；半2 14 时* bkii

12、+I123L2 3干足JX"血l叫24上収fVJft丈it IZi嵐紺ft小血乳ftt = 10- vcos-t 一sin-tt e0.24X战氏監空这犬必高盐感为蛀1c*尺龙耀工为斗匸一i JL载邀点岂f> 11 L-J实醴鎂需晏降思巾【)得 /(f)-IO-ZsiD( -ft-)，J +li JIZ 3即林 rt(上 J + 5)<_1.1232.Oi <24 INJt 二电* 19110 -e j < IS .6123 i宦10 I时k 1«吋掘弊啦阳臭样?L18 本小题总分值12分 等差数列化J满足：.=2,1 求数列dj的通项公式且日，U

13、俺|成等比数列.2记久为数列3已的前n项和，是否存在正整数 n,使得5 > 6Qn -I- 30D?假设存在，求n的最小值；假设不存在，说明理由is. f 11迎戟列sj胯公巒为d.罐恵理，" n :覇成留比救列*放打 wZ(2 + 4rfh化前軸/-M- 0解稈d二0或川=.与才=0吋-21"i甘二 4 时,叭 2 + (n -1) '4 = 4n-2丛励碍監那么叫时通顼公式黑叫=2或叫三舸学Ml> 叫=211-f, =2rt. U2fl<6flft + 8O0,直时爪存隹正鑒敎皿慄鮒巳他皿+瞅战立.坤气E-2时.£二史±如也

14、=浓>MM-?SQO t 即(一3勺冷一側?0粧胃 ma 朋诚hv-i> < £? J< t此时存框花整敢朴 型桐£ A 60,川和底立."的加小值为41.驛匕知厂2时不井雀满北題啟的；耳叫时存尬肃足建蠹的略梵址申就为矶.19(本小题总分值12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD ABiGU中，E,F,M,N分别是棱AB, AD, ABi, AU的中点，点P,Q分别在棱DDBB,上移动，且DP BQ 02 .(1) 当 1时，证明：直线BG平面EFPQ ;(2) 是否存在，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角？假设存在，求出的值；假设不存

15、在，说 明理由円一儿何方祛:< 1 > 址加 SiifiH 仃,田 MCD肚正方恪 BCAfh.-I >1 =3时.尸足口厲阀甲点艾厂赴MD觸屮克，fify Fr/ZXD|.所 UM'MF.而片f匚平面 efvq . JI Ac a ilii 忙网.iZftn fic, if 甲面 effq .cm mi.匹接创> 因为e尸分伺捷.历*血前中点"曲罠 FFV 白b REF -Jin .,< 门严=hQ f 门屮 & fiQ 1所旦四辿理吃展>乱卵打回边圧，pg/BD. Apq-hd 甌EM"目曲斗尸认壶Ht砌。和Rt尸Wl

16、u 风为HQ D卩* E * HE5F 儿F界gQ±F2浙以四血理EFPQ地丐怅镯也何幵可UF叫边憎陀磁葩警髓祎型，甘别就屮.尸卩 胚甲的中/.'： !J ti，<? . G t Gfi . OG.5Sl|Gf9 1MU 丄 F"， I血 *仃打心=0 發WGOH圧面U7%>Ji浙PQMN斫M庖魚的Wlft.秤存在必-使|M EFfQ Jj血rvv ry<股的：而站为良.価曲*刖aofi - w . 述播 阳 Ar *期由 砒卅人仲11或尸h .W.V .划闻边焉瓦FNM理r抒冲迪殆 Ji |£ till.虬|为胃G吐群 .W.V的屮鮎

17、所U GH 3 .wt - 1.在心<?0"中* GH-4 Qf产二“丸：Ty =丘。$,0(7 =1 + (3 -A):-(l_ii);十£ tilj(xr*OF尸*<vr】樹卩纤+*翠W", A = tr 啟存占必T 土半，便E £円空与面陀忖W所成的1両ffi炖忙而张厨織方怯k玖口为駅黑 射幽加r叱，M卄料为浙p H轴的近半桶建立如閤3旺不的空卿NAi坐虹異e严一 ilr已划曲 C(O.X 2), F(2, L0巩htXD,円厲 D).8C = (-2, 0;2i *0=卜】.0") FE -GJ,O) +CT)证明】時入列时

18、n ?(-!* fltl)r-3. 0,2),所试目<7；m2FP"即肌7FK而FPlBBFPQi-且JCg平师卤f/V握直盘址打平画EFf£?.U()设平面毋理临一代闻量为巩斗f"MEti *>A = O.F址叮联乔=(X. 耳1).网押可稈千両 EQ肿 佬闫做为 -<4-3,2-13).假设存Q快和E护。山"G空所成帕】曲勵為4二脈阳則! 林亠初芥&呼山-底1)=触冲芒-町-如“吋皿，di 制禅丄訂主乂.2JR"绘存霍丄?|士辛.故個吕即g与而暫财川所底的二面幣为或二*fit20. (本小题总分值12分)方案在某水

