第1章§3 第1课时　平均值不等式

1、.§3平均值不等式第1课时平均值不等式1理解两个三个正数的算术平均值与几何平均值易错、易误点2掌握平均值不等式性质定理，能用性质定理证明简单的不等式重点、难点根底·初探教材整理平均值不等式阅读教材P10P12“考虑交流以上部分，完成以下问题1定理1：对任意实数a，b，有a2b22ab当且仅当ab时取“号2定理2：对任意两个正数a，b，有当且仅当ab时取“号语言表达为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值3定理3：对任意三个正数a，b，c，有a3b3c33abc当且仅当abc时取“号4定理4：对任意三个正数a，b，c，有当且仅当abc时取“号语言表达为：三个正数的算术平

2、均值不小于它们的几何平均值判断正确的打“，错误的打“×1x2.2ex2.3当a，b，c不全为正数时，成立43.【解析】1×当x>0时，x2，当x<0时，x2.2因为ex>0，ex2，当且仅当x0时取等号3×如a1，bc1时，但1.这时有<.4×当a，b，c同号时，均为正数，有3，当且仅当abc时取等号【答案】1×23×4×质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型平均值不等式的条件断定命题：任意x0，lg

3、x2；任意xR，ax2a>0且a1；任意x，tan x2；任意xR，sin x2.其中真命题有ABCD【精彩点拨】关键看是否满足平均值不等式【自主解答】在，中，lg xR，sin x1,1，不能确定lg x0与sin x0，因此，是假命题在中，ax0，ax2 2，当且仅当x0时取等号，故是真命题在中，当x时，tan x0，有tan x2，且x时取等号，故是真命题【答案】C此题主要涉及平均值不等式成立的条件及取等号的条件.在定理1和定理2中，“ab是等号成立的充要条件.但两个定理有区别又有联络：(1)是a2b22ab的特例，但二者适用范围不同，前者要求a，b均为正数，后者只要求a，bR；(

4、2)a，b大于0是的充分不必要条件；a，b为实数是a2b22ab的充要条件.再练一题1设a，b为实数，且ab0，以下不等式中一定成立的个数是 【导学号：94910010】2；ab2；ab.A1 B2C3D4【解析】ab0，22，成立；a，b0时，不成立；，成立；当a1，b2时，不成立因此，成立【答案】B证明简单的不等式1a，b，cR.求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2；2设a，b，c都是正数，求证：abc.【精彩点拨】此题考察平均值不等式及不等式的性质等根底知识，同时考察推理论证才能解答此题需要先观察所求式子的构造，然后拆成平均值不等式的和，再进展证明【自主解答】1a4b42a2b2，

5、同理a4c42a2c2，b4c42b2c2，将以上三个不等式相加得：a4b4a4c4b4c42a2b22a2c22b2c2，即a4b4c4a2b2a2c2b2c2.2当a>0，b>0时，ab2，22c.同理：22b，22a.将以上三个不等式相加得：22abc，abc.平均值不等式具有将“和式和“积式互相转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的构造特点，选择好利用平均值不等式的切入点.但应注意连续屡次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致.再练一题2设a，b，c为正数，求证：abc227.【证明】a0，b0，c0，abc30，从而abc290，又

6、30，abc23·927.当且仅当abc时，等号成立故原不等式成立探究共研型平均值不等式的变式及条件不等式的证明探究1不等式，成立的条件都是a，b，c为正数，在条件ba>0成立时，a，b之间有怎样的大小关系？【提示】ab.探究2假设问题中一端出现“和式，另一端出现“积式时，这便是应用不等式的“题眼，那么假设条件中有“和式为1时，应如何考虑？【提示】应用平均值不等式时，一定要注意条件a>0，b>0，c>0.假设有“和式为1时，常反过来应用“1的代换，即把“1化成“和，再试着应用平均值不等式a0，b0，c0，求证：1 ；2abc【精彩点拨】1式两端均是“和，不能直

7、接利用平均值不等式，解决的关键是对 的处理，先考虑平方关系，化难为易；2注意两边都是“和式，可利用1题的结论【自主解答】1a2b22ab，2a2b2ab2， .又a0，b0， .2由1得 ab同理：bc，ac三式相加得：abc当且仅当abc时，取“号1第2问利用了第1问的结论 ，记住这一结论可帮我们找到解题思路，但此不等式要给予证明2一般地，数学中的定理、公式提醒了假设干量之间的本质联络，但不能定格于某种特殊形式，因此平均值不等式a2b22ab的形式可以是a22abb2，也可以是ab，还可以是a2ba0，2ba等解题时不仅要会利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用再练一题3a

8、，b0，且ab1，求证：.【证明】因为a，b0，且ab1，所以，当且仅当ab时，等号成立，所以ab4，a2b2ab22ab12ab12×，8.a2b2448，所以.构建·体系1“a0且b0是“ab2成立的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A2设x，y，z为正数，且xyz6，那么lg xlg ylg z的取值范围是A，lg 6B，3lg 2Clg 6，D3lg 2，【解析】6xyz3，xyz8，lg xlg ylg zlg xyzlg 83lg 2.【答案】B3设ab0，把，a，b按从大到小的顺序排列是_. 【导学号：94910011】【解析】ab0，ab.【答案】ab4不等式2成立的充要条件是