公务员考前培训第二章数学应用

1、第二章  数学应用一、解答技巧1、学习和掌握新题型2、重点掌握新变化和基本理论知识3、在掌握方程法的基础上加强思维训练4、学会使用代入法和排除法5、反复练习，提高做题速度二、基本解题思路1、方程的思路2、代入与排除的思路3、猜证结合的思路三、常见题型和基本理论知识1、数字计算(1)直接补数法概念：如果两个数的和正好可以凑成整十、        整百、整千，称这两个数互为补数。例题：计算274+135+326+265解：原式=(274+326)+(135+265)     &#

2、160;  =600+400=1000(2)间接补数法例题：计算1986+2381解：原式=2000-14+2381            =2000+2381-14            =6381-14            =6367 

3、0;          (凑整去补法)(3)相近的若干数求和例题：计算1997+2002+1999+2003+1991+2005解：把2000作为基准数，原式=2000x6+(-3+2-1+3-9+5)      =12000-3      =11997(4)乘法运算中的凑整法基本的凑整算式：5x2=10，25x4=100，       

4、       125x4=500，625x4=2500例题：计算(8.4x2.5+9.7)/(1.05/1.5+8.4/0.28)解：原式=(2.1x4x2.5+9.7)/(0.7+30)            =30.7/30.7            =1练习：计算0.0495x2500+49.5x2.4+51x4

5、.95解：原式     =0.0495x100x25+4.95x10x2.4+51x4.95     =4.95x25+4.95x24+4.95x51     =4.95x(25-24+51)     =4.95x100     =495(5)尾数计算法概念：当四个答案完全不同时，可以采用为数计算法选择出正确答案。例题：99+1919+9999的个位数是()   &#

6、160;     A.1    B.2    C.3    D.7解析：答案各不相同，所以可采用尾数法。            9+9+9=27答案：7，选D练习：计算(1.1)2+ (1.2)2+(1.3)2+(1.4)2的值是：A.5.04     B.5.49     C.6.06&

7、#160;    D.6.30解析：(1.1)2的尾数为1，(1.2)2的尾数为4，(1.3)2的尾数为9，(1.4)2的尾数为6，所以最后和的尾数为1+3+9+6的和的尾数，即0答案：D(6)自然数n次方的尾数变化情况例题：19991998的末位数字是()解析：9n的尾数是以2为周期进行变化的，         分别为9，1，9，1，答案：12n的尾数变化是以4为周期变化的，    分别为2，4，8，63n的尾数变化是以4为周期变化的， 

8、60;  分别为3，9，7，17n的尾数变化是以4为周期变化的，    分别为7，9，3，18n的尾数变化是以4为周期变化的，    分别为8，4，2，64n的尾数变化是以2为周期变化的，分别为4，69n的尾数变化是以2为周期变化的，分别为9，15n、6n尾数不变练习：19881989+19891988的个位数是解析：19881989的尾数是由81989的尾数确定的，1989/4=497余1，所以81989的尾数和81的尾数是相同的，即为8；       

9、 19891988的尾数是由91988的尾数确定的，1988/2=994余0，所以91988的尾数和92的尾数是相同的，即为1。答案：8+1=9(7)提取公因式法例题：计算1235x6788-1234x6789解：原式=1235x6788-1234x6788-1234      =6788x(1235-1234)-1234      =6788-1234      =5554练习：计算999999x777778+333333x666666解一：原

10、式=333333x3x777778+333333x666666=333333x(3x777778+666666)=333333x(2333334+666666)=333333x3000000=999999000000解二：原式        =999999x777778+333333x3x222222        =999999x777778+999999x222222       

11、=999999x(777778+222222)        =999999x1000000        =999999000000解一和解二在公因式的选择上有所不同，导致计算的简便程度不相同(8)因式分解例题：计算2002x20032003-2003x20022002解析：20032003=2003x10001；         20022002=2002x10001原式=