19、库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年上游来水与库区降水之和单位：亿立方米)都在 40以上.其中，缺乏80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的 年入流量相互独立(1) 求未来4年中，至多1年的年入流量超过 120的概率；X限制，并有如下关系;(2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量I隼AJU*I 4O< JT <90 1笈电肚專阿运村台|二-+厂 V假设某台发电机运行，那么该台年利润为5000

20、万元；假设某台发电机未运行，那么该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机多少台？2d f 5电愆科 W 552器仇緘p： 肿叱"£砂 碍心.药=fXr>i2o)= = ni_由二顶吩布胆木靈4年屮蚩臺知I伍的年入谧诂超过I现的槪串QQipCi-舟)'丼1正* 4减(帀r x(蚯2。工却厂.CEI)记加I壮站年总利网冯r(執忖T 77元h<1) I會发电机的植鏗一fli千木咋年入施就観大于和故一合竣唱机运行的鷲申期h对贰的歼刊润 r = S(W. tp ) = 5tW0*li=5tW0,<2>空裁】fT发电机踰解.戦

21、廻也 44KX<K0时.-含腿屯机辿彳J. L七时1'=5<"0-畑0*卫00*闵 Jit f(y rr 4200) = P(J0 < .¥ < 80) =pt= 0.2 :与 2轴吋淅 A比电机运廿 北轴 r = 50OOv1 = KKX)0h 関此Fp - IDOOO) -P(_rS0)= P；亠 土0用=由此 钳r的分布尅如卜Y4测1<WOPaiQ$i U E| Y) =冲工曲X “丄 + lUOOO OS =<3>蚩施3舍览电林的帶厢ft起慝.斗和 WXUIH)吋.-台奴屯机lltElt r s$WO-1600 =

22、34(MJ .囚 WO<JtKO A - t hliMJi 120 nt.两台竝电杠业ir. |itlh!r5000r 2-800 = 9200* M P(Y - 92(W =1120)= p,= 0.7 :卅*>1却咁：合戏电机国打*乱时F二血附曲=沾就0 .圉此片广宁巧000)=鬥A A*扣冃第=0J >由此甜F的分布时如下r34009200I5UUUPJ0.22 JOil网以.£ - 3400* 0.2 9200« C,7 + 15000j< 0.1 - 8610.嫁上.fit便水电站隼思和树豹均苗到达凰心 应集裳戏电PUfr21. (总分值1

23、4分)在平面直角坐标系 xOy中，点M到点F 1,0的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C.(1)求轨迹为C的方程(2)设斜率为k的直线过定点p 2,1，求直线与轨迹 C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值围。2. I 松庖MCxj 睡管意衛礼门=|xi*r化祈靈库側尸址期斗"神竝点M伽逵C鮎親力b亍J 'g .T < 0.12也点阳的较逵L札记仏：尸牡，“F=gz如 依羯駛 可谡H總的方用为厂1=刖卄比 由方禮蛆；4中日"讪钩丄八令*咻7“ y »+a<O当ZlHr此1卄“耙T代人轨进汕硼.肌* 故此肘*竝/:严I m

24、验砂亡松即oe竝其虑G，m<2肖R单0时、方理前甸剳式为冉=162*'+±1打应H蛭/与工辆的空血为心0那么!jy-1 Mr+2b y-0< 谢也=-当二.XC i > K-，V：t'd Hi魏解带*吨小 纵“丄.X,讥、28|3 耳 Jr 屋. * 1山&，珀巧 附切歸匚没弃公其民 与GTIf 处典也址此时门红r Si止</恰呵-*典也* ill 假设F °r 取山縮解豺*曰T2 我一丄占R弋趴斗弋口I斗印，22郎日氏I 如时 HjC.Rn 十公典点，*冇一"畑.兰九卜土。曲 跑 兀杓两松皿 g没右处心.畝肖ee卜?时.罚綾r稠尢迹黔好有商炸公*总 甘$5 由©雜外丄.J!EO<A<i.岭吃厲22即M卜卜I,；吋，诃宦LjC订刈心恿此点*与GY，6仝共戌.韭北陀订埋r与毗逡恰如仃宁牛僅其点.垢m 可知齐展-不-|山&十时ue时mv与机述怡野裔 一吓鲁共点匚邛上列-吕如Uh弓时朮織j*也誠<"恰好肓曲个令儿肖：当JLurirtl门出1 - njt57 和|n-t门即与轨遊£恰好有三个益