第1章 1.3 曲线的极坐标方程+1.40圆的极坐标方程

1、.1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点处且过极点的圆1.理解极坐标方程的意义，理解曲线的极坐标方程的求法.2.会进展曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；理解简单图形如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆表示的极坐标方程.重点根底·初探1.曲线C的直角坐标方程在给定的平面直角坐标系下，假如二元方程Fx，y0满足下面两个条件，那么称它为曲线C的方程：1曲线C上任一点的坐标x，y都满足方程；2所有合适方程的x，y所对应的点都在曲线C上.2.曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F，0.假如曲线C是由极坐标，满足

2、方程的所有点组成的，那么称此二元方程F，0为曲线C的极坐标方程.3.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r0<2圆心为r,0，半径为r的圆2rcos 圆心为r，半径为r的圆2rsin 0<过极点，倾斜角为的直线或过点a,0，与极轴垂直的直线cos a<<考虑·探究曲线的极坐标方程是否唯一？【提示】由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一.自主·测评1.极坐标方程R表示A.点 B.线段C.圆D.直线【解析】当0时，方程表示极角为的射线，当<0时，方程表示上述射线的反向

3、延长线.R，表示直线.【答案】D2.极坐标方程100表示的图形是A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线【解析】由题设，得1，或，1表示圆，0表示一条射线.【答案】C3.直线和圆2cos 的位置关系为A.相离B.相切C.相交D.无法确定【解析】由2cos 知表示曲线圆心为1,0，半径为1的圆.又过极点且与极轴垂直.直线与圆相切.【答案】B4.2019·广州质检曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos 3，4cos 0,0<，那么曲线C1与C2交点的极坐标为_.【解析】由·cos 3，4cos ，得4cos2 3.又0<，那么cos >

4、0.cos ，故2.两曲线交点的极坐标为2，.【答案】2，质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 类型一圆的极坐标方程求圆心在C2，处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点2，sin是否在这个圆上.【导学号：62790005】【精彩点拨】解答此题先设圆上任意一点M，建立等式转化为，的方程，化简可得，并检验特殊点.【尝试解答】如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M，为圆上除点O，A以外的任意一点，那么|OA|2r，连接AM，那么OMMA.在RtOAM中，|OM|OA|cosAOM，即2rcos，4

5、sin ，经历证，点O0,0，A4，的坐标满足上式.满足条件的圆的极坐标方程为4sin .sin，4sin 4sin2，点2，sin在此圆上.1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：建立适当的极坐标系此题无需作；在曲线上任取一点M，；根据曲线上的点所满足的条件写出等式；用极坐标，表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；证明所得的方程是曲线的极坐标方程.一般只要对特殊点加以检验即可2.求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进展坐标表示.再练一题1.在极坐标系中，分别求方程.1圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；2圆心为C2，半径为2的圆的极坐标方程.【解】1设M，为所求圆

6、上任意一点.结合图形，得|OM|2.2.0<2.2设所求圆上任意一点M，结合图形.在RtOAM中，OMA90°.AOM，|OA|4.cosAOM，OMOA·cosAOM.即4cos，故4cos 为所求.类型二直线或射线的极坐标方程求过点A1,0，且倾斜角为的直线的极坐标方程.【精彩点拨】画出草图设点M，是直线上的任意一点建立关于，的方程检验【尝试解答】法一设M，为直线上除点A以外的任意一点.那么xAM，OAM，OMA.在OAM中，由正弦定理得，即，故sin，即sincos cossin ，化简得cos sin 1，经检验点A1,0的坐标合适上述方程，所以满足条件的直线

7、的极坐标方程为cos sin 1，其中，0<0和<<20.法二以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy.直线的斜率ktan1，过点A1,0的直线方程为yx1.将ysin ，xcos 代入上式，得sin cos 1，cos sin 1，其中，0<0和<<20.法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以，为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化理解题过程.再练一题2.假设本例中条件不变，如何求以A为端点且在极轴上方

8、的射线的极坐标方程？【解】由题意，设M，为射线上任意一点，根据例题可知，sin，化简得cos sin 1.经检验点A1,0的坐标合适上述方程.因此，以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为cos sin 1其中0,0<.类型三极坐标方程与直角坐标方程的互化在极坐标系，0<2中，曲线2sin 与cos 1的交点的极坐标为_.【精彩点拨】着眼点【尝试解答】曲线2sin 化为：x2y22y，即x2y121，又cos 1化为x1.联立得交点1,1.交点的极坐标为，.【答案】，1.1进展极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：xcos ，ysin ，2x2y2，tan x0；2对

9、方程进展合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用.2.此题也可消去，由二倍角公式求，进而求出极径.再练一题3.假如将例题中的曲线方程改为“曲线cos sin 1与sin cos 1，试求曲线交点的极坐标.【解】曲线cos sin 1化为直角坐标方程xy1，曲线sin cos 1化为直角坐标方程yx1.两直线xy1与yx1的交点为0,1，交点的极坐标为1，.类型四极坐标方程的应用从极点O作直线与另一直线l：cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP12.1求点P的轨迹方程；2设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值.【精彩点拨】建立点P的极坐标方程，完成直角坐标与极坐标方

10、程的互化，根据直线与圆的位置关系，数形结合求|RP|的最小值.【尝试解答】1设动点P的极坐标为，M的极坐标为0，那么012.0cos 4，3cos 即为所求的轨迹方程.2将3cos 化为直角坐标方程，得x2y23x，即x2y22，知P的轨迹是以，0为圆心，半径为的圆.直线l的直线坐标方程是x4.结合图形易得|RP|的最小值为1.1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法.当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同.2.解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.再练一题4.过极点O作圆C：8cos 的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程.【解】法一如图，圆心C4,0，半径r|OC|4，连接CM.M为弦ON的中点，CMON，故M在以OC为半径的圆上.所以，动点M的轨迹方程是4cos .法二设M点的坐标是，N1，1.N点在圆8cos 上，18cos 1.M是ON的中点，将它代入式得28cos ，故M的轨迹方程是4cos .真题链接赏析教材P16练习T2把圆的极坐标方程sin 化为直角坐标方程，并说明圆心和半径.在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：x12y221，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.1求C1，C2的极坐标方程；2假设直线C3的极坐标方程