12、2002x2003x10001-        2003x2002x10001(9)代换的方法例题：计算(1+0.23+0.34)x(0.23+0.34+0.65)-(1+0.23+0.34+0.65)x(0.23+0.34)解：设A=0.23+0.34，         B=0.23+0.34+0.65原式=(1+A)xB-(1+B)xA=B-A=0.65练习：已知X=1/49，Y=1/7，计算7X-3(2Y2/3+X/5)-(Y2+2X/5)

13、+2Y2解：根据已知条件X=1/49，Y=1/7，      可进行X=Y2的代换原式=7X-3(2X/3+X/5)-(X+2X/5)+2X      =7X-2X-3X/5-X-2X/5+2X      =5X      =5/49(10)利用公式法计算例题：计算782+222+2x78x22解：核心公式：      完全平方公式(a+b)2=a

14、2+2ab+b2      原式=(78+22)2                  =10000其它核心公式：平方差公式：a2-b2=(a-b)(a+b)立方和公式：a3+b3=a2-ab+b2立方差公式：a3-b3=a2+ab+b2完全立方公式：      (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±

15、;b32、比较大小(1)作差法：对任意两数a、b，如果a-b0则ab；如果a-b0则ab；如果a-b=0则a=b。(2)作比法：当a、b为任意两正数时，如果a/b1则ab；如果a/b1则ab；如果a/b=1则a=b。当a、b为任意两负数时，如果a/b1则ab；如果a/b1则ab；如果a/b=1则a=b。 (3)中间值法：对任意两数a、b，当很难直接用作差法和作比法比较大小时，通常选取中间值c，如果ac而cb，则ab。例题：分数              

16、中最大的一个是解析：取中间值  和原式的各个分数         进行比较，可以发现         除了    比  大，其余分数都比  小答案：    最大3、比例问题(1)和谁比(2)增加或减少多少(3)运用方程法或代入法例题：b比增加了20%，则b是a的多少？       

17、;  a又是b的多少？解析：列方程a(1+20%)=b，         所以b是a的1.2倍                     ，         所以a是b的练习：鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来  &

18、#160;      200条，做好标记后放回鱼塘，数日         后再捕上100条，发现有标记的鱼有         5条，问鱼塘里大约有多少条鱼？解析：方程法，设鱼塘里有x条鱼，        100/5=x/200，x=4000答案：鱼塘里大约有4000条鱼。4、工程问题(1)关键概念：工作量、工作效率、工

19、作效率的单位(2)关键关系式：工作量=工作效率x工作时间总工作量=各分工作量之和例题：一项工作，甲单独做10天完成，乙单         独做15天完成，问两人合作3天完成         工作的几分之几？解析：设工作量为1，甲的工作效率为1/10，         乙的工作效率为1/15，两人一天完成    

20、0;    工作量为1/10+1/15=1/6，3天完         成工作量为1/6x3答案：1/2练习：铺设一条自来水管道，甲队单独铺设         8天可以完成，乙队每天可铺设50米。         如果甲乙两队同时铺设，4天可以完成       

21、;  全长的2/3，这条管道全长是多少米？解析：设乙需要X天完成这项工程，         由题意可得             ，解得X=24         又乙队每天可铺设50米，         所以50x24=1200米答

22、案：这条管道全长是1200米5、行程问题(1)相遇问题   甲从A地到B地，乙从B地到A地，两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么   A、B之间的路程=甲走的路程+乙走的路程                  =（甲的速度+乙的速度）x相遇时间        

23、60;         =速度和x相遇时间   相遇问题的核心是“速度和”问题。例题：两列对开的列车相遇，第一列车的车速为10米秒，第二列车的车速为 12.5米秒，第二列车上的旅客发现第一列车在旁边开过时共用了6秒，则第一列车的长 度为多少米?  解析：两列火车的速度和为10+12.5=22.5米秒，两列火车这样的速度共同行驶了6秒，行驶的距离是第一列火车的长度，即22.5x6=135米答案：第一列车的长度为135米。 (2)追及问题  

24、0;     两人同时行走，甲走得快，乙走得慢，当乙在前，甲过一段时间能追上乙，这就产生了“追及问题”。实质上，要计算甲在某一段时间内比乙多走的路程。   追及路程=甲走的路程-乙走的路程              =（甲的速度-乙的速度）x追及时间              =

25、速度差x追及时间   追及问题的核心是“速度差”问题。例题：甲乙两船同时从两个码头出发，方向相同，乙船在前面，每小时行24千米，甲船在后，每小时行28千米，4小时后甲船追上乙船，求两个码头相距多少千米？解析：甲对乙的追及速度差=28-24=4千米/时，追及时间为4小时，则追及的距离为4x4=16千米，即两码头之间的距离答案：两个码头相距16千米。(3)流水问题        船顺水航行时，一方面按自己本身的速度即船速在水面上行进，同时整个水面又按水的流动速度在前进，因此船顺水航行的实际速度（简称顺水速度）

26、就等于船速与水速的和，即：        顺水速度=船速+水速        同理：逆水速度=船速-水速        可推知：船速=（顺水速度+逆水速度）/2；                   水速=（顺

27、水速度-逆水速度）/2例题：小王从甲地到乙地，以为有风，去时用了2小时，回来用了3小时。已知甲乙两地的距离是60公里，求风速是多少？解析：设风速为X，小王的速度为Y，         根据题意得X+Y=30，Y-X=20。         则X=5，Y=25答案：风速是5公里/时。6、方阵问题核心公式：(1)方阵总人数=最外层每边人数的平方        &

28、#160;           （方阵问题的核心）(2)方阵最外层每边人数=方阵最外层总人数/4+1(3)方阵外层比内层一行、一列的总人数多2(4)一行、一列的总人数=每边人数x2-1例题：小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币 ，则小红所有五分硬币的总价值是多少元？解析：设围成一个正方形时，每边有硬币X枚，    此时硬币总数为4(X-1)，当变成三

29、角形时，    硬币总数为3(X+5-1)，由此可得4(X-1)=    3(X+5-1)，解得X=16，硬币总数为60枚答案：小红所有五分硬币的总价值是3元。7、和、差倍问题已知不同大小两个数的和（或差）与它们的倍数关系，求这两个数的值。    （和+差）/2=较大数；    （和-差）/2=较小数；     较大数-差=较小数。例题：甲、乙、丙、丁4个数的和为549，如果甲加上2，乙减去2，丙乘以2，丁除以2以后，4个数相等，求这4

30、个数各是多少？解析：设相等的数为x，    则甲=x-2，乙=x+2，丙=2x，丁=x/2，    由题意可得x-2+x+2+2x+x/2=549，x=122答案：甲、乙、丙、丁这4个数分别是        120、124、244、61。8、年龄问题一般方法：      几年后年龄=大小年龄差/倍数差-小年龄      几年前年龄=小年龄-大小年龄差/倍数差年龄问题的

31、核心是大小年龄差是各不变的量，而年龄的倍数却年年不同。例题：甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在岁数时，你将有67岁。甲乙现在各有：         A.45岁，26岁    B.46岁，25岁         C.47岁，24岁    D.48岁，23岁解析：设甲的年龄为X，乙的年龄为Y，    &

32、#160;   由题意可得Y-(X-Y)=4，X+(X-Y)=67        解得X=46，Y=25        此题应直接用代入法答案：B9、利润问题核心公式(1)利润=销售价（卖出价）-成本(3)销售价=成本x（1+利润率）例题：某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25，另一件亏本25，   则他在这次买卖中  A不赔不赚  B赚9元

33、  C赔18元 D赚18元解析：根据利润问题的核心公式，            第一件上衣成本             第二件上衣的成本               （亏损即利润率为负），由此可得总成本为288元，而总销

34、售额为270元，所以赔了18元答案：C10、面积问题(1)基本公式三角形的面积长方形面积S=axb正方形面积S=a2梯形面积圆的面积(2)基本性质等底等高的两个三角形面积相同等底的两个三角形面积之比等于高之比等高的两个三角形面积之比等于底之比(3)核心问题        解决面积问题的核心是“割、补”思  维，通过引入新的辅助线将图形分割或者补全，得到规则的图形，从而快速求  得面积，即“辅助线法”。 例题：求下面空白部分的面积是正方形面积的几分之几？解析：将阴影部分面积“切割平移添补”，从而变成正方形的

35、1/2答案：空白部分的面积是正方形面积的1/211、周长问题(1)基本公式长方形的周长C=2(a+b)正方形的周长C=4a圆的周长C=2 r= d(2)核心问题      掌握转化的思考方法，把某个图形转变成标准的长方形、正方形、圆形或其他规则图形，以便计算它们的周长。例题：如图所示，以大圆的一条直径上的七个点为圆心，画出七个紧密相连的小圆。请问，大圆的周长与大圆内部七个小圆的周长之和相比较，结果是：  A大圆的周长大于小圆的周长之和  B小圆的周长之和大于大圆的周长  C一样长  D无法判断解析：设小圆

36、的直径从上到下依次为      d1、d2、d3、d4、d5、d6、d7      则小圆的周长分别为c1= d1，c2= d2，c7= d7      c1+c2+c7= (d1+d2+d7)= D（大圆直径）      =C（大圆周长）答案：C12、体积问题基本公式长方形的体积V=abc正方形的体积V=a3圆柱的体积V=sh= r2h，s为圆柱底面积圆锥的体积   

37、;       s为圆锥底面积例题：一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色? 解析：要求多少小立方体被染了色，只要求有多少没有被染色即可。正方体的总个数为正方体的体积即512，而没有被染色的体积（小立方体个数）为216，所以为染色的小立方体个数为512-216=296答案：一共有296个小立方体被涂上了颜色。13、数列问题核心公式(1)等差数列通项公式：(2)等差数列求和公式：(3)等差数列中项公式：当n为奇数时，等差中项为1项即：当n为偶数时，

38、等差中项为2项即：  和   ，而(4)等比数列通项公式：an=a1qn-1=amqn-m例题：如果某一年的7月份有5个星期四，   它们的日期之和为80，那这个月的3日   是星期几？解析：设这5天分别为a1、a2、a3、a4、a5，   显然这是一个公差为7的等差数列，等差   中项         ，所以a2=2，   即第一个星期四为2号答案：这个月的3日是星期五。14、最小公倍

39、数与最大公约数(1)最小公倍数：如果一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。上一页  1 2 3  下一页公倍数中最小的一个大于零的公倍数，称为这几个数的最小公倍数。(2) 最大公约数：如果一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最达的一个公约数，称为这几个数的最大公约数。 例题：甲每5天进城一次，乙每9天进城一次，丙每12天进城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要多少天？解析：求

40、5、9、12的最小公倍数，5x9x12=180答案：下次相遇至少要180天。15、容斥原理（难点，作图求解）核心公式(1)两个集合的容斥关系公式：(2)三个集合的容斥关系公式：例题：某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是多少？解析：设A=第一次考试中及格的人数(26)，           B=第二次考试中及格的人数(24)      A+B

41、=26+24=50，   则答案：两次考试都及格的人数是22人。 16、排列、组合问题(1)乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，做第一步有m1种不同方法，做第二步有m2种不同方法做第n步有mn种不同方法，那么完成这件事一共有N=m1xm2xxmn种不同的方法。(2)加法原理：一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法第k类方法中有mk种不同做法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+mk种不同的方法。(3)排列问题：从n个不同元素中任取出m个(mn)元素，按照一定的顺序排成一列。  排列数公式pnm=n(n

42、-1)(n-2)(n-m+1)(4)组合问题：从n个不同元素中任取出m个(mn)元素，组成一个不计组内各元素顺序的组合。  组合数公式Cnm=例题：林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少不同选择方法? 解析：挑选三种肉类中的一种有C31种方法，挑选四种蔬菜中的两种不同蔬菜有C42种方法，挑选四种点心中的一种有C41种方法。   根据乘法原理，不考虑食物的挑选顺次，   C31 C42 C41 =3x6x4=72答案：他可以有72种不同选择方法。补充练习  1、若干学生住若干房间，如果每间住4人，则有20人没地方住，如果每间住8人，则有一间只有4人住，问共有多少学生?  A30人  B34人  C40人  D44人  使用代入法  答案：D2、三角形的内角和为180°，问六边形的内角和是多少度?    A720